Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{\sin (2 x)}{1 + \sin (2 x)}$

Étape 1

Définissez le dénominateur dans $\frac{\sin (2 x)}{1 + \sin (2 x)}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$1 + \sin (2 x) = 0$

Étape 2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$\sin (2 x) = - 1$

Étape 2.2

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$2 x = \arcsin (- 1)$

Étape 2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.1

La valeur exacte de $\arcsin (- 1)$ est $- \frac{π}{2}$ .

$2 x = - \frac{π}{2}$

Étape 2.4

Divisez chaque terme dans $2 x = - \frac{π}{2}$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 2.4.1

Divisez chaque terme dans $2 x = - \frac{π}{2}$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- \frac{π}{2}}{2}$

Étape 2.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.4.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- \frac{π}{2}}{2}$

Étape 2.4.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- \frac{π}{2}}{2}$

Étape 2.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.4.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$x = - \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 2.4.3.2

Multipliez $- \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 2.4.3.2.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2 \cdot 2}$

Étape 2.4.3.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = - \frac{π}{4}$

Étape 2.5

La fonction sinus est négative dans les troisième et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez la solution de $2 π$ pour déterminer un angle de référence. Ajoutez ensuite cet angle de référence à $π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$2 x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Étape 2.6

Simplifiez l’expression pour déterminer la deuxième solution.

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Étape 2.6.1

Soustrayez $2 π$ de $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$2 x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Étape 2.6.2

L’angle résultant de $\frac{3 π}{2}$ est positif, inférieur à $2 π$ et coterminal avec $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$2 x = \frac{3 π}{2}$

Étape 2.6.3

Divisez chaque terme dans $2 x = \frac{3 π}{2}$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 2.6.3.1

Divisez chaque terme dans $2 x = \frac{3 π}{2}$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Étape 2.6.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.6.3.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.6.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Étape 2.6.3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Étape 2.6.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.6.3.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 2.6.3.3.2

Multipliez $\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 2.6.3.3.2.1

Multipliez $\frac{3 π}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{3 π}{2 \cdot 2}$

Étape 2.6.3.3.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Étape 2.7

Déterminez la période de $\sin (2 x)$ .

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Étape 2.7.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 2.7.2

Remplacez $b$ par $2$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Étape 2.7.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $2$ est $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Étape 2.7.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.7.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 π}{2}$

Étape 2.7.4.2

Divisez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 2.8

Ajoutez $π$ à chaque angle négatif pour obtenir des angles positifs.

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Étape 2.8.1

Ajoutez $π$ à $- \frac{π}{4}$ pour déterminer l’angle positif.

$- \frac{π}{4} + π$

Étape 2.8.2

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Étape 2.8.3

Associez les fractions.

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Étape 2.8.3.1

Associez $π$ et $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Étape 2.8.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Étape 2.8.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.8.4.1

Déplacez $4$ à gauche de $π$ .

$\frac{4 \cdot π - π}{4}$

Étape 2.8.4.2

Soustrayez $π$ de $4 π$ .

$\frac{3 π}{4}$

Étape 2.8.5

Indiquez les nouveaux angles.

$x = \frac{3 π}{4}$

Étape 2.9

La période de la fonction $\sin (2 x)$ est $π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 2.10

Consolidez les réponses.

$x = \frac{3 π}{4} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \neq \frac{3 π}{4} + π n}$ , pour tout entier $n$

Étape 4

La plage est l’ensemble de toutes les valeurs $y$ valides. Utilisez le graphe pour déterminer la plage.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, - 1] \cup [1, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${y | y \leq - 1, y \geq 1}$

Étape 5

Déterminez le domaine et la plage.

Domaine : ${x | x \neq \frac{3 π}{4} + π n}$ , pour tout entier $n$

Plage : $(- \infty, - 1] \cup [1, \infty), {y | y \leq - 1, y \geq 1}$

Étape 6