Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \sqrt{4 x + 1}$ , $[0, 6]$

Étape 1

Pour déterminer la valeur moyenne d’une fonction, cette fonction devrait être continue sur l’intervalle fermé $[a, b]$ . Pour déterminer si $f (x)$ est continu sur $[0, 6]$ ou non, déterminez le domaine de $f (x) = \sqrt{4 x + 1}$ .

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Étape 1.1

Définissez le radicande dans $\sqrt{4 x + 1}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$4 x + 1 \geq 0$

Étape 1.2

Résolvez $x$ .

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Étape 1.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’inégalité.

$4 x \geq - 1$

Étape 1.2.2

Divisez chaque terme dans $4 x \geq - 1$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 1.2.2.1

Divisez chaque terme dans $4 x \geq - 1$ par $4$ .

$\frac{4 x}{4} \geq \frac{- 1}{4}$

Étape 1.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 1.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 x}{4} \geq \frac{- 1}{4}$

Étape 1.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x \geq \frac{- 1}{4}$

Étape 1.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x \geq - \frac{1}{4}$

Étape 1.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$[- \frac{1}{4}, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \geq - \frac{1}{4}}$

Notation d’intervalle :

$[- \frac{1}{4}, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \geq - \frac{1}{4}}$

Étape 2

$f (x)$ est continu sur $[0, 6]$ .

$f (x)$ est continu

Étape 3

La valeur moyenne de la fonction $f$ sur l’intervalle $[a, b]$ est définie comme $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Étape 4

Remplacez les valeurs réelles dans la formule pour la valeur moyenne d’une fonction.

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\int_{0}^{6} \sqrt{4 x + 1} d x)$

Étape 5

Laissez $u = 4 x + 1$ . Alors $d u = 4 d x$ , donc $\frac{1}{4} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 5.1

Laissez $u = 4 x + 1$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 5.1.1

Différenciez $4 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [4 x + 1]$

Étape 5.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 5.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Étape 5.1.3.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 5.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 5.1.3.3

Multipliez $4$ par $1$ .

$4 + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 5.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 5.1.4.1

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$4 + 0$

Étape 5.1.4.2

Additionnez $4$ et $0$ .

$4$

Étape 5.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = 4 x + 1$ .

$u_{lower} = 4 \cdot 0 + 1$

Étape 5.3

Simplifiez

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Étape 5.3.1

Multipliez $4$ par $0$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

Étape 5.3.2

Additionnez $0$ et $1$ .

$u_{lower} = 1$

Étape 5.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = 4 x + 1$ .

$u_{upper} = 4 \cdot 6 + 1$

Étape 5.5

Simplifiez

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Étape 5.5.1

Multipliez $4$ par $6$ .

$u_{upper} = 24 + 1$

Étape 5.5.2

Additionnez $24$ et $1$ .

$u_{upper} = 25$

Étape 5.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 25$

Étape 5.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\int_{1}^{25} \sqrt{u} (\frac{1}{4}) d u)$

Étape 6

Associez $\sqrt{u}$ et $\frac{1}{4}$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\int_{1}^{25} \frac{\sqrt{u}}{4} d u)$

Étape 7

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{4}$ en dehors de l’intégrale.

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{1}{4} \cdot \int_{1}^{25} \sqrt{u} d u)$

Étape 8

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{u}$ comme $u^{\frac{1}{2}}$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{1}{4} \cdot \int_{1}^{25} u^{\frac{1}{2}} d u)$

Étape 9

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $u$ est $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{25})$

Étape 10

Remplacez et simplifiez.

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Étape 10.1

Évaluez $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ sur $25$ et sur $1$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{1}{4} \cdot ((\frac{2}{3} \cdot 25^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}))$

Étape 10.2

Simplifiez

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Étape 10.2.1

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{1}{4} \cdot (\frac{2}{3} \cdot {(5^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}))$

Étape 10.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{1}{4} \cdot (\frac{2}{3} \cdot 5^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}))$

Étape 10.2.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 10.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{1}{4} \cdot (\frac{2}{3} \cdot 5^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}))$

Étape 10.2.3.2

Réécrivez l’expression.

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{1}{4} \cdot (\frac{2}{3} \cdot 5^{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}))$

Étape 10.2.4

Élevez $5$ à la puissance $3$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{1}{4} \cdot (\frac{2}{3} \cdot 125 - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}))$

Étape 10.2.5

Associez $\frac{2}{3}$ et $125$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{1}{4} \cdot (\frac{2 \cdot 125}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}))$

Étape 10.2.6

Multipliez $2$ par $125$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{1}{4} \cdot (\frac{250}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}))$

Étape 10.2.7

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{1}{4} \cdot (\frac{250}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1))$

Étape 10.2.8

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{1}{4} \cdot (\frac{250}{3} - \frac{2}{3}))$

Étape 10.2.9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{1}{4} \cdot \frac{250 - 2}{3})$

Étape 10.2.10

Soustrayez $2$ de $250$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{1}{4} \cdot \frac{248}{3})$

Étape 10.2.11

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $\frac{248}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{248}{4 \cdot 3})$

Étape 10.2.12

Multipliez $4$ par $3$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{248}{12})$

Étape 10.2.13

Annulez le facteur commun à $248$ et $12$ .

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Étape 10.2.13.1

Factorisez $4$ à partir de $248$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{4 (62)}{12})$

Étape 10.2.13.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 10.2.13.2.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{4 \cdot 62}{4 \cdot 3})$

Étape 10.2.13.2.2

Annulez le facteur commun.

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{4 \cdot 62}{4 \cdot 3})$

Étape 10.2.13.2.3

Réécrivez l’expression.

$A (x) = \frac{1}{6 - 0} (\frac{62}{3})$

Étape 11

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 11.1

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$A (x) = \frac{1}{6 + 0} \cdot \frac{62}{3}$

Étape 11.2

Additionnez $6$ et $0$ .

$A (x) = \frac{1}{6} \cdot \frac{62}{3}$

Étape 12

Simplifiez les termes.

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Étape 12.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 12.1.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$A (x) = \frac{1}{2 (3)} \cdot \frac{62}{3}$

Étape 12.1.2

Factorisez $2$ à partir de $62$ .

$A (x) = \frac{1}{2 \cdot 3} \cdot \frac{2 \cdot 31}{3}$

Étape 12.1.3

Annulez le facteur commun.

$A (x) = \frac{1}{2 \cdot 3} \cdot \frac{2 \cdot 31}{3}$

Étape 12.1.4

Réécrivez l’expression.

$A (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{31}{3}$

Étape 12.2

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $\frac{31}{3}$ .

$A (x) = \frac{31}{3 \cdot 3}$

Étape 12.3

Multipliez $3$ par $3$ .

$A (x) = \frac{31}{9}$

Étape 13