Calcul infinitésimal Exemples

$x^{2} + 2 y^{2} + 2 x y + 2 x + 4 y + 7$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 2 y^{2} + 2 x y + 2 x + 4 y + 7$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [7]$

Étape 1.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [7]$

Étape 1.1.1.3

Comme $2 y^{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 y^{2}$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 x + 0 + \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [7]$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x y]$ .

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Étape 1.1.2.1

Comme $2 y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x y$ par rapport à $x$ est $2 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x + 0 + 2 y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [7]$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 x + 0 + 2 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [7]$

Étape 1.1.2.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 x + 0 + 2 y + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [7]$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x + 0 + 2 y + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [7]$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 x + 0 + 2 y + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [7]$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 x + 0 + 2 y + 2 + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [7]$

Étape 1.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.1.4.1

Comme $4 y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 y$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 x + 0 + 2 y + 2 + 0 + \frac{d}{d x} [7]$

Étape 1.1.4.2

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $7$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 x + 0 + 2 y + 2 + 0 + 0$

Étape 1.1.5

Associez des termes.

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Étape 1.1.5.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$2 x + 2 y + 2 + 0 + 0$

Étape 1.1.5.2

Additionnez $2 x + 2 y + 2$ et $0$ .

$2 x + 2 y + 2 + 0$

Étape 1.1.5.3

Additionnez $2 x + 2 y + 2$ et $0$ .

$f' (x) = 2 x + 2 y + 2$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $2 x + 2 y + 2$ .

$2 x + 2 y + 2$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $2 x + 2 y + 2 = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$2 x + 2 y + 2 = 0$

Étape 2.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 2.2.1

Soustrayez $2 y$ des deux côtés de l’équation.

$2 x + 2 = - 2 y$

Étape 2.2.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$2 x = - 2 y - 2$

Étape 2.3

Divisez chaque terme dans $2 x = - 2 y - 2$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 2.3.1

Divisez chaque terme dans $2 x = - 2 y - 2$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 2 y}{2} + \frac{- 2}{2}$

Étape 2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 2 y}{2} + \frac{- 2}{2}$

Étape 2.3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 2 y}{2} + \frac{- 2}{2}$

Étape 2.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.3.1.1

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $2$ .

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Étape 2.3.3.1.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 y$ .

$x = \frac{2 (- y)}{2} + \frac{- 2}{2}$

Étape 2.3.3.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.3.1.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$x = \frac{2 (- y)}{2 (1)} + \frac{- 2}{2}$

Étape 2.3.3.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{2 (- y)}{2 \cdot 1} + \frac{- 2}{2}$

Étape 2.3.3.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{- y}{1} + \frac{- 2}{2}$

Étape 2.3.3.1.1.2.4

Divisez $- y$ par $1$ .

$x = - y + \frac{- 2}{2}$

Étape 2.3.3.1.2

Divisez $- 2$ par $2$ .

$x = - y - 1$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 4

Évaluez $x^{2} + 2 y^{2} + 2 x y + 2 x + 4 y + 7$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 4.1

Évaluez sur $x = - y - 1$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $- y - 1$ .

${(- y - 1)}^{2} + 2 y^{2} + 2 (- y - 1) \cdot y + 2 (- y - 1) + 4 y + 7$

Étape 4.1.2

Simplifiez

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Étape 4.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.2.1.1

Réécrivez ${(- y - 1)}^{2}$ comme $(- y - 1) (- y - 1)$ .

$(- y - 1) (- y - 1) + 2 y^{2} + 2 (- y - 1) \cdot y + 2 (- y - 1) + 4 y + 7$

Étape 4.1.2.1.2

Développez $(- y - 1) (- y - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.1.2.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$- y (- y - 1) - 1 (- y - 1) + 2 y^{2} + 2 (- y - 1) \cdot y + 2 (- y - 1) + 4 y + 7$

Étape 4.1.2.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$- y (- y) - y \cdot - 1 - 1 (- y - 1) + 2 y^{2} + 2 (- y - 1) \cdot y + 2 (- y - 1) + 4 y + 7$

Étape 4.1.2.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$- y (- y) - y \cdot - 1 - 1 (- y) - 1 \cdot - 1 + 2 y^{2} + 2 (- y - 1) \cdot y + 2 (- y - 1) + 4 y + 7$

Étape 4.1.2.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.1.2.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.2.1.3.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$- 1 \cdot - 1 y \cdot y - y \cdot - 1 - 1 (- y) - 1 \cdot - 1 + 2 y^{2} + 2 (- y - 1) \cdot y + 2 (- y - 1) + 4 y + 7$

Étape 4.1.2.1.3.1.2

Multipliez $y$ par $y$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.1.2.1.3.1.2.1

Déplacez $y$ .

$- 1 \cdot - 1 (y \cdot y) - y \cdot - 1 - 1 (- y) - 1 \cdot - 1 + 2 y^{2} + 2 (- y - 1) \cdot y + 2 (- y - 1) + 4 y + 7$

Étape 4.1.2.1.3.1.2.2

Multipliez $y$ par $y$ .

$- 1 \cdot - 1 y^{2} - y \cdot - 1 - 1 (- y) - 1 \cdot - 1 + 2 y^{2} + 2 (- y - 1) \cdot y + 2 (- y - 1) + 4 y + 7$

Étape 4.1.2.1.3.1.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 y^{2} - y \cdot - 1 - 1 (- y) - 1 \cdot - 1 + 2 y^{2} + 2 (- y - 1) \cdot y + 2 (- y - 1) + 4 y + 7$

Étape 4.1.2.1.3.1.4

Multipliez $y^{2}$ par $1$ .

$y^{2} - y \cdot - 1 - 1 (- y) - 1 \cdot - 1 + 2 y^{2} + 2 (- y - 1) \cdot y + 2 (- y - 1) + 4 y + 7$

Étape 4.1.2.1.3.1.5

Multipliez $- y \cdot - 1$ .

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Étape 4.1.2.1.3.1.5.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$y^{2} + 1 y - 1 (- y) - 1 \cdot - 1 + 2 y^{2} + 2 (- y - 1) \cdot y + 2 (- y - 1) + 4 y + 7$

Étape 4.1.2.1.3.1.5.2

Multipliez $y$ par $1$ .

$y^{2} + y - 1 (- y) - 1 \cdot - 1 + 2 y^{2} + 2 (- y - 1) \cdot y + 2 (- y - 1) + 4 y + 7$

Étape 4.1.2.1.3.1.6

Multipliez $- 1 (- y)$ .

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Étape 4.1.2.1.3.1.6.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$y^{2} + y + 1 y - 1 \cdot - 1 + 2 y^{2} + 2 (- y - 1) \cdot y + 2 (- y - 1) + 4 y + 7$

Étape 4.1.2.1.3.1.6.2

Multipliez $y$ par $1$ .

$y^{2} + y + y - 1 \cdot - 1 + 2 y^{2} + 2 (- y - 1) \cdot y + 2 (- y - 1) + 4 y + 7$

Étape 4.1.2.1.3.1.7

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$y^{2} + y + y + 1 + 2 y^{2} + 2 (- y - 1) \cdot y + 2 (- y - 1) + 4 y + 7$

Étape 4.1.2.1.3.2

Additionnez $y$ et $y$ .

$y^{2} + 2 y + 1 + 2 y^{2} + 2 (- y - 1) \cdot y + 2 (- y - 1) + 4 y + 7$

Étape 4.1.2.1.4

Appliquez la propriété distributive.

$y^{2} + 2 y + 1 + 2 y^{2} + (2 (- y) + 2 \cdot - 1) \cdot y + 2 (- y - 1) + 4 y + 7$

Étape 4.1.2.1.5

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$y^{2} + 2 y + 1 + 2 y^{2} + (- 2 y + 2 \cdot - 1) \cdot y + 2 (- y - 1) + 4 y + 7$

Étape 4.1.2.1.6

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$y^{2} + 2 y + 1 + 2 y^{2} + (- 2 y - 2) \cdot y + 2 (- y - 1) + 4 y + 7$

Étape 4.1.2.1.7

Appliquez la propriété distributive.

$y^{2} + 2 y + 1 + 2 y^{2} - 2 y \cdot y - 2 y + 2 (- y - 1) + 4 y + 7$

Étape 4.1.2.1.8

Multipliez $y$ par $y$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.1.2.1.8.1

Déplacez $y$ .

$y^{2} + 2 y + 1 + 2 y^{2} - 2 (y \cdot y) - 2 y + 2 (- y - 1) + 4 y + 7$

Étape 4.1.2.1.8.2

Multipliez $y$ par $y$ .

$y^{2} + 2 y + 1 + 2 y^{2} - 2 y^{2} - 2 y + 2 (- y - 1) + 4 y + 7$

Étape 4.1.2.1.9

Appliquez la propriété distributive.

$y^{2} + 2 y + 1 + 2 y^{2} - 2 y^{2} - 2 y + 2 (- y) + 2 \cdot - 1 + 4 y + 7$

Étape 4.1.2.1.10

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$y^{2} + 2 y + 1 + 2 y^{2} - 2 y^{2} - 2 y - 2 y + 2 \cdot - 1 + 4 y + 7$

Étape 4.1.2.1.11

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$y^{2} + 2 y + 1 + 2 y^{2} - 2 y^{2} - 2 y - 2 y - 2 + 4 y + 7$

Étape 4.1.2.2

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 4.1.2.2.1

Associez les termes opposés dans $y^{2} + 2 y + 1 + 2 y^{2} - 2 y^{2} - 2 y - 2 y - 2 + 4 y + 7$ .

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Étape 4.1.2.2.1.1

Soustrayez $2 y^{2}$ de $2 y^{2}$ .

$y^{2} + 2 y + 1 + 0 - 2 y - 2 y - 2 + 4 y + 7$

Étape 4.1.2.2.1.2

Additionnez $y^{2} + 2 y + 1$ et $0$ .

$y^{2} + 2 y + 1 - 2 y - 2 y - 2 + 4 y + 7$

Étape 4.1.2.2.1.3

Soustrayez $2 y$ de $2 y$ .

$y^{2} + 0 + 1 - 2 y - 2 + 4 y + 7$

Étape 4.1.2.2.1.4

Additionnez $y^{2}$ et $0$ .

$y^{2} + 1 - 2 y - 2 + 4 y + 7$

Étape 4.1.2.2.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$y^{2} - 2 y - 1 + 4 y + 7$

Étape 4.1.2.2.3

Additionnez $- 2 y$ et $4 y$ .

$y^{2} + 2 y - 1 + 7$

Étape 4.1.2.2.4

Additionnez $- 1$ et $7$ .

$y^{2} + 2 y + 6$

Étape 4.2

Indiquez tous les points.

$(- y - 1, y^{2} + 2 y + 6)$

Étape 5