Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{2} + 3 x - 28$

Étape 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 3 x - 28$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 28]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 28]$

Étape 1.1.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 28]$

Étape 1.1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Étape 1.1.1.2.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x + 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 28]$

Étape 1.1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 x + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 28]$

Étape 1.1.1.2.3

Multipliez $3$ par $1$ .

$2 x + 3 + \frac{d}{d x} [- 28]$

Étape 1.1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.1.1.3.1

Comme $- 28$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 28$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 x + 3 + 0$

Étape 1.1.1.3.2

Additionnez $2 x + 3$ et $0$ .

$f' (x) = 2 x + 3$

Étape 1.1.2

Déterminez la dérivée seconde.

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Étape 1.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x + 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 1.1.2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Étape 1.1.2.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 1.1.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 1.1.2.2.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 1.1.2.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.1.2.3.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 + 0$

Étape 1.1.2.3.2

Additionnez $2$ et $0$ .

$f'' (x) = 2$

Étape 1.1.3

La dérivée seconde de $f (x)$ par rapport à $x$ est $2$ .

$2$

Étape 1.2

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ puis résolvez l’équation $2 = 0$ .

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Étape 1.2.1

Définissez la dérivée seconde égale à $0$ .

$2 = 0$

Étape 1.2.2

Comme $2 \neq 0$ , il n’y a aucune solution.

Aucune solution

Étape 2

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Étape 3

Le graphe est concave vers le haut car la dérivée seconde est positive.

Le graphe est concave vers le haut

Étape 4