Calcul infinitésimal Exemples

${(x^{2} - 1)}^{3}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = x^{2} - 1$ .

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Étape 1.1.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} - 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Étape 1.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Étape 1.1.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} - 1$ .

$3 {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Étape 1.1.2

Différenciez.

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Étape 1.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$3 {(x^{2} - 1)}^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$3 {(x^{2} - 1)}^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [- 1])$

Étape 1.1.2.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$3 {(x^{2} - 1)}^{2} (2 x + 0)$

Étape 1.1.2.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.2.4.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$3 {(x^{2} - 1)}^{2} (2 x)$

Étape 1.1.2.4.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$6 {(x^{2} - 1)}^{2} x$

Étape 1.1.2.4.3

Réorganisez les facteurs de $6 {(x^{2} - 1)}^{2} x$ .

$f' (x) = 6 x {(x^{2} - 1)}^{2}$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $6 x {(x^{2} - 1)}^{2}$ .

$6 x {(x^{2} - 1)}^{2}$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $6 x {(x^{2} - 1)}^{2} = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$6 x {(x^{2} - 1)}^{2} = 0$

Étape 2.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

${(x^{2} - 1)}^{2} = 0$

Étape 2.3

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 2.4

Définissez ${(x^{2} - 1)}^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.4.1

Définissez ${(x^{2} - 1)}^{2}$ égal à $0$ .

${(x^{2} - 1)}^{2} = 0$

Étape 2.4.2

Résolvez ${(x^{2} - 1)}^{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.4.2.1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.4.2.1.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

${(x^{2} - 1^{2})}^{2} = 0$

Étape 2.4.2.1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 1$ .

${((x + 1) (x - 1))}^{2} = 0$

Étape 2.4.2.1.3

Appliquez la règle de produit à $(x + 1) (x - 1)$ .

${(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} = 0$

Étape 2.4.2.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

${(x + 1)}^{2} = 0$

${(x - 1)}^{2} = 0$

Étape 2.4.2.3

Définissez ${(x + 1)}^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.4.2.3.1

Définissez ${(x + 1)}^{2}$ égal à $0$ .

${(x + 1)}^{2} = 0$

Étape 2.4.2.3.2

Résolvez ${(x + 1)}^{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.4.2.3.2.1

Définissez le $x + 1$ égal à $0$ .

$x + 1 = 0$

Étape 2.4.2.3.2.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 2.4.2.4

Définissez ${(x - 1)}^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.4.2.4.1

Définissez ${(x - 1)}^{2}$ égal à $0$ .

${(x - 1)}^{2} = 0$

Étape 2.4.2.4.2

Résolvez ${(x - 1)}^{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.4.2.4.2.1

Définissez le $x - 1$ égal à $0$ .

$x - 1 = 0$

Étape 2.4.2.4.2.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 2.4.2.5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent ${(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} = 0$ vraie.

$x = - 1, 1$

Étape 2.5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $6 x {(x^{2} - 1)}^{2} = 0$ vraie.

$x = 0, - 1, 1$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 4

Évaluez ${(x^{2} - 1)}^{3}$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 4.1

Évaluez sur $x = 0$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $0$ .

${({(0)}^{2} - 1)}^{3}$

Étape 4.1.2

Simplifiez

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Étape 4.1.2.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

${(0 - 1)}^{3}$

Étape 4.1.2.2

Soustrayez $1$ de $0$ .

${(- 1)}^{3}$

Étape 4.1.2.3

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$- 1$

Étape 4.2

Évaluez sur $x = - 1$ .

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Étape 4.2.1

Remplacez $x$ par $- 1$ .

${({(- 1)}^{2} - 1)}^{3}$

Étape 4.2.2

Simplifiez

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Étape 4.2.2.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

${(1 - 1)}^{3}$

Étape 4.2.2.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$0^{3}$

Étape 4.2.2.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0$

Étape 4.3

Évaluez sur $x = 1$ .

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Étape 4.3.1

Remplacez $x$ par $1$ .

${({(1)}^{2} - 1)}^{3}$

Étape 4.3.2

Simplifiez

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Étape 4.3.2.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

${(1 - 1)}^{3}$

Étape 4.3.2.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$0^{3}$

Étape 4.3.2.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0$

Étape 4.4

Indiquez tous les points.

$(0, - 1), (- 1, 0), (1, 0)$

Étape 5