Calcul infinitésimal Exemples

${(x^{3} - 8)}^{4}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{4}$ et $g (x) = x^{3} - 8$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{3} - 8$ .

$\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [x^{3} - 8]$

Étape 1.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$4 u^{3} \frac{d}{d x} [x^{3} - 8]$

Étape 1.1.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{3} - 8$ .

$4 {(x^{3} - 8)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{3} - 8]$

Étape 1.1.2

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} - 8$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$4 {(x^{3} - 8)}^{3} (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8])$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$4 {(x^{3} - 8)}^{3} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 8])$

Étape 1.1.2.3

Comme $- 8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 8$ par rapport à $x$ est $0$ .

$4 {(x^{3} - 8)}^{3} (3 x^{2} + 0)$

Étape 1.1.2.4

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.4.1

Additionnez $3 x^{2}$ et $0$ .

$4 {(x^{3} - 8)}^{3} (3 x^{2})$

Étape 1.1.2.4.2

Multipliez $3$ par $4$ .

$12 {(x^{3} - 8)}^{3} x^{2}$

Étape 1.1.2.4.3

Réorganisez les facteurs de $12 {(x^{3} - 8)}^{3} x^{2}$ .

$f' (x) = 12 x^{2} {(x^{3} - 8)}^{3}$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $12 x^{2} {(x^{3} - 8)}^{3}$ .

$12 x^{2} {(x^{3} - 8)}^{3}$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $12 x^{2} {(x^{3} - 8)}^{3} = 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$12 x^{2} {(x^{3} - 8)}^{3} = 0$

Étape 2.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x^{2} = 0$

${(x^{3} - 8)}^{3} = 0$

Étape 2.3

Définissez $x^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Définissez $x^{2}$ égal à $0$ .

$x^{2} = 0$

Étape 2.3.2

Résolvez $x^{2} = 0$ pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.2.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{0}$

Étape 2.3.2.2

Simplifiez $\pm \sqrt{0}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Étape 2.3.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 0$

Étape 2.3.2.2.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 2.4

Définissez ${(x^{3} - 8)}^{3}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.1

Définissez ${(x^{3} - 8)}^{3}$ égal à $0$ .

${(x^{3} - 8)}^{3} = 0$

Étape 2.4.2

Résolvez ${(x^{3} - 8)}^{3} = 0$ pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.2.1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.2.1.1

Réécrivez $8$ comme $2^{3}$ .

${(x^{3} - 2^{3})}^{3} = 0$

Étape 2.4.2.1.2

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des cubes, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ où $a = x$ et $b = 2$ .

${((x - 2) (x^{2} + x \cdot 2 + 2^{2}))}^{3} = 0$

Étape 2.4.2.1.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.2.1.3.1

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

${((x - 2) (x^{2} + 2 x + 2^{2}))}^{3} = 0$

Étape 2.4.2.1.3.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

${((x - 2) (x^{2} + 2 x + 4))}^{3} = 0$

Étape 2.4.2.1.4

Appliquez la règle de produit à $(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)$ .

${(x - 2)}^{3} {(x^{2} + 2 x + 4)}^{3} = 0$

Étape 2.4.2.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

${(x - 2)}^{3} = 0$

${(x^{2} + 2 x + 4)}^{3} = 0$

Étape 2.4.2.3

Définissez ${(x - 2)}^{3}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.2.3.1

Définissez ${(x - 2)}^{3}$ égal à $0$ .

${(x - 2)}^{3} = 0$

Étape 2.4.2.3.2

Résolvez ${(x - 2)}^{3} = 0$ pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.2.3.2.1

Définissez le $x - 2$ égal à $0$ .

$x - 2 = 0$

Étape 2.4.2.3.2.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 2.4.2.4

Définissez ${(x^{2} + 2 x + 4)}^{3}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.2.4.1

Définissez ${(x^{2} + 2 x + 4)}^{3}$ égal à $0$ .

${(x^{2} + 2 x + 4)}^{3} = 0$

Étape 2.4.2.4.2

Résolvez ${(x^{2} + 2 x + 4)}^{3} = 0$ pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.2.4.2.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x^{2} + 2 x + 4 = \sqrt[3]{0}$

Étape 2.4.2.4.2.2

Simplifiez $\sqrt[3]{0}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.2.4.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{3}$ .

$x^{2} + 2 x + 4 = \sqrt[3]{0^{3}}$

Étape 2.4.2.4.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$x^{2} + 2 x + 4 = 0$

Étape 2.4.2.4.2.3

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 2.4.2.4.2.4

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = 2$ et $c = 4$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 4)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.4.2.5

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.2.4.2.5.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.2.4.2.5.1.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.4.2.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.2.4.2.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.4.2.5.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.4.2.5.1.3

Soustrayez $16$ de $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.4.2.5.1.4

Réécrivez $- 12$ comme $- 1 (12)$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.4.2.5.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (12)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.4.2.5.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.4.2.5.1.7

Réécrivez $12$ comme $2^{2} \cdot 3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.2.4.2.5.1.7.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.4.2.5.1.7.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.4.2.5.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.4.2.5.1.9

Déplacez $2$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.4.2.5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 2.4.2.4.2.5.3

Simplifiez $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 1 \pm i \sqrt{3}$

Étape 2.4.2.4.2.6

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.2.4.2.6.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.2.4.2.6.1.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.4.2.6.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.2.4.2.6.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.4.2.6.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.4.2.6.1.3

Soustrayez $16$ de $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.4.2.6.1.4

Réécrivez $- 12$ comme $- 1 (12)$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.4.2.6.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (12)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.4.2.6.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.4.2.6.1.7

Réécrivez $12$ comme $2^{2} \cdot 3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.2.4.2.6.1.7.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.4.2.6.1.7.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.4.2.6.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.4.2.6.1.9

Déplacez $2$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.4.2.6.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 2.4.2.4.2.6.3

Simplifiez $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 1 \pm i \sqrt{3}$

Étape 2.4.2.4.2.6.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = - 1 + i \sqrt{3}$

Étape 2.4.2.4.2.7

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.2.4.2.7.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.2.4.2.7.1.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.4.2.7.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.2.4.2.7.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.4.2.7.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.4.2.7.1.3

Soustrayez $16$ de $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.4.2.7.1.4

Réécrivez $- 12$ comme $- 1 (12)$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.4.2.7.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (12)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.4.2.7.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.4.2.7.1.7

Réécrivez $12$ comme $2^{2} \cdot 3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.2.4.2.7.1.7.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.4.2.7.1.7.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.4.2.7.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.4.2.7.1.9

Déplacez $2$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.4.2.7.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 2.4.2.4.2.7.3

Simplifiez $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 1 \pm i \sqrt{3}$

Étape 2.4.2.4.2.7.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = - 1 - i \sqrt{3}$

Étape 2.4.2.4.2.8

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

Étape 2.4.2.5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent ${(x - 2)}^{3} {(x^{2} + 2 x + 4)}^{3} = 0$ vraie.

$x = 2, - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

Étape 2.5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $12 x^{2} {(x^{3} - 8)}^{3} = 0$ vraie.

$x = 0, 2, - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 4

Évaluez ${(x^{3} - 8)}^{4}$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Évaluez sur $x = 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $0$ .

${({(0)}^{3} - 8)}^{4}$

Étape 4.1.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

${(0 - 8)}^{4}$

Étape 4.1.2.2

Soustrayez $8$ de $0$ .

${(- 8)}^{4}$

Étape 4.1.2.3

Élevez $- 8$ à la puissance $4$ .

$4096$

Étape 4.2

Évaluez sur $x = 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Remplacez $x$ par $2$ .

${({(2)}^{3} - 8)}^{4}$

Étape 4.2.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.1

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

${(8 - 8)}^{4}$

Étape 4.2.2.2

Soustrayez $8$ de $8$ .

$0^{4}$

Étape 4.2.2.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0$

Étape 4.3

Indiquez tous les points.

$(0, 4096), (2, 0)$

Étape 5