Calcul infinitésimal Exemples

$\int x \cos (3 x) d x$

Étape 1

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = x$ et $d v = \cos (3 x)$ .

$x (\frac{1}{3} \sin (3 x)) - \int \frac{1}{3} \sin (3 x) d x$

Étape 2

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Étape 2.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $\sin (3 x)$ .

$x \frac{\sin (3 x)}{3} - \int \frac{1}{3} \sin (3 x) d x$

Étape 2.2

Associez $x$ et $\frac{\sin (3 x)}{3}$ .

$\frac{x \sin (3 x)}{3} - \int \frac{1}{3} \sin (3 x) d x$

Étape 3

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{x \sin (3 x)}{3} - (\frac{1}{3} \int \sin (3 x) d x)$

Étape 4

Laissez $u = 3 x$ . Alors $d u = 3 d x$ , donc $\frac{1}{3} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 4.1

Laissez $u = 3 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 4.1.1

Différenciez $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Étape 4.1.2

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Étape 4.1.4

Multipliez $3$ par $1$ .

$3$

Étape 4.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\frac{x \sin (3 x)}{3} - \frac{1}{3} \int \sin (u) \frac{1}{3} d u$

Étape 5

Associez $\sin (u)$ et $\frac{1}{3}$ .

$\frac{x \sin (3 x)}{3} - \frac{1}{3} \int \frac{\sin (u)}{3} d u$

Étape 6

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{x \sin (3 x)}{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} \int \sin (u) d u)$

Étape 7

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Étape 7.1

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $\frac{1}{3}$ .

$\frac{x \sin (3 x)}{3} - \frac{1}{3 \cdot 3} \int \sin (u) d u$

Étape 7.2

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{x \sin (3 x)}{3} - \frac{1}{9} \int \sin (u) d u$

Étape 8

L’intégrale de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $- \cos (u)$ .

$\frac{x \sin (3 x)}{3} - \frac{1}{9} (- \cos (u) + C)$

Étape 9

Réécrivez $\frac{x \sin (3 x)}{3} - \frac{1}{9} (- \cos (u) + C)$ comme $\frac{x \sin (3 x)}{3} + \frac{\cos (u)}{9} + C$ .

$\frac{x \sin (3 x)}{3} + \frac{\cos (u)}{9} + C$

Étape 10

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3 x$ .

$\frac{x \sin (3 x)}{3} + \frac{\cos (3 x)}{9} + C$

Étape 11

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{3} x \sin (3 x) + \frac{1}{9} \cos (3 x) + C$