Calcul infinitésimal Exemples

$y = 5 + 0.6 x - 0.3 x^{2}$

Étape 1

Étudiez la définition de la limite de la dérivée.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Étape 2

Déterminez les composants de la définition.

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Étape 2.1

Évaluez la fonction sur $x = x + h$ .

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Étape 2.1.1

Remplacez la variable $x$ par $x + h$ dans l’expression.

$f (x + h) = 5 + 0.6 (x + h) - 0.3 {(x + h)}^{2}$

Étape 2.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (x + h) = 5 + 0.6 x + 0.6 h - 0.3 {(x + h)}^{2}$

Étape 2.1.2.1.2

Réécrivez ${(x + h)}^{2}$ comme $(x + h) (x + h)$ .

$f (x + h) = 5 + 0.6 x + 0.6 h - 0.3 ((x + h) (x + h))$

Étape 2.1.2.1.3

Développez $(x + h) (x + h)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.1.2.1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (x + h) = 5 + 0.6 x + 0.6 h - 0.3 (x (x + h) + h (x + h))$

Étape 2.1.2.1.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$f (x + h) = 5 + 0.6 x + 0.6 h - 0.3 (x \cdot x + x h + h (x + h))$

Étape 2.1.2.1.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$f (x + h) = 5 + 0.6 x + 0.6 h - 0.3 (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h)$

Étape 2.1.2.1.4

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.1.2.1.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.2.1.4.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$f (x + h) = 5 + 0.6 x + 0.6 h - 0.3 (x^{2} + x h + h x + h \cdot h)$

Étape 2.1.2.1.4.1.2

Multipliez $h$ par $h$ .

$f (x + h) = 5 + 0.6 x + 0.6 h - 0.3 (x^{2} + x h + h x + h^{2})$

Étape 2.1.2.1.4.2

Additionnez $x h$ et $h x$ .

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Étape 2.1.2.1.4.2.1

Remettez dans l’ordre $x$ et $h$ .

$f (x + h) = 5 + 0.6 x + 0.6 h - 0.3 (x^{2} + h x + h x + h^{2})$

Étape 2.1.2.1.4.2.2

Additionnez $h x$ et $h x$ .

$f (x + h) = 5 + 0.6 x + 0.6 h - 0.3 (x^{2} + 2 h x + h^{2})$

Étape 2.1.2.1.5

Appliquez la propriété distributive.

$f (x + h) = 5 + 0.6 x + 0.6 h - 0.3 x^{2} - 0.3 (2 h x) - 0.3 h^{2}$

Étape 2.1.2.1.6

Multipliez $2$ par $- 0.3$ .

$f (x + h) = 5 + 0.6 x + 0.6 h - 0.3 x^{2} - 0.6 h x - 0.3 h^{2}$

Étape 2.1.2.2

La réponse finale est $5 + 0.6 x + 0.6 h - 0.3 x^{2} - 0.6 h x - 0.3 h^{2}$ .

$5 + 0.6 x + 0.6 h - 0.3 x^{2} - 0.6 h x - 0.3 h^{2}$

Étape 2.2

Remettez dans l’ordre.

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Étape 2.2.1

Déplacez $5$ .

$0.6 x + 0.6 h - 0.3 x^{2} - 0.6 h x - 0.3 h^{2} + 5$

Étape 2.2.2

Déplacez $0.6 x$ .

$0.6 h - 0.3 x^{2} - 0.6 h x - 0.3 h^{2} + 0.6 x + 5$

Étape 2.2.3

Déplacez $0.6 h$ .

$- 0.3 x^{2} - 0.6 h x - 0.3 h^{2} + 0.6 h + 0.6 x + 5$

Étape 2.2.4

Déplacez $- 0.3 x^{2}$ .

$- 0.6 h x - 0.3 h^{2} - 0.3 x^{2} + 0.6 h + 0.6 x + 5$

Étape 2.2.5

Remettez dans l’ordre $- 0.6 h x$ et $- 0.3 h^{2}$ .

$- 0.3 h^{2} - 0.6 h x - 0.3 x^{2} + 0.6 h + 0.6 x + 5$

Étape 2.3

Déterminez les composants de la définition.

$f (x + h) = - 0.3 h^{2} - 0.6 h x - 0.3 x^{2} + 0.6 h + 0.6 x + 5$

$f (x) = 5 + 0.6 x - 0.3 x^{2}$

$f (x + h) = - 0.3 h^{2} - 0.6 h x - 0.3 x^{2} + 0.6 h + 0.6 x + 5$

$f (x) = 5 + 0.6 x - 0.3 x^{2}$

Étape 3

Insérez les composants.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- 0.3 h^{2} - 0.6 h x - 0.3 x^{2} + 0.6 h + 0.6 x + 5 - (5 + 0.6 x - 0.3 x^{2})}{h}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.1

Factorisez $0.1$ à partir de $- 0.3 h^{2} - 0.6 h x - 0.3 x^{2} + 0.6 h + 0.6 x + 5 - (5 + 0.6 x - 0.3 x^{2})$ .

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Étape 4.1.1.1

Remettez l’expression dans l’ordre.

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Étape 4.1.1.1.1

Déplacez $h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- 0.3 h^{2} - 0.6 x h - 0.3 x^{2} + 0.6 h + 0.6 x + 5 - (5 + 0.6 x - 0.3 x^{2})}{h}$

Étape 4.1.1.1.2

Déplacez $5$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- 0.3 h^{2} - 0.6 x h - 0.3 x^{2} + 0.6 h + 0.6 x + 5 - (0.6 x - 0.3 x^{2} + 5)}{h}$

Étape 4.1.1.1.3

Remettez dans l’ordre $0.6 x$ et $- 0.3 x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- 0.3 h^{2} - 0.6 x h - 0.3 x^{2} + 0.6 h + 0.6 x + 5 - (- 0.3 x^{2} + 0.6 x + 5)}{h}$

Étape 4.1.1.2

Factorisez $0.1$ à partir de $- 0.3 h^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (- 3 h^{2}) - 0.6 x h - 0.3 x^{2} + 0.6 h + 0.6 x + 5 - (- 0.3 x^{2} + 0.6 x + 5)}{h}$

Étape 4.1.1.3

Factorisez $0.1$ à partir de $- 0.6 x h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (- 3 h^{2}) + 0.1 (- 6 x h) - 0.3 x^{2} + 0.6 h + 0.6 x + 5 - (- 0.3 x^{2} + 0.6 x + 5)}{h}$

Étape 4.1.1.4

Factorisez $0.1$ à partir de $- 0.3 x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (- 3 h^{2}) + 0.1 (- 6 x h) + 0.1 (- 3 x^{2}) + 0.6 h + 0.6 x + 5 - (- 0.3 x^{2} + 0.6 x + 5)}{h}$

Étape 4.1.1.5

Factorisez $0.1$ à partir de $0.6 h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (- 3 h^{2}) + 0.1 (- 6 x h) + 0.1 (- 3 x^{2}) + 0.1 (6 h) + 0.6 x + 5 - (- 0.3 x^{2} + 0.6 x + 5)}{h}$

Étape 4.1.1.6

Factorisez $0.1$ à partir de $0.6 x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (- 3 h^{2}) + 0.1 (- 6 x h) + 0.1 (- 3 x^{2}) + 0.1 (6 h) + 0.1 (6 x) + 5 - (- 0.3 x^{2} + 0.6 x + 5)}{h}$

Étape 4.1.1.7

Factorisez $0.1$ à partir de $5$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (- 3 h^{2}) + 0.1 (- 6 x h) + 0.1 (- 3 x^{2}) + 0.1 (6 h) + 0.1 (6 x) + 0.1 (50) - (- 0.3 x^{2} + 0.6 x + 5)}{h}$

Étape 4.1.1.8

Factorisez $0.1$ à partir de $- (- 0.3 x^{2} + 0.6 x + 5)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (- 3 h^{2}) + 0.1 (- 6 x h) + 0.1 (- 3 x^{2}) + 0.1 (6 h) + 0.1 (6 x) + 0.1 (50) + 0.1 (- 10 (- 0.3 x^{2} + 0.6 x + 5))}{h}$

Étape 4.1.1.9

Factorisez $0.1$ à partir de $0.1 (- 3 h^{2}) + 0.1 (- 6 x h)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (- 3 h^{2} - 6 x h) + 0.1 (- 3 x^{2}) + 0.1 (6 h) + 0.1 (6 x) + 0.1 (50) + 0.1 (- 10 (- 0.3 x^{2} + 0.6 x + 5))}{h}$

Étape 4.1.1.10

Factorisez $0.1$ à partir de $0.1 (- 3 h^{2} - 6 x h) + 0.1 (- 3 x^{2})$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (- 3 h^{2} - 6 x h - 3 x^{2}) + 0.1 (6 h) + 0.1 (6 x) + 0.1 (50) + 0.1 (- 10 (- 0.3 x^{2} + 0.6 x + 5))}{h}$

Étape 4.1.1.11

Factorisez $0.1$ à partir de $0.1 (- 3 h^{2} - 6 x h - 3 x^{2}) + 0.1 (6 h)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (- 3 h^{2} - 6 x h - 3 x^{2} + 6 h) + 0.1 (6 x) + 0.1 (50) + 0.1 (- 10 (- 0.3 x^{2} + 0.6 x + 5))}{h}$

Étape 4.1.1.12

Factorisez $0.1$ à partir de $0.1 (- 3 h^{2} - 6 x h - 3 x^{2} + 6 h) + 0.1 (6 x)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (- 3 h^{2} - 6 x h - 3 x^{2} + 6 h + 6 x) + 0.1 (50) + 0.1 (- 10 (- 0.3 x^{2} + 0.6 x + 5))}{h}$

Étape 4.1.1.13

Factorisez $0.1$ à partir de $0.1 (- 3 h^{2} - 6 x h - 3 x^{2} + 6 h + 6 x) + 0.1 (50)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (- 3 h^{2} - 6 x h - 3 x^{2} + 6 h + 6 x + 50) + 0.1 (- 10 (- 0.3 x^{2} + 0.6 x + 5))}{h}$

Étape 4.1.1.14

Factorisez $0.1$ à partir de $0.1 (- 3 h^{2} - 6 x h - 3 x^{2} + 6 h + 6 x + 50) + 0.1 (- 10 (- 0.3 x^{2} + 0.6 x + 5))$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (- 3 h^{2} - 6 x h - 3 x^{2} + 6 h + 6 x + 50 - 10 (- 0.3 x^{2} + 0.6 x + 5))}{h}$

Étape 4.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (- 3 h^{2} - 6 x h - 3 x^{2} + 6 h + 6 x + 50 - 10 (- 0.3 x^{2}) - 10 (0.6 x) - 10 \cdot 5)}{h}$

Étape 4.1.3

Simplifiez

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Étape 4.1.3.1

Multipliez $- 0.3$ par $- 10$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (- 3 h^{2} - 6 x h - 3 x^{2} + 6 h + 6 x + 50 + 3 x^{2} - 10 (0.6 x) - 10 \cdot 5)}{h}$

Étape 4.1.3.2

Multipliez $0.6$ par $- 10$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (- 3 h^{2} - 6 x h - 3 x^{2} + 6 h + 6 x + 50 + 3 x^{2} - 6 x - 10 \cdot 5)}{h}$

Étape 4.1.3.3

Multipliez $- 10$ par $5$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (- 3 h^{2} - 6 x h - 3 x^{2} + 6 h + 6 x + 50 + 3 x^{2} - 6 x - 50)}{h}$

Étape 4.1.4

Additionnez $- 3 x^{2}$ et $3 x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (- 3 h^{2} - 6 x h + 0 x^{2} + 6 h + 6 x + 50 - 6 x - 50)}{h}$

Étape 4.1.5

Soustrayez $6 x$ de $6 x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (- 3 h^{2} - 6 x h + 0 x^{2} + 6 h + 0 x + 50 - 50)}{h}$

Étape 4.1.6

Soustrayez $50$ de $50$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (- 3 h^{2} - 6 x h + 0 x^{2} + 6 h + 0 x + 0)}{h}$

Étape 4.1.7

Additionnez $- 3 h^{2} - 6 x h + 0 x^{2} + 6 h + 0 x$ et $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (- 3 h^{2} - 6 x h + 0 x^{2} + 6 h + 0 x)}{h}$

Étape 4.1.8

Réécrivez $- 3 h^{2} - 6 x h + 0 x^{2} + 6 h + 0 x$ en forme factorisée.

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Étape 4.1.8.1

Factorisez $3$ à partir de $- 3 h^{2} - 6 x h + 0 x^{2} + 6 h + 0 x$ .

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Étape 4.1.8.1.1

Factorisez $3$ à partir de $- 3 h^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (3 (- h^{2}) - 6 x h + 0 x^{2} + 6 h + 0 x)}{h}$

Étape 4.1.8.1.2

Factorisez $3$ à partir de $- 6 x h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (3 (- h^{2}) + 3 (- 2 x h) + 0 x^{2} + 6 h + 0 x)}{h}$

Étape 4.1.8.1.3

Factorisez $3$ à partir de $0 x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (3 (- h^{2}) + 3 (- 2 x h) + 3 (0 x^{2}) + 6 h + 0 x)}{h}$

Étape 4.1.8.1.4

Factorisez $3$ à partir de $6 h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (3 (- h^{2}) + 3 (- 2 x h) + 3 (0 x^{2}) + 3 (2 h) + 0 x)}{h}$

Étape 4.1.8.1.5

Factorisez $3$ à partir de $0 x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (3 (- h^{2}) + 3 (- 2 x h) + 3 (0 x^{2}) + 3 (2 h) + 3 (0 x))}{h}$

Étape 4.1.8.1.6

Factorisez $3$ à partir de $3 (- h^{2}) + 3 (- 2 x h)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (3 (- h^{2} - 2 x h) + 3 (0 x^{2}) + 3 (2 h) + 3 (0 x))}{h}$

Étape 4.1.8.1.7

Factorisez $3$ à partir de $3 (- h^{2} - 2 x h) + 3 (0 x^{2})$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (3 (- h^{2} - 2 x h + 0 x^{2}) + 3 (2 h) + 3 (0 x))}{h}$

Étape 4.1.8.1.8

Factorisez $3$ à partir de $3 (- h^{2} - 2 x h + 0 x^{2}) + 3 (2 h)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (3 (- h^{2} - 2 x h + 0 x^{2} + 2 h) + 3 (0 x))}{h}$

Étape 4.1.8.1.9

Factorisez $3$ à partir de $3 (- h^{2} - 2 x h + 0 x^{2} + 2 h) + 3 (0 x)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (3 (- h^{2} - 2 x h + 0 x^{2} + 2 h + 0 x))}{h}$

Étape 4.1.8.2

Multipliez $0$ par $x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (3 (- h^{2} - 2 x h + 0 + 2 h + 0 x))}{h}$

Étape 4.1.8.3

Multipliez $0$ par $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (3 (- h^{2} - 2 x h + 0 + 2 h + 0))}{h}$

Étape 4.1.8.4

Additionnez $- h^{2} - 2 x h + 0 + 2 h$ et $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (3 (- h^{2} - 2 x h + 0 + 2 h))}{h}$

Étape 4.1.8.5

Additionnez $- h^{2}$ et $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (3 (- h^{2} - 2 x h + 2 h))}{h}$

Étape 4.1.8.6

Factorisez $h$ à partir de $- h^{2} - 2 x h + 2 h$ .

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Étape 4.1.8.6.1

Factorisez $h$ à partir de $- h^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (3 (h (- h) - 2 x h + 2 h))}{h}$

Étape 4.1.8.6.2

Factorisez $h$ à partir de $- 2 x h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (3 (h (- h) + h (- 2 x) + 2 h))}{h}$

Étape 4.1.8.6.3

Factorisez $h$ à partir de $2 h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (3 (h (- h) + h (- 2 x) + h \cdot 2))}{h}$

Étape 4.1.8.6.4

Factorisez $h$ à partir de $h (- h) + h (- 2 x)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (3 (h (- h - 2 x) + h \cdot 2))}{h}$

Étape 4.1.8.6.5

Factorisez $h$ à partir de $h (- h - 2 x) + h \cdot 2$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (3 (h (- h - 2 x + 2)))}{h}$

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 (3 h (- h - 2 x + 2))}{h}$

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.1 \cdot (3 h (- h - 2 x + 2))}{h}$

Étape 4.1.9

Multipliez $0.1$ par $3$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.3 h (- h - 2 x + 2)}{h}$

Étape 4.2

Simplifiez les termes.

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Étape 4.2.1

Annulez le facteur commun de $h$ .

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Étape 4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{0.3 h (- h - 2 x + 2)}{h}$

Étape 4.2.1.2

Divisez $0.3 (- h - 2 x + 2)$ par $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 0.3 (- h - 2 x + 2)$

Étape 4.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = lim_{h \to 0} 0.3 (- h) + 0.3 (- 2 x) + 0.3 \cdot 2$

Étape 4.3

Simplifiez

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Étape 4.3.1

Multipliez $- 1$ par $0.3$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} - 0.3 h + 0.3 (- 2 x) + 0.3 \cdot 2$

Étape 4.3.2

Multipliez $- 2$ par $0.3$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} - 0.3 h - 0.6 x + 0.3 \cdot 2$

Étape 4.3.3

Multipliez $0.3$ par $2$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} - 0.3 h - 0.6 x + 0.6$

Étape 4.4

Remettez dans l’ordre $- 0.3 h$ et $- 0.6 x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} - 0.6 x - 0.3 h + 0.6$

Étape 5

Évaluez la limite.

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Étape 5.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $h$ approche de $0$ .

$- lim_{h \to 0} 0.6 x - lim_{h \to 0} 0.3 h + lim_{h \to 0} 0.6$

Étape 5.2

Évaluez la limite de $0.6 x$ qui est constante lorsque $h$ approche de $0$ .

$- 0.6 x - lim_{h \to 0} 0.3 h + lim_{h \to 0} 0.6$

Étape 5.3

Placez le terme $0.3$ hors de la limite car il constant par rapport à $h$ .

$- 0.6 x - 0.3 lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 0.6$

Étape 5.4

Évaluez la limite de $0.6$ qui est constante lorsque $h$ approche de $0$ .

$- 0.6 x - 0.3 lim_{h \to 0} h + 0.6$

Étape 6

Évaluez la limite de $h$ en insérant $0$ pour $h$ .

$- 0.6 x - 0.3 \cdot 0 + 0.6$

Étape 7

Simplifiez la réponse.

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Étape 7.1

Multipliez $- 0.3$ par $0$ .

$- 0.6 x + 0 + 0.6$

Étape 7.2

Additionnez $- 0.6 x$ et $0$ .

$- 0.6 x + 0.6$

Étape 8