Calcul infinitésimal Exemples

$32 e^{x} - e^{2 x}$

Étape 1

Écrivez $32 e^{x} - e^{2 x}$ comme une fonction.

$f (x) = 32 e^{x} - e^{2 x}$

Étape 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Étape 2.1

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 2.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $32 e^{x} - e^{2 x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [32 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{2 x}]$ .

$\frac{d}{d x} [32 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{2 x}]$

Étape 2.1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [32 e^{x}]$ .

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Étape 2.1.1.2.1

Comme $32$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $32 e^{x}$ par rapport à $x$ est $32 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$32 \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{2 x}]$

Étape 2.1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$32 e^{x} + \frac{d}{d x} [- e^{2 x}]$

Étape 2.1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- e^{2 x}]$ .

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Étape 2.1.1.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- e^{2 x}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$32 e^{x} - \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Étape 2.1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 2.1.1.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 x$ .

$32 e^{x} - (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 2.1.1.3.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$32 e^{x} - (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 2.1.1.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x$ .

$32 e^{x} - (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 2.1.1.3.3

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$32 e^{x} - (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]))$

Étape 2.1.1.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$32 e^{x} - (e^{2 x} (2 \cdot 1))$

Étape 2.1.1.3.5

Multipliez $2$ par $1$ .

$32 e^{x} - (e^{2 x} \cdot 2)$

Étape 2.1.1.3.6

Déplacez $2$ à gauche de $e^{2 x}$ .

$32 e^{x} - (2 \cdot e^{2 x})$

Étape 2.1.1.3.7

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f' (x) = 32 e^{x} - 2 e^{2 x}$

Étape 2.1.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 2.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $32 e^{x} - 2 e^{2 x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [32 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 2 e^{2 x}]$ .

$\frac{d}{d x} [32 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 2 e^{2 x}]$

Étape 2.1.2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [32 e^{x}]$ .

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Étape 2.1.2.2.1

Comme $32$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $32 e^{x}$ par rapport à $x$ est $32 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$32 \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 2 e^{2 x}]$

Étape 2.1.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$32 e^{x} + \frac{d}{d x} [- 2 e^{2 x}]$

Étape 2.1.2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 2 e^{2 x}]$ .

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Étape 2.1.2.3.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 e^{2 x}$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$32 e^{x} - 2 \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Étape 2.1.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 2.1.2.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 x$ .

$32 e^{x} - 2 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 2.1.2.3.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$32 e^{x} - 2 (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 2.1.2.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x$ .

$32 e^{x} - 2 (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 2.1.2.3.3

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$32 e^{x} - 2 (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]))$

Étape 2.1.2.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$32 e^{x} - 2 (e^{2 x} (2 \cdot 1))$

Étape 2.1.2.3.5

Multipliez $2$ par $1$ .

$32 e^{x} - 2 (e^{2 x} \cdot 2)$

Étape 2.1.2.3.6

Déplacez $2$ à gauche de $e^{2 x}$ .

$32 e^{x} - 2 (2 \cdot e^{2 x})$

Étape 2.1.2.3.7

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$f'' (x) = 32 e^{x} - 4 e^{2 x}$

Étape 2.1.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $32 e^{x} - 4 e^{2 x}$ .

$32 e^{x} - 4 e^{2 x}$

Étape 2.2

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $32 e^{x} - 4 e^{2 x} = 0$ .

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Étape 2.2.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$32 e^{x} - 4 e^{2 x} = 0$

Étape 2.2.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.2.2.1

Réécrivez $e^{2 x}$ comme ${(e^{x})}^{2}$ .

$32 e^{x} - 4 {(e^{x})}^{2} = 0$

Étape 2.2.2.2

Laissez $u = e^{x}$ . Remplacez toutes les occurrences de $e^{x}$ par $u$ .

$32 u - 4 u^{2} = 0$

Étape 2.2.2.3

Factorisez $4 u$ à partir de $32 u - 4 u^{2}$ .

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Étape 2.2.2.3.1

Factorisez $4 u$ à partir de $32 u$ .

$4 u (8) - 4 u^{2} = 0$

Étape 2.2.2.3.2

Factorisez $4 u$ à partir de $- 4 u^{2}$ .

$4 u (8) + 4 u (- u) = 0$

Étape 2.2.2.3.3

Factorisez $4 u$ à partir de $4 u (8) + 4 u (- u)$ .

$4 u (8 - u) = 0$

Étape 2.2.2.4

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $e^{x}$ .

$4 e^{x} (8 - e^{x}) = 0$

Étape 2.2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$e^{x} = 0$

$8 - e^{x} = 0$

Étape 2.2.4

Définissez $e^{x}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.2.4.1

Définissez $e^{x}$ égal à $0$ .

$e^{x} = 0$

Étape 2.2.4.2

Résolvez $e^{x} = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.2.4.2.1

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Étape 2.2.4.2.2

L’équation ne peut pas être résolue car $\ln (0)$ est indéfini.

Indéfini

Étape 2.2.4.2.3

Il n’y a pas de solution pour $e^{x} = 0$

Aucune solution

Étape 2.2.5

Définissez $8 - e^{x}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.2.5.1

Définissez $8 - e^{x}$ égal à $0$ .

$8 - e^{x} = 0$

Étape 2.2.5.2

Résolvez $8 - e^{x} = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.2.5.2.1

Soustrayez $8$ des deux côtés de l’équation.

$- e^{x} = - 8$

Étape 2.2.5.2.2

Divisez chaque terme dans $- e^{x} = - 8$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 2.2.5.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- e^{x} = - 8$ par $- 1$ .

$\frac{- e^{x}}{- 1} = \frac{- 8}{- 1}$

Étape 2.2.5.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.5.2.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{e^{x}}{1} = \frac{- 8}{- 1}$

Étape 2.2.5.2.2.2.2

Divisez $e^{x}$ par $1$ .

$e^{x} = \frac{- 8}{- 1}$

Étape 2.2.5.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.2.5.2.2.3.1

Divisez $- 8$ par $- 1$ .

$e^{x} = 8$

Étape 2.2.5.2.3

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{x}) = \ln (8)$

Étape 2.2.5.2.4

Développez le côté gauche.

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Étape 2.2.5.2.4.1

Développez $\ln (e^{x})$ en déplaçant $x$ hors du logarithme.

$x \ln (e) = \ln (8)$

Étape 2.2.5.2.4.2

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (8)$

Étape 2.2.5.2.4.3

Multipliez $x$ par $1$ .

$x = \ln (8)$

Étape 2.2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $4 e^{x} (8 - e^{x}) = 0$ vraie.

$x = \ln (8)$

Étape 3

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Étape 4

Créez des intervalles autour des valeurs $x$ où la dérivée seconde est nulle ou indéfinie.

$(- \infty, \ln (8)) \cup (\ln (8), \infty)$

Étape 5

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(- \infty, \ln (8))$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 5.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f'' (0) = 32 e^{0} - 4 e^{2 (0)}$

Étape 5.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$f'' (0) = 32 \cdot 1 - 4 e^{2 (0)}$

Étape 5.2.1.2

Multipliez $32$ par $1$ .

$f'' (0) = 32 - 4 e^{2 (0)}$

Étape 5.2.1.3

Multipliez $2$ par $0$ .

$f'' (0) = 32 - 4 e^{0}$

Étape 5.2.1.4

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$f'' (0) = 32 - 4 \cdot 1$

Étape 5.2.1.5

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$f'' (0) = 32 - 4$

Étape 5.2.2

Soustrayez $4$ de $32$ .

$f'' (0) = 28$

Étape 5.2.3

La réponse finale est $28$ .

$28$

Étape 5.3

Le graphe est concave vers le haut sur l’intervalle $(- \infty, \ln (8))$ car $f'' (0)$ est positif.

Concave vers le haut sur $(- \infty, \ln (8))$ car $f'' (x)$ est positif

Étape 6

Remplacez tout nombre du premier intervalle $(\ln (8), \infty)$ dans la dérivée seconde et évaluez afin de déterminer la concavité.

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Étape 6.1

Remplacez la variable $x$ par $5$ dans l’expression.

$f'' (5) = 32 e^{5} - 4 e^{2 (5)}$

Étape 6.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 6.2.1

Multipliez $2$ par $5$ .

$f'' (5) = 32 e^{5} - 4 e^{10}$

Étape 6.2.2

La réponse finale est $32 e^{5} - 4 e^{10}$ .

$32 e^{5} - 4 e^{10}$

Étape 6.3

Le graphe est concave vers le bas sur l’intervalle $(\ln (8), \infty)$ car $f'' (5)$ est négatif.

Concave vers le bas sur $(\ln (8), \infty)$ car $f'' (x)$ est négatif

Étape 7

Le graphe est concave vers le bas lorsque la dérivée seconde est négative et concave vers le haut lorsque la dérivée seconde est positive.

Concave vers le haut sur $(- \infty, \ln (8))$ car $f'' (x)$ est positif

Concave vers le bas sur $(\ln (8), \infty)$ car $f'' (x)$ est négatif

Étape 8