Calcul infinitésimal Exemples

$3^{x} \sin (x)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = 3^{x}$ et $g (x) = \sin (x)$ .

$3^{x} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [3^{x}]$

Étape 1.1.2

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$3^{x} \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [3^{x}]$

Étape 1.1.3

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $3$ .

$3^{x} \cos (x) + \sin (x) (3^{x} \ln (3))$

Étape 1.1.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = 3^{x} \cos (x) + 3^{x} \sin (x) \ln (3)$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $3^{x} \cos (x) + 3^{x} \sin (x) \ln (3)$ .

$3^{x} \cos (x) + 3^{x} \sin (x) \ln (3)$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $3^{x} \cos (x) + 3^{x} \sin (x) \ln (3) = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$3^{x} \cos (x) + 3^{x} \sin (x) \ln (3) = 0$

Étape 2.2

Factorisez $3^{x}$ à partir de $3^{x} \cos (x) + 3^{x} \sin (x) \ln (3)$ .

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Étape 2.2.1

Factorisez $3^{x}$ à partir de $3^{x} \sin (x) \ln (3)$ .

$3^{x} \cos (x) + 3^{x} (\sin (x) \ln (3)) = 0$

Étape 2.2.2

Factorisez $3^{x}$ à partir de $3^{x} \cos (x) + 3^{x} (\sin (x) \ln (3))$ .

$3^{x} (\cos (x) + \sin (x) \ln (3)) = 0$

Étape 2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$3^{x} = 0$

$\cos (x) + \sin (x) \ln (3) = 0$

Étape 2.4

Définissez $3^{x}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.4.1

Définissez $3^{x}$ égal à $0$ .

$3^{x} = 0$

Étape 2.4.2

Résolvez $3^{x} = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.4.2.1

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (3^{x}) = \ln (0)$

Étape 2.4.2.2

L’équation ne peut pas être résolue car $\ln (0)$ est indéfini.

Indéfini

Étape 2.4.2.3

Il n’y a pas de solution pour $3^{x} = 0$

Aucune solution

Étape 2.5

Définissez $\cos (x) + \sin (x) \ln (3)$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.5.1

Définissez $\cos (x) + \sin (x) \ln (3)$ égal à $0$ .

$\cos (x) + \sin (x) \ln (3) = 0$

Étape 2.5.2

Résolvez $\cos (x) + \sin (x) \ln (3) = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.5.2.1

Divisez chaque terme dans l’équation par $\cos (x)$ .

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) \ln (3)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 2.5.2.2

Annulez le facteur commun de $\cos (x)$ .

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Étape 2.5.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) \ln (3)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 2.5.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$1 + \frac{\sin (x) \ln (3)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 2.5.2.3

Séparez les fractions.

$1 + \frac{\ln (3)}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 2.5.2.4

Convertissez de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ à $\tan (x)$ .

$1 + \frac{\ln (3)}{1} \cdot \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 2.5.2.5

Divisez $\ln (3)$ par $1$ .

$1 + \ln (3) \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 2.5.2.6

Séparez les fractions.

$1 + \ln (3) \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Étape 2.5.2.7

Convertissez de $\frac{1}{\cos (x)}$ à $\sec (x)$ .

$1 + \ln (3) \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

Étape 2.5.2.8

Divisez $0$ par $1$ .

$1 + \ln (3) \tan (x) = 0 \sec (x)$

Étape 2.5.2.9

Multipliez $0$ par $\sec (x)$ .

$1 + \ln (3) \tan (x) = 0$

Étape 2.5.2.10

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$\ln (3) \tan (x) = - 1$

Étape 2.5.2.11

Divisez chaque terme dans $\ln (3) \tan (x) = - 1$ par $\ln (3)$ et simplifiez.

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Étape 2.5.2.11.1

Divisez chaque terme dans $\ln (3) \tan (x) = - 1$ par $\ln (3)$ .

$\frac{\ln (3) \tan (x)}{\ln (3)} = \frac{- 1}{\ln (3)}$

Étape 2.5.2.11.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.5.2.11.2.1

Annulez le facteur commun de $\ln (3)$ .

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Étape 2.5.2.11.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\ln (3) \tan (x)}{\ln (3)} = \frac{- 1}{\ln (3)}$

Étape 2.5.2.11.2.1.2

Divisez $\tan (x)$ par $1$ .

$\tan (x) = \frac{- 1}{\ln (3)}$

Étape 2.5.2.11.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.5.2.11.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\tan (x) = - \frac{1}{\ln (3)}$

Étape 2.5.2.12

Prenez la tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la tangente.

$x = \arctan (- \frac{1}{\ln (3)})$

Étape 2.5.2.13

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.5.2.13.1

Évaluez $\arctan (- \frac{1}{\ln (3)})$ .

$x = - 0.73844341$

Étape 2.5.2.14

La fonction tangente est négative dans les deuxième et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$x = - 0.73844341 - (3.14159265)$

Étape 2.5.2.15

Simplifiez l’expression pour déterminer la deuxième solution.

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Étape 2.5.2.15.1

Ajoutez $2 π$ à $- 0.73844341 - (3.14159265)$ .

$x = - 0.73844341 - (3.14159265) + 2 π$

Étape 2.5.2.15.2

L’angle résultant de $2.40314923$ est positif et coterminal avec $- 0.73844341 - (3.14159265)$ .

$x = 2.40314923$

Étape 2.5.2.16

Déterminez la période de $\tan (x)$ .

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Étape 2.5.2.16.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Étape 2.5.2.16.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{π}{| 1 |}$

Étape 2.5.2.16.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{π}{1}$

Étape 2.5.2.16.4

Divisez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 2.5.2.17

Ajoutez $π$ à chaque angle négatif pour obtenir des angles positifs.

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Étape 2.5.2.17.1

Ajoutez $π$ à $- 0.73844341$ pour déterminer l’angle positif.

$- 0.73844341 + π$

Étape 2.5.2.17.2

Remplacez par l’approximation décimale.

$3.14159265 - 0.73844341$

Étape 2.5.2.17.3

Soustrayez $0.73844341$ de $3.14159265$ .

$2.40314923$

Étape 2.5.2.17.4

Indiquez les nouveaux angles.

$x = 2.40314923$

Étape 2.5.2.18

La période de la fonction $\tan (x)$ est $π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $π$ radians dans les deux sens.

$x = 2.40314923 + π n, 2.40314923 + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $3^{x} (\cos (x) + \sin (x) \ln (3)) = 0$ vraie.

$x = 2.40314923 + π n, 2.40314923 + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 4

Évaluez $3^{x} \sin (x)$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 4.1

Évaluez sur $x = 2.40314923$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $2.40314923$ .

$3^{2.40314923} \sin (2.40314923)$

Étape 4.1.2

Simplifiez

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Étape 4.1.2.1

Élevez $3$ à la puissance $2.40314923$ .

$14.01501538 \sin (2.40314923)$

Étape 4.1.2.2

Multipliez $14.01501538$ par $\sin (2.40314923)$ .

$9.43403393$

Étape 4.2

Évaluez sur $x = 5.54474188$ .

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Étape 4.2.1

Remplacez $x$ par $5.54474188$ .

$3^{5.54474188} \sin (5.54474188)$

Étape 4.2.2

Simplifiez

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Étape 4.2.2.1

Élevez $3$ à la puissance $5.54474188$ .

$442.09357916 \sin (5.54474188)$

Étape 4.2.2.2

Multipliez $442.09357916$ par $\sin (5.54474188)$ .

$- 297.58981445$

Étape 4.3

Évaluez sur $x = 2.40314923 + 2 π$ .

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Étape 4.3.1

Remplacez $x$ par $2.40314923 + 2 π$ .

$3^{2.40314923 + 2 π} \sin (2.40314923 + 2 π)$

Étape 4.3.2

Simplifiez

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Étape 4.3.2.1

Additionnez $2.40314923$ et $2 π$ .

$3^{8.68633454} \sin (2.40314923 + 2 π)$

Étape 4.3.2.2

Élevez $3$ à la puissance $8.68633454$ .

$13945.52395695 \sin (2.40314923 + 2 π)$

Étape 4.3.2.3

Additionnez $2.40314923$ et $2 π$ .

$13945.52395695 \sin (8.68633454)$

Étape 4.3.2.4

Multipliez $13945.52395695$ par $\sin (8.68633454)$ .

$9387.25664074$

Étape 4.4

Évaluez sur $x = 2.40314923 + 3 π$ .

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Étape 4.4.1

Remplacez $x$ par $2.40314923 + 3 π$ .

$3^{2.40314923 + 3 π} \sin (2.40314923 + 3 π)$

Étape 4.4.2

Simplifiez

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Étape 4.4.2.1

Additionnez $2.40314923$ et $3 π$ .

$3^{11.82792719} \sin (2.40314923 + 3 π)$

Étape 4.4.2.2

Élevez $3$ à la puissance $11.82792719$ .

$439901.52220938 \sin (2.40314923 + 3 π)$

Étape 4.4.2.3

Additionnez $2.40314923$ et $3 π$ .

$439901.52220938 \sin (11.82792719)$

Étape 4.4.2.4

Multipliez $439901.52220938$ par $\sin (11.82792719)$ .

$- 296114.25848054$

Étape 4.5

Évaluez sur $x = 2.40314923 + 4 π$ .

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Étape 4.5.1

Remplacez $x$ par $2.40314923 + 4 π$ .

$3^{2.40314923 + 4 π} \sin (2.40314923 + 4 π)$

Étape 4.5.2

Simplifiez

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Étape 4.5.2.1

Additionnez $2.40314923$ et $4 π$ .

$3^{14.96951985} \sin (2.40314923 + 4 π)$

Étape 4.5.2.2

Élevez $3$ à la puissance $14.96951985$ .

$13876377.0970174 \sin (2.40314923 + 4 π)$

Étape 4.5.2.3

Additionnez $2.40314923$ et $4 π$ .

$13876377.0970174 \sin (14.96951985)$

Étape 4.5.2.4

Multipliez $13876377.0970174$ par $\sin (14.96951985)$ .

$9340711.28884108$

Étape 4.6

Indiquez tous les points.

$(2.40314923, 9.43403393), (5.54474188, - 297.58981445), (2.40314923 + 2 π, 9387.25664074), (2.40314923 + 3 π, - 296114.25848054), (2.40314923 + 4 π, 9340711.28884108)$

Étape 5