Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 0} \frac{{(1 - \cos (x))}^{2}}{x}$

Étape 1

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 0} {(1 - \cos (x))}^{2}}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.1

Évaluez la limite.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.1.1

Déplacez l’exposant $2$ de ${(1 - \cos (x))}^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{{(lim_{x \to 0} 1 - \cos (x))}^{2}}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.1.2.1.2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{{(lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} \cos (x))}^{2}}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.1.2.1.3

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{{(1 - lim_{x \to 0} \cos (x))}^{2}}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.1.2.1.4

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\frac{{(1 - \cos (lim_{x \to 0} x))}^{2}}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.1.2.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{{(1 - \cos (0))}^{2}}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.1.2.3

Simplifiez la réponse.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.3.1.1

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$\frac{{(1 - 1 \cdot 1)}^{2}}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.1.2.3.1.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{{(1 - 1)}^{2}}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.1.2.3.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{0^{2}}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.1.2.3.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.1.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 0} \frac{{(1 - \cos (x))}^{2}}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [{(1 - \cos (x))}^{2}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [{(1 - \cos (x))}^{2}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = 1 - \cos (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $1 - \cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 u \frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $1 - \cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - \cos (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (1 - \cos (x)) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)])}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.4

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (1 - \cos (x)) (0 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)])}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.5

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.6

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (1 - \cos (x)) (- \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.7

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.8

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 (1 - \cos (x)) (- \sin (x))}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.9

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (1 - \cos (x)) \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.10

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.10.1

Appliquez la propriété distributive.

$lim_{x \to 0} \frac{(2 \cdot 1 + 2 (- \cos (x))) \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.10.2

Appliquez la propriété distributive.

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cdot 1 \sin (x) + 2 (- \cos (x)) \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.10.3

Associez des termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.10.3.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \sin (x) + 2 (- \cos (x)) \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.10.3.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \sin (x) - 2 \cos (x) \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.10.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 \cos (x) \sin (x) + 2 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.11

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 2 \cos (x) \sin (x) + 2 \sin (x)}{1}$

Étape 1.4

Divisez $- 2 \cos (x) \sin (x) + 2 \sin (x)$ par $1$ .

$lim_{x \to 0} - 2 \cos (x) \sin (x) + 2 \sin (x)$

Étape 2

Évaluez la limite.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$- lim_{x \to 0} 2 \cos (x) \sin (x) + lim_{x \to 0} 2 \sin (x)$

Étape 2.2

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$- 2 lim_{x \to 0} \cos (x) \sin (x) + lim_{x \to 0} 2 \sin (x)$

Étape 2.3

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$- 2 lim_{x \to 0} \cos (x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (x) + lim_{x \to 0} 2 \sin (x)$

Étape 2.4

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$- 2 \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (x) + lim_{x \to 0} 2 \sin (x)$

Étape 2.5

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$- 2 \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} 2 \sin (x)$

Étape 2.6

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$- 2 \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + 2 lim_{x \to 0} \sin (x)$

Étape 2.7

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$- 2 \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + 2 \sin (lim_{x \to 0} x)$

Étape 3

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$- 2 \cos (0) \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + 2 \sin (lim_{x \to 0} x)$

Étape 3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$- 2 \cos (0) \cdot \sin (0) + 2 \sin (lim_{x \to 0} x)$

Étape 3.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$- 2 \cos (0) \cdot \sin (0) + 2 \sin (0)$

Étape 4

Simplifiez la réponse.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.1

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$- 2 \cdot 1 \cdot \sin (0) + 2 \sin (0)$

Étape 4.1.2

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$- 2 \cdot \sin (0) + 2 \sin (0)$

Étape 4.1.3

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$- 2 \cdot 0 + 2 \sin (0)$

Étape 4.1.4

Multipliez $- 2$ par $0$ .

$0 + 2 \sin (0)$

Étape 4.1.5

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$0 + 2 \cdot 0$

Étape 4.1.6

Multipliez $2$ par $0$ .

$0 + 0$

Étape 4.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$0$