Calcul infinitésimal Exemples

$t^{4} + t^{3} + t^{2} + 1$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $t^{4} + t^{3} + t^{2} + 1$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [t^{4}] + \frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$\frac{d}{d t} [t^{4}] + \frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$4 t^{3} + \frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$

Étape 1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$4 t^{3} + 3 t^{2} + \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$

Étape 1.1.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$4 t^{3} + 3 t^{2} + 2 t + \frac{d}{d t} [1]$

Étape 1.1.5

Comme $1$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $1$ par rapport à $t$ est $0$ .

$4 t^{3} + 3 t^{2} + 2 t + 0$

Étape 1.1.6

Additionnez $4 t^{3} + 3 t^{2} + 2 t$ et $0$ .

$f' (t) = 4 t^{3} + 3 t^{2} + 2 t$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (t)$ par rapport à $t$ est $4 t^{3} + 3 t^{2} + 2 t$ .

$4 t^{3} + 3 t^{2} + 2 t$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $4 t^{3} + 3 t^{2} + 2 t = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$4 t^{3} + 3 t^{2} + 2 t = 0$

Étape 2.2

Factorisez $t$ à partir de $4 t^{3} + 3 t^{2} + 2 t$ .

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Étape 2.2.1

Factorisez $t$ à partir de $4 t^{3}$ .

$t (4 t^{2}) + 3 t^{2} + 2 t = 0$

Étape 2.2.2

Factorisez $t$ à partir de $3 t^{2}$ .

$t (4 t^{2}) + t (3 t) + 2 t = 0$

Étape 2.2.3

Factorisez $t$ à partir de $2 t$ .

$t (4 t^{2}) + t (3 t) + t \cdot 2 = 0$

Étape 2.2.4

Factorisez $t$ à partir de $t (4 t^{2}) + t (3 t)$ .

$t (4 t^{2} + 3 t) + t \cdot 2 = 0$

Étape 2.2.5

Factorisez $t$ à partir de $t (4 t^{2} + 3 t) + t \cdot 2$ .

$t (4 t^{2} + 3 t + 2) = 0$

Étape 2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$t = 0$

$4 t^{2} + 3 t + 2 = 0$

Étape 2.4

Définissez $t$ égal à $0$ .

$t = 0$

Étape 2.5

Définissez $4 t^{2} + 3 t + 2$ égal à $0$ et résolvez $t$ .

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Étape 2.5.1

Définissez $4 t^{2} + 3 t + 2$ égal à $0$ .

$4 t^{2} + 3 t + 2 = 0$

Étape 2.5.2

Résolvez $4 t^{2} + 3 t + 2 = 0$ pour $t$ .

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Étape 2.5.2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 2.5.2.2

Remplacez les valeurs $a = 4$ , $b = 3$ et $c = 2$ dans la formule quadratique et résolvez pour $t$ .

$\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (4 \cdot 2)}}{2 \cdot 4}$

Étape 2.5.2.3

Simplifiez

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Étape 2.5.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.5.2.3.1.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$t = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 4 \cdot 2}}{2 \cdot 4}$

Étape 2.5.2.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 4 \cdot 2$ .

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Étape 2.5.2.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $4$ .

$t = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 16 \cdot 2}}{2 \cdot 4}$

Étape 2.5.2.3.1.2.2

Multipliez $- 16$ par $2$ .

$t = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 32}}{2 \cdot 4}$

Étape 2.5.2.3.1.3

Soustrayez $32$ de $9$ .

$t = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 23}}{2 \cdot 4}$

Étape 2.5.2.3.1.4

Réécrivez $- 23$ comme $- 1 (23)$ .

$t = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 23}}{2 \cdot 4}$

Étape 2.5.2.3.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (23)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}$ .

$t = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}}{2 \cdot 4}$

Étape 2.5.2.3.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$t = \frac{- 3 \pm i \sqrt{23}}{2 \cdot 4}$

Étape 2.5.2.3.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$t = \frac{- 3 \pm i \sqrt{23}}{8}$

Étape 2.5.2.4

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 2.5.2.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.5.2.4.1.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$t = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 4 \cdot 2}}{2 \cdot 4}$

Étape 2.5.2.4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 4 \cdot 2$ .

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Étape 2.5.2.4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $4$ .

$t = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 16 \cdot 2}}{2 \cdot 4}$

Étape 2.5.2.4.1.2.2

Multipliez $- 16$ par $2$ .

$t = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 32}}{2 \cdot 4}$

Étape 2.5.2.4.1.3

Soustrayez $32$ de $9$ .

$t = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 23}}{2 \cdot 4}$

Étape 2.5.2.4.1.4

Réécrivez $- 23$ comme $- 1 (23)$ .

$t = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 23}}{2 \cdot 4}$

Étape 2.5.2.4.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (23)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}$ .

$t = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}}{2 \cdot 4}$

Étape 2.5.2.4.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$t = \frac{- 3 \pm i \sqrt{23}}{2 \cdot 4}$

Étape 2.5.2.4.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$t = \frac{- 3 \pm i \sqrt{23}}{8}$

Étape 2.5.2.4.3

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$t = \frac{- 3 + i \sqrt{23}}{8}$

Étape 2.5.2.4.4

Réécrivez $- 3$ comme $- 1 (3)$ .

$t = \frac{- 1 \cdot 3 + i \sqrt{23}}{8}$

Étape 2.5.2.4.5

Factorisez $- 1$ à partir de $i \sqrt{23}$ .

$t = \frac{- 1 \cdot 3 - (- i \sqrt{23})}{8}$

Étape 2.5.2.4.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (3) - (- i \sqrt{23})$ .

$t = \frac{- 1 (3 - i \sqrt{23})}{8}$

Étape 2.5.2.4.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$t = - \frac{3 - i \sqrt{23}}{8}$

Étape 2.5.2.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 2.5.2.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.5.2.5.1.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$t = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 4 \cdot 2}}{2 \cdot 4}$

Étape 2.5.2.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 4 \cdot 2$ .

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Étape 2.5.2.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $4$ .

$t = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 16 \cdot 2}}{2 \cdot 4}$

Étape 2.5.2.5.1.2.2

Multipliez $- 16$ par $2$ .

$t = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 32}}{2 \cdot 4}$

Étape 2.5.2.5.1.3

Soustrayez $32$ de $9$ .

$t = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 23}}{2 \cdot 4}$

Étape 2.5.2.5.1.4

Réécrivez $- 23$ comme $- 1 (23)$ .

$t = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 23}}{2 \cdot 4}$

Étape 2.5.2.5.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (23)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}$ .

$t = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{23}}{2 \cdot 4}$

Étape 2.5.2.5.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$t = \frac{- 3 \pm i \sqrt{23}}{2 \cdot 4}$

Étape 2.5.2.5.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$t = \frac{- 3 \pm i \sqrt{23}}{8}$

Étape 2.5.2.5.3

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$t = \frac{- 3 - i \sqrt{23}}{8}$

Étape 2.5.2.5.4

Réécrivez $- 3$ comme $- 1 (3)$ .

$t = \frac{- 1 \cdot 3 - i \sqrt{23}}{8}$

Étape 2.5.2.5.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- i \sqrt{23}$ .

$t = \frac{- 1 \cdot 3 - (i \sqrt{23})}{8}$

Étape 2.5.2.5.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (3) - (i \sqrt{23})$ .

$t = \frac{- 1 (3 + i \sqrt{23})}{8}$

Étape 2.5.2.5.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$t = - \frac{3 + i \sqrt{23}}{8}$

Étape 2.5.2.6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$t = - \frac{3 - i \sqrt{23}}{8}, - \frac{3 + i \sqrt{23}}{8}$

Étape 2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $t (4 t^{2} + 3 t + 2) = 0$ vraie.

$t = 0, - \frac{3 - i \sqrt{23}}{8}, - \frac{3 + i \sqrt{23}}{8}$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 4

Évaluez $t^{4} + t^{3} + t^{2} + 1$ sur chaque valeur $t$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 4.1

Évaluez sur $t = 0$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez $t$ par $0$ .

${(0)}^{4} + {(0)}^{3} + {(0)}^{2} + 1$

Étape 4.1.2

Simplifiez

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Étape 4.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0 + {(0)}^{3} + {(0)}^{2} + 1$

Étape 4.1.2.1.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0 + 0 + {(0)}^{2} + 1$

Étape 4.1.2.1.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0 + 0 + 0 + 1$

Étape 4.1.2.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 4.1.2.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$0 + 0 + 1$

Étape 4.1.2.2.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$0 + 1$

Étape 4.1.2.2.3

Additionnez $0$ et $1$ .

$1$

Étape 4.2

Indiquez tous les points.

$(0, 1)$

Étape 5