Calcul infinitésimal Exemples

$x^{2} y = 120$

Étape 1

Divisez chaque terme dans $x^{2} y = 120$ par $x^{2}$ et simplifiez.

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Étape 1.1

Divisez chaque terme dans $x^{2} y = 120$ par $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{120}{x^{2}}$

Étape 1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.1

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{120}{x^{2}}$

Étape 1.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{120}{x^{2}}$

Étape 2

Déterminez la dérivée première.

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Étape 2.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 2.1.1

Comme $120$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{120}{x^{2}}$ par rapport à $x$ est $120 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$120 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

Étape 2.1.2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 2.1.2.1

Réécrivez $\frac{1}{x^{2}}$ comme ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$120 \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}]$

Étape 2.1.2.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 2.1.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$120 \frac{d}{d x} [x^{2 \cdot - 1}]$

Étape 2.1.2.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$120 \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$

Étape 2.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 2$ .

$120 (- 2 x^{- 3})$

Étape 2.1.4

Multipliez $- 2$ par $120$ .

$- 240 x^{- 3}$

Étape 2.1.5

Simplifiez

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Étape 2.1.5.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 240 \frac{1}{x^{3}}$

Étape 2.1.5.2

Associez des termes.

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Étape 2.1.5.2.1

Associez $- 240$ et $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{- 240}{x^{3}}$

Étape 2.1.5.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (x) = - \frac{240}{x^{3}}$

Étape 2.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{240}{x^{3}}$ .

$- \frac{240}{x^{3}}$

Étape 3

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- \frac{240}{x^{3}} = 0$ .

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Étape 3.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- \frac{240}{x^{3}} = 0$

Étape 3.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$240 = 0$

Étape 3.3

Comme $240 \neq 0$ , il n’y a aucune solution.

Aucune solution

Étape 4

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 4.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{240}{x^{3}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x^{3} = 0$

Étape 4.2

Résolvez $x$ .

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Étape 4.2.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \sqrt[3]{0}$

Étape 4.2.2

Simplifiez $\sqrt[3]{0}$ .

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Étape 4.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Étape 4.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$x = 0$

Étape 5

Évaluez $\frac{120}{x^{2}}$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 5.1

Évaluez sur $x = 0$ .

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Étape 5.1.1

Remplacez $x$ par $0$ .

$\frac{120}{{(0)}^{2}}$

Étape 5.1.2

Simplifiez

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Étape 5.1.2.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{120}{0}$

Étape 5.1.2.2

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

Étape 6

Le domaine du problème d’origine ne comprend aucune valeur de $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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