Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \log_{8} (\frac{x - 8}{x})$

Étape 1

Définissez l’argument dans $\log_{8} (\frac{x - 8}{x})$ supérieur à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$\frac{x - 8}{x} > 0$

Étape 2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.1

Déterminez toutes les valeurs où l’expression passe de négative à positive en définissant chaque facteur égal à $0$ et en résolvant.

$x = 0$

$x - 8 = 0$

Étape 2.2

Ajoutez $8$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 8$

Étape 2.3

Résolvez pour chaque facteur afin de déterminer les valeurs où l’expression de la valeur absolue passe de négative à positive.

$x = 0$

$x = 8$

Étape 2.4

Consolidez les solutions.

$x = 0, 8$

Étape 2.5

Déterminez le domaine de $\frac{x - 8}{x}$ .

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Étape 2.5.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{x - 8}{x}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x = 0$

Étape 2.5.2

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Étape 2.6

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < 0$

$0 < x < 8$

$x > 8$

Étape 2.7

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 2.7.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < 0$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 2.7.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < 0$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 2$

Étape 2.7.1.2

Remplacez $x$ par $- 2$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{(- 2) - 8}{- 2} > 0$

Étape 2.7.1.3

Le côté gauche $5$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 2.7.2

Testez une valeur sur l’intervalle $0 < x < 8$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 2.7.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $0 < x < 8$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 4$

Étape 2.7.2.2

Remplacez $x$ par $4$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{(4) - 8}{4} > 0$

Étape 2.7.2.3

Le côté gauche $- 1$ n’est pas supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 2.7.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 8$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 2.7.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 8$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 10$

Étape 2.7.3.2

Remplacez $x$ par $10$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{(10) - 8}{10} > 0$

Étape 2.7.3.3

Le côté gauche $0.2$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 2.7.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < 0$ Vrai

$0 < x < 8$ Faux

$x > 8$ Vrai

$x < 0$ Vrai

$0 < x < 8$ Faux

$x > 8$ Vrai

Étape 2.8

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x < 0$ ou $x > 8$

Étape 3

Définissez le dénominateur dans $\frac{x - 8}{x}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x = 0$

Étape 4

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, 0) \cup (8, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x < 0, x > 8}$

Étape 5

La plage est l’ensemble de toutes les valeurs $y$ valides. Utilisez le graphe pour déterminer la plage.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${y | y \neq 0}$

Étape 6

Déterminez le domaine et la plage.

Domaine : $(- \infty, 0) \cup (8, \infty), {x | x < 0, x > 8}$

Plage : $(- \infty, 0) \cup (0, \infty), {y | y \neq 0}$

Étape 7