Calcul infinitésimal Exemples

$(- 5 + 27 i) - (- 12 i + 8) + {(- 2 i)}^{3}$

Étape 1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1

Appliquez la propriété distributive.

$- 5 + 27 i - (- 12 i) - 1 \cdot 8 + {(- 2 i)}^{3}$

Étape 1.2

Multipliez $- 12$ par $- 1$ .

$- 5 + 27 i + 12 i - 1 \cdot 8 + {(- 2 i)}^{3}$

Étape 1.3

Multipliez $- 1$ par $8$ .

$- 5 + 27 i + 12 i - 8 + {(- 2 i)}^{3}$

Étape 1.4

Appliquez la règle de produit à $- 2 i$ .

$- 5 + 27 i + 12 i - 8 + {(- 2)}^{3} i^{3}$

Étape 1.5

Élevez $- 2$ à la puissance $3$ .

$- 5 + 27 i + 12 i - 8 - 8 i^{3}$

Étape 1.6

Factorisez $i^{2}$ .

$- 5 + 27 i + 12 i - 8 - 8 (i^{2} \cdot i)$

Étape 1.7

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$- 5 + 27 i + 12 i - 8 - 8 (- 1 \cdot i)$

Étape 1.8

Réécrivez $- 1 i$ comme $- i$ .

$- 5 + 27 i + 12 i - 8 - 8 (- i)$

Étape 1.9

Multipliez $- 1$ par $- 8$ .

$- 5 + 27 i + 12 i - 8 + 8 i$

Étape 2

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 2.1

Soustrayez $8$ de $- 5$ .

$- 13 + 27 i + 12 i + 8 i$

Étape 2.2

Additionnez $27 i$ et $12 i$ .

$- 13 + 39 i + 8 i$

Étape 2.3

Additionnez $39 i$ et $8 i$ .

$- 13 + 47 i$

Étape 3

C’est la forme trigonométrique d’un nombre complexe où $| z |$ est le module et $θ$ est l’angle créé sur le plan complexe.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Étape 4

Le module d’un nombre complexe est la distance par rapport à l’origine du plan complexe.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ où $z = a + b i$

Étape 5

Remplacez les valeurs réelles de $a = - 13$ et $b = 47$ .

$| z | = \sqrt{47^{2} + {(- 13)}^{2}}$

Étape 6

Déterminez $| z |$ .

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Étape 6.1

Élevez $47$ à la puissance $2$ .

$| z | = \sqrt{2209 + {(- 13)}^{2}}$

Étape 6.2

Élevez $- 13$ à la puissance $2$ .

$| z | = \sqrt{2209 + 169}$

Étape 6.3

Additionnez $2209$ et $169$ .

$| z | = \sqrt{2378}$

Étape 7

L’angle du point sur le plan complexe est la tangente inverse de la partie complexe sur la partie réelle.

$θ = \arctan (\frac{47}{- 13})$

Étape 8

Comme la tangente inverse de $\frac{47}{- 13}$ produit un angle dans le deuxième quadrant, la valeur de l’angle est $1.84064548$ .

$θ = 1.84064548$

Étape 9

Remplacez les valeurs de $θ = 1.84064548$ et $| z | = \sqrt{2378}$ .

$\sqrt{2378} (\cos (1.84064548) + i \sin (1.84064548))$