Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \sqrt{\frac{x + 4}{x \cdot x - 4}}$

Étape 1

Définissez le radicande dans $\sqrt{\frac{x + 4}{x \cdot x - 4}}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$\frac{x + 4}{x \cdot x - 4} \geq 0$

Étape 2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.1

Déterminez toutes les valeurs où l’expression passe de négative à positive en définissant chaque facteur égal à $0$ et en résolvant.

$x + 4 = 0$

$x \cdot x - 4 = 0$

Étape 2.2

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 4$

Étape 2.3

Multipliez $x$ par $x$ .

$x^{2} - 4 = 0$

Étape 2.4

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{2} = 4$

Étape 2.5

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{4}$

Étape 2.6

Simplifiez $\pm \sqrt{4}$ .

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Étape 2.6.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Étape 2.6.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 2$

Étape 2.7

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 2.7.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 2$

Étape 2.7.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 2$

Étape 2.7.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 2, - 2$

Étape 2.8

Résolvez pour chaque facteur afin de déterminer les valeurs où l’expression de la valeur absolue passe de négative à positive.

$x = - 4$

$x = 2, - 2$

Étape 2.9

Consolidez les solutions.

$x = - 4, 2, - 2$

Étape 2.10

Déterminez le domaine de $\frac{x + 4}{x \cdot x - 4}$ .

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Étape 2.10.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{x + 4}{x \cdot x - 4}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x \cdot x - 4 = 0$

Étape 2.10.2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.10.2.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$x^{2} - 4 = 0$

Étape 2.10.2.2

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{2} = 4$

Étape 2.10.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{4}$

Étape 2.10.2.4

Simplifiez $\pm \sqrt{4}$ .

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Étape 2.10.2.4.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Étape 2.10.2.4.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 2$

Étape 2.10.2.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 2.10.2.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 2$

Étape 2.10.2.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 2$

Étape 2.10.2.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 2, - 2$

Étape 2.10.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 2) \cup (2, \infty)$

Étape 2.11

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 4$

$- 4 < x < - 2$

$- 2 < x < 2$

$x > 2$

Étape 2.12

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 2.12.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 4$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 2.12.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 4$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 6$

Étape 2.12.1.2

Remplacez $x$ par $- 6$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{(- 6) + 4}{(- 6) (- 6) - 4} \geq 0$

Étape 2.12.1.3

Le côté gauche $- 0.0625$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 2.12.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 4 < x < - 2$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 2.12.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 4 < x < - 2$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 3$

Étape 2.12.2.2

Remplacez $x$ par $- 3$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{(- 3) + 4}{(- 3) (- 3) - 4} \geq 0$

Étape 2.12.2.3

Le côté gauche $0.2$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 2.12.3

Testez une valeur sur l’intervalle $- 2 < x < 2$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 2.12.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 2 < x < 2$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 2.12.3.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{(0) + 4}{(0) (0) - 4} \geq 0$

Étape 2.12.3.3

Le côté gauche $- 1$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 2.12.4

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 2$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 2.12.4.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 2$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 4$

Étape 2.12.4.2

Remplacez $x$ par $4$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{(4) + 4}{(4) (4) - 4} \geq 0$

Étape 2.12.4.3

Le côté gauche $0.\overline{6}$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 2.12.5

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 4$ Faux

$- 4 < x < - 2$ Vrai

$- 2 < x < 2$ Faux

$x > 2$ Vrai

$x < - 4$ Faux

$- 4 < x < - 2$ Vrai

$- 2 < x < 2$ Faux

$x > 2$ Vrai

Étape 2.13

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$- 4 \leq x < - 2$ ou $x > 2$

Étape 3

Définissez le dénominateur dans $\frac{x + 4}{x \cdot x - 4}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x \cdot x - 4 = 0$

Étape 4

Résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$x^{2} - 4 = 0$

Étape 4.2

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{2} = 4$

Étape 4.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{4}$

Étape 4.4

Simplifiez $\pm \sqrt{4}$ .

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Étape 4.4.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Étape 4.4.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 2$

Étape 4.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 4.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 2$

Étape 4.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 2$

Étape 4.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 2, - 2$

Étape 5

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$[- 4, - 2) \cup (2, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | - 4 \leq x < - 2, x > 2}$

Étape 6

La plage est l’ensemble de toutes les valeurs $y$ valides. Utilisez le graphe pour déterminer la plage.

Notation d’intervalle :

$[0, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${y | y \geq 0}$

Étape 7

Déterminez le domaine et la plage.

Domaine : $[- 4, - 2) \cup (2, \infty), {x | - 4 \leq x < - 2, x > 2}$

Plage : $[0, \infty), {y | y \geq 0}$

Étape 8