Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{2} + 3 x + 1}{x^{4} - x^{2}}$

Étape 1

Divisez le numérateur et le dénominateur par la plus forte puissance de $x$ dans le dénominateur, qui est $x^{4}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2 x^{2}}{x^{4}} + \frac{3 x}{x^{4}} + \frac{1}{x^{4}}}{\frac{x^{4}}{x^{4}} - \frac{x^{2}}{x^{4}}}$

Étape 2

Évaluez la limite.

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Étape 2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1

Annulez le facteur commun à $x^{2}$ et $x^{4}$ .

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Étape 2.1.1.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $2 x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2} \cdot 2}{x^{4}} + \frac{3 x}{x^{4}} + \frac{1}{x^{4}}}{\frac{x^{4}}{x^{4}} - \frac{x^{2}}{x^{4}}}$

Étape 2.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.1.1.2.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{4}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2} \cdot 2}{x^{2} x^{2}} + \frac{3 x}{x^{4}} + \frac{1}{x^{4}}}{\frac{x^{4}}{x^{4}} - \frac{x^{2}}{x^{4}}}$

Étape 2.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2} \cdot 2}{x^{2} x^{2}} + \frac{3 x}{x^{4}} + \frac{1}{x^{4}}}{\frac{x^{4}}{x^{4}} - \frac{x^{2}}{x^{4}}}$

Étape 2.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2}{x^{2}} + \frac{3 x}{x^{4}} + \frac{1}{x^{4}}}{\frac{x^{4}}{x^{4}} - \frac{x^{2}}{x^{4}}}$

Étape 2.1.2

Annulez le facteur commun à $x$ et $x^{4}$ .

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Étape 2.1.2.1

Factorisez $x$ à partir de $3 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2}{x^{2}} + \frac{x \cdot 3}{x^{4}} + \frac{1}{x^{4}}}{\frac{x^{4}}{x^{4}} - \frac{x^{2}}{x^{4}}}$

Étape 2.1.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.1.2.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{4}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2}{x^{2}} + \frac{x \cdot 3}{x \cdot x^{3}} + \frac{1}{x^{4}}}{\frac{x^{4}}{x^{4}} - \frac{x^{2}}{x^{4}}}$

Étape 2.1.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2}{x^{2}} + \frac{x \cdot 3}{x \cdot x^{3}} + \frac{1}{x^{4}}}{\frac{x^{4}}{x^{4}} - \frac{x^{2}}{x^{4}}}$

Étape 2.1.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2}{x^{2}} + \frac{3}{x^{3}} + \frac{1}{x^{4}}}{\frac{x^{4}}{x^{4}} - \frac{x^{2}}{x^{4}}}$

Étape 2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1

Annulez le facteur commun de $x^{4}$ .

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Étape 2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2}{x^{2}} + \frac{3}{x^{3}} + \frac{1}{x^{4}}}{\frac{x^{4}}{x^{4}} - \frac{x^{2}}{x^{4}}}$

Étape 2.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2}{x^{2}} + \frac{3}{x^{3}} + \frac{1}{x^{4}}}{1 - \frac{x^{2}}{x^{4}}}$

Étape 2.2.2

Annulez le facteur commun à $x^{2}$ et $x^{4}$ .

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Étape 2.2.2.1

Multipliez par $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2}{x^{2}} + \frac{3}{x^{3}} + \frac{1}{x^{4}}}{1 - \frac{x^{2} \cdot 1}{x^{4}}}$

Étape 2.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.2.2.2.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{4}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2}{x^{2}} + \frac{3}{x^{3}} + \frac{1}{x^{4}}}{1 - \frac{x^{2} \cdot 1}{x^{2} x^{2}}}$

Étape 2.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2}{x^{2}} + \frac{3}{x^{3}} + \frac{1}{x^{4}}}{1 - \frac{x^{2} \cdot 1}{x^{2} x^{2}}}$

Étape 2.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2}{x^{2}} + \frac{3}{x^{3}} + \frac{1}{x^{4}}}{1 - \frac{1}{x^{2}}}$

Étape 2.3

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{2}{x^{2}} + \frac{3}{x^{3}} + \frac{1}{x^{4}}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{1}{x^{2}}}$

Étape 2.4

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{2}{x^{2}} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x^{3}} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{4}}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{1}{x^{2}}}$

Étape 2.5

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}} + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x^{3}} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{4}}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{1}{x^{2}}}$

Étape 3

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x^{2}}$ approche de $0$ .

$\frac{2 \cdot 0 + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x^{3}} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{4}}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{1}{x^{2}}}$

Étape 4

Placez le terme $3$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{2 \cdot 0 + 3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{4}}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{1}{x^{2}}}$

Étape 5

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x^{3}}$ approche de $0$ .

$\frac{2 \cdot 0 + 3 \cdot 0 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{4}}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{1}{x^{2}}}$

Étape 6

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x^{4}}$ approche de $0$ .

$\frac{2 \cdot 0 + 3 \cdot 0 + 0}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{1}{x^{2}}}$

Étape 7

Évaluez la limite.

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Étape 7.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{2 \cdot 0 + 3 \cdot 0 + 0}{lim_{x \to \infty} 1 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}$

Étape 7.2

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{2 \cdot 0 + 3 \cdot 0 + 0}{1 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}$

Étape 8

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x^{2}}$ approche de $0$ .

$\frac{2 \cdot 0 + 3 \cdot 0 + 0}{1 - 0}$

Étape 9

Simplifiez la réponse.

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Étape 9.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.1.1

Multipliez $2$ par $0$ .

$\frac{0 + 3 \cdot 0 + 0}{1 - 0}$

Étape 9.1.2

Multipliez $3$ par $0$ .

$\frac{0 + 0 + 0}{1 - 0}$

Étape 9.1.3

Additionnez $0 + 0$ et $0$ .

$\frac{0 + 0}{1 - 0}$

Étape 9.1.4

Additionnez $0$ et $0$ .

$\frac{0}{1 - 0}$

Étape 9.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 9.2.1

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$\frac{0}{1 + 0}$

Étape 9.2.2

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{0}{1}$

Étape 9.3

Divisez $0$ par $1$ .

$0$