Calcul infinitésimal Exemples

$2 x - \frac{432}{x^{2}} = 0$

Étape 1

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 1.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$1, x^{2}, 1$

Étape 1.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$x^{2}$

Étape 2

Multiplier chaque terme dans $2 x - \frac{432}{x^{2}} = 0$ par $x^{2}$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 2.1

Multipliez chaque terme dans $2 x - \frac{432}{x^{2}} = 0$ par $x^{2}$ .

$2 x \cdot x^{2} - \frac{432}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Étape 2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1.1

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.2.1.1.1

Déplacez $x^{2}$ .

$2 (x^{2} x) - \frac{432}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Étape 2.2.1.1.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 2.2.1.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$2 (x^{2} x^{1}) - \frac{432}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Étape 2.2.1.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 x^{2 + 1} - \frac{432}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Étape 2.2.1.1.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$2 x^{3} - \frac{432}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Étape 2.2.1.2

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 2.2.1.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{432}{x^{2}}$ dans le numérateur.

$2 x^{3} + \frac{- 432}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Étape 2.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$2 x^{3} + \frac{- 432}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Étape 2.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$2 x^{3} - 432 = 0 x^{2}$

Étape 2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Multipliez $0$ par $x^{2}$ .

$2 x^{3} - 432 = 0$

Étape 3

Résolvez l’équation.

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Étape 3.1

Ajoutez $432$ aux deux côtés de l’équation.

$2 x^{3} = 432$

Étape 3.2

Soustrayez $432$ des deux côtés de l’équation.

$2 x^{3} - 432 = 0$

Étape 3.3

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 3.3.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{3} - 432$ .

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Étape 3.3.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{3}$ .

$2 (x^{3}) - 432 = 0$

Étape 3.3.1.2

Factorisez $2$ à partir de $- 432$ .

$2 x^{3} + 2 \cdot - 216 = 0$

Étape 3.3.1.3

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{3} + 2 \cdot - 216$ .

$2 (x^{3} - 216) = 0$

Étape 3.3.2

Réécrivez $216$ comme $6^{3}$ .

$2 (x^{3} - 6^{3}) = 0$

Étape 3.3.3

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des cubes, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ où $a = x$ et $b = 6$ .

$2 ((x - 6) (x^{2} + x \cdot 6 + 6^{2})) = 0$

Étape 3.3.4

Factorisez.

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Étape 3.3.4.1

Simplifiez

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Étape 3.3.4.1.1

Déplacez $6$ à gauche de $x$ .

$2 ((x - 6) (x^{2} + 6 x + 6^{2})) = 0$

Étape 3.3.4.1.2

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$2 ((x - 6) (x^{2} + 6 x + 36)) = 0$

Étape 3.3.4.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$2 (x - 6) (x^{2} + 6 x + 36) = 0$

Étape 3.4

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 6 = 0$

$x^{2} + 6 x + 36 = 0$

Étape 3.5

Définissez $x - 6$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.5.1

Définissez $x - 6$ égal à $0$ .

$x - 6 = 0$

Étape 3.5.2

Ajoutez $6$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 6$

Étape 3.6

Définissez $x^{2} + 6 x + 36$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.6.1

Définissez $x^{2} + 6 x + 36$ égal à $0$ .

$x^{2} + 6 x + 36 = 0$

Étape 3.6.2

Résolvez $x^{2} + 6 x + 36 = 0$ pour $x$ .

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Étape 3.6.2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 3.6.2.2

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = 6$ et $c = 36$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 36)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.6.2.3

Simplifiez

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Étape 3.6.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.6.2.3.1.1

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot 36}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.6.2.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 36$ .

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Étape 3.6.2.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 36}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.6.2.3.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $36$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 144}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.6.2.3.1.3

Soustrayez $144$ de $36$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{- 108}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.6.2.3.1.4

Réécrivez $- 108$ comme $- 1 (108)$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{- 1 \cdot 108}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.6.2.3.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (108)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{108}$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{108}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.6.2.3.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{- 6 \pm i \cdot \sqrt{108}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.6.2.3.1.7

Réécrivez $108$ comme $6^{2} \cdot 3$ .

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Étape 3.6.2.3.1.7.1

Factorisez $36$ à partir de $108$ .

$x = \frac{- 6 \pm i \cdot \sqrt{36 (3)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.6.2.3.1.7.2

Réécrivez $36$ comme $6^{2}$ .

$x = \frac{- 6 \pm i \cdot \sqrt{6^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.6.2.3.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 6 \pm i \cdot (6 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Étape 3.6.2.3.1.9

Déplacez $6$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{- 6 \pm 6 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.6.2.3.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 6 \pm 6 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 3.6.2.3.3

Simplifiez $\frac{- 6 \pm 6 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 3 \pm 3 i \sqrt{3}$

Étape 3.6.2.4

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = - 3 + 3 i \sqrt{3}, - 3 - 3 i \sqrt{3}$

Étape 3.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $2 (x - 6) (x^{2} + 6 x + 36) = 0$ vraie.

$x = 6, - 3 + 3 i \sqrt{3}, - 3 - 3 i \sqrt{3}$