Calcul infinitésimal Exemples

$\sqrt{x}$ , $(1, 1)$

Étape 1

Écrivez $\sqrt{x}$ comme une fonction.

$f (x) = \sqrt{x}$

Étape 2

Vérifiez si le point donné est sur le graphe de la fonction donnée.

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Étape 2.1

Évaluez $f (x) = \sqrt{x}$ sur $x = 1$ .

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Étape 2.1.1

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f (1) = \sqrt{1}$

Étape 2.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.1.2.1

Supprimez les parenthèses.

$f (1) = \sqrt{1}$

Étape 2.1.2.2

Toute racine de $1$ est $1$ .

$f (1) = 1$

Étape 2.1.2.3

La réponse finale est $1$ .

$1$

Étape 2.2

Comme $1 = 1$ , le point est sur le graphe.

Le point est sur le graphe

Étape 3

La pente de la droite tangente est la dérivée de l’expression.

$m$ $=$ La dérivée de $f (x) = \sqrt{x}$

Étape 4

Étudiez la définition de la limite de la dérivée.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Étape 5

Déterminez les composants de la définition.

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Étape 5.1

Évaluez la fonction sur $x = x + h$ .

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Étape 5.1.1

Remplacez la variable $x$ par $x + h$ dans l’expression.

$f (x + h) = \sqrt{x + h}$

Étape 5.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.1.2.1

Supprimez les parenthèses.

$f (x + h) = \sqrt{x + h}$

Étape 5.1.2.2

La réponse finale est $\sqrt{x + h}$ .

$\sqrt{x + h}$

Étape 5.2

Déterminez les composants de la définition.

$f (x + h) = \sqrt{x + h}$

$f (x) = \sqrt{x}$

$f (x + h) = \sqrt{x + h}$

$f (x) = \sqrt{x}$

Étape 6

Insérez les composants.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{x + h} - (\sqrt{x})}{h}$

Étape 7

Multipliez $- 1$ par $\sqrt{x}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{x + h} - \sqrt{x}}{h}$

Étape 8

Comme il n’y a aucune valeur à gauche de $0$ dans le domaine de $\frac{\sqrt{x + h} - \sqrt{x}}{h}$ , la limite n’existe pas.

$N’existe pas$

Étape 9

Déterminez la pente $m$ . Dans ce cas $m = D o e s (n o t) (e (1) i s t)$ .

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Étape 9.1

Multipliez $e$ par $1$ .

$m = D o e s (n o t) (e \cdot (1 i s t))$

Étape 9.2

Supprimez les parenthèses.

$m = D o e s (n o t) (e (1) i s t)$

Étape 10

La pente est $m = D o e s (n o t) (e (1) i s t)$ et le point central est $(1, 1)$ .

$m = D o e s (n o t) (e (1) i s t)$

$m = (1, 1)$

Étape 11

Multipliez $e$ par $1$ .

$m = D o e s (n o t) (e \cdot (1 i s t))$

Étape 12

Déterminez la valeur de $b$ en utilisant la formule pour l’équation d’une droite.

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Étape 12.1

Utilisez la formule pour l’équation d’une droite pour déterminer $b$ .

$y = m x + b$

Étape 12.2

Remplacez la valeur de $m$ dans l’équation.

$y = (D o e s (n o t) (e \cdot (1 i s t))) \cdot x + b$

Étape 12.3

Remplacez la valeur de $x$ dans l’équation.

$y = (D o e s (n o t) (e \cdot (1 i s t))) \cdot (1) + b$

Étape 12.4

Remplacez la valeur de $y$ dans l’équation.

$1 = (D o e s (n o t) (e \cdot (1 i s t))) \cdot (1) + b$

Étape 12.5

Déterminez la valeur de $b$ .

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Étape 12.5.1

Réécrivez l’équation comme $D o e s (n o t) (e \cdot (1 i s t)) \cdot 1 + b = 1$ .

$D o e s (n o t) (e \cdot (1 i s t)) \cdot 1 + b = 1$

Étape 12.5.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.5.2.1

Multipliez $o$ par $o$ en additionnant les exposants.

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Étape 12.5.2.1.1

Déplacez $o$ .

$D (o \cdot o) e s (n t) (e \cdot (1 i s t)) \cdot 1 + b = 1$

Étape 12.5.2.1.2

Multipliez $o$ par $o$ .

$D o^{2} e s (n t) (e \cdot (1 i s t)) \cdot 1 + b = 1$

Étape 12.5.2.2

Simplifiez $D o^{2} e s (n t) (e \cdot (1 i s t)) \cdot 1$ .

$D o^{2} e s (n t) (e \cdot (i s t)) + b = 1$

Étape 12.5.2.3

Multipliez $s$ par $s$ en additionnant les exposants.

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Étape 12.5.2.3.1

Déplacez $s$ .

$D o^{2} e (s \cdot s) (n t) (e \cdot (i t)) + b = 1$

Étape 12.5.2.3.2

Multipliez $s$ par $s$ .

$D o^{2} e s^{2} (n t) (e \cdot (i t)) + b = 1$

Étape 12.5.2.4

Multipliez $t$ par $t$ en additionnant les exposants.

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Étape 12.5.2.4.1

Déplacez $t$ .

$D o^{2} e s^{2} (n (t \cdot t)) (e \cdot (i)) + b = 1$

Étape 12.5.2.4.2

Multipliez $t$ par $t$ .

$D o^{2} e s^{2} (n t^{2}) (e \cdot (i)) + b = 1$

Étape 12.5.2.5

Multipliez $D o^{2} e s^{2} n t^{2} (e i)$ .

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Étape 12.5.2.5.1

Élevez $e$ à la puissance $1$ .

$D o^{2} s^{2} n t^{2} (e^{1} e i) + b = 1$

Étape 12.5.2.5.2

Élevez $e$ à la puissance $1$ .

$D o^{2} s^{2} n t^{2} (e^{1} e^{1} i) + b = 1$

Étape 12.5.2.5.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$D o^{2} s^{2} n t^{2} (e^{1 + 1} i) + b = 1$

Étape 12.5.2.5.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$D o^{2} s^{2} n t^{2} (e^{2} i) + b = 1$

$D o^{2} s^{2} n t^{2} e^{2} i + b = 1$

Étape 12.5.3

Soustrayez $D o^{2} s^{2} n t^{2} e^{2} i$ des deux côtés de l’équation.

$b = 1 - D o^{2} s^{2} n t^{2} e^{2} i$

Étape 13

Maintenant que les valeurs de $m$ (pente) et $b$ (ordonnée à l’origine) sont connues, utilisez-les dans $y = m x + b$ pour déterminer l’équation de la droite.

$y = D o^{2} s^{2} n t^{2} e^{2} i x + 1 - D o^{2} s^{2} n t^{2} e^{2} i$

Étape 14