Calcul infinitésimal Exemples

$x^{2} e^{- 3 x}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = e^{- 3 x}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}] + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - 3 x$ .

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Étape 1.1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $- 3 x$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 3 x]) + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$x^{2} (e^{u} \frac{d}{d x} [- 3 x]) + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- 3 x$ .

$x^{2} (e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [- 3 x]) + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.1.3

Différenciez.

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Étape 1.1.3.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 x$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{2} (e^{- 3 x} (- 3 \frac{d}{d x} [x])) + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x^{2} (e^{- 3 x} (- 3 \cdot 1)) + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.1.3.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.3.3.1

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$x^{2} (e^{- 3 x} \cdot - 3) + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.1.3.3.2

Déplacez $- 3$ à gauche de $e^{- 3 x}$ .

$x^{2} (- 3 \cdot e^{- 3 x}) + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.1.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$x^{2} (- 3 e^{- 3 x}) + e^{- 3 x} (2 x)$

Étape 1.1.4

Simplifiez

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Étape 1.1.4.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$- 3 e^{- 3 x} x^{2} + 2 e^{- 3 x} x$

Étape 1.1.4.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- 3 e^{- 3 x} x^{2} + 2 e^{- 3 x} x$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} e^{- 3 x} + 2 x e^{- 3 x}$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- 3 x^{2} e^{- 3 x} + 2 x e^{- 3 x}$ .

$- 3 x^{2} e^{- 3 x} + 2 x e^{- 3 x}$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- 3 x^{2} e^{- 3 x} + 2 x e^{- 3 x} = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- 3 x^{2} e^{- 3 x} + 2 x e^{- 3 x} = 0$

Étape 2.2

Factorisez $x e^{- 3 x}$ à partir de $- 3 x^{2} e^{- 3 x} + 2 x e^{- 3 x}$ .

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Étape 2.2.1

Factorisez $x e^{- 3 x}$ à partir de $- 3 x^{2} e^{- 3 x}$ .

$x e^{- 3 x} (- 3 x) + 2 x e^{- 3 x} = 0$

Étape 2.2.2

Factorisez $x e^{- 3 x}$ à partir de $2 x e^{- 3 x}$ .

$x e^{- 3 x} (- 3 x) + x e^{- 3 x} (2) = 0$

Étape 2.2.3

Factorisez $x e^{- 3 x}$ à partir de $x e^{- 3 x} (- 3 x) + x e^{- 3 x} (2)$ .

$x e^{- 3 x} (- 3 x + 2) = 0$

Étape 2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$e^{- 3 x} = 0$

$- 3 x + 2 = 0$

Étape 2.4

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 2.5

Définissez $e^{- 3 x}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.5.1

Définissez $e^{- 3 x}$ égal à $0$ .

$e^{- 3 x} = 0$

Étape 2.5.2

Résolvez $e^{- 3 x} = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.5.2.1

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{- 3 x}) = \ln (0)$

Étape 2.5.2.2

L’équation ne peut pas être résolue car $\ln (0)$ est indéfini.

Indéfini

Étape 2.5.2.3

Il n’y a pas de solution pour $e^{- 3 x} = 0$

Aucune solution

Étape 2.6

Définissez $- 3 x + 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.6.1

Définissez $- 3 x + 2$ égal à $0$ .

$- 3 x + 2 = 0$

Étape 2.6.2

Résolvez $- 3 x + 2 = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.6.2.1

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$- 3 x = - 2$

Étape 2.6.2.2

Divisez chaque terme dans $- 3 x = - 2$ par $- 3$ et simplifiez.

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Étape 2.6.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- 3 x = - 2$ par $- 3$ .

$\frac{- 3 x}{- 3} = \frac{- 2}{- 3}$

Étape 2.6.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.6.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $- 3$ .

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Étape 2.6.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 3 x}{- 3} = \frac{- 2}{- 3}$

Étape 2.6.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 2}{- 3}$

Étape 2.6.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.6.2.2.3.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$x = \frac{2}{3}$

Étape 2.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $x e^{- 3 x} (- 3 x + 2) = 0$ vraie.

$x = 0, \frac{2}{3}$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 4

Évaluez $x^{2} e^{- 3 x}$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 4.1

Évaluez sur $x = 0$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $0$ .

${(0)}^{2} e^{- 3 \cdot 0}$

Étape 4.1.2

Simplifiez

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Étape 4.1.2.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0 e^{- 3 \cdot 0}$

Étape 4.1.2.2

Multipliez $- 3$ par $0$ .

$0 e^{0}$

Étape 4.1.2.3

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$0 \cdot 1$

Étape 4.1.2.4

Multipliez $0$ par $1$ .

$0$

Étape 4.2

Évaluez sur $x = \frac{2}{3}$ .

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Étape 4.2.1

Remplacez $x$ par $\frac{2}{3}$ .

${(\frac{2}{3})}^{2} e^{- 3 (\frac{2}{3})}$

Étape 4.2.2

Simplifiez

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Étape 4.2.2.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.2.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2^{2}}{3^{2}} e^{- 3 (\frac{2}{3})}$

Étape 4.2.2.1.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{4}{3^{2}} e^{- 3 (\frac{2}{3})}$

Étape 4.2.2.1.3

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\frac{4}{9} e^{- 3 (\frac{2}{3})}$

Étape 4.2.2.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 4.2.2.2.1

Factorisez $3$ à partir de $- 3$ .

$\frac{4}{9} e^{3 (- 1) \frac{2}{3}}$

Étape 4.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{4}{9} e^{3 \cdot - 1 \frac{2}{3}}$

Étape 4.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{4}{9} e^{- 1 \cdot 2}$

Étape 4.2.2.3

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{4}{9} e^{- 2}$

Étape 4.2.2.4

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{4}{9} \cdot \frac{1}{e^{2}}$

Étape 4.2.2.5

Associez.

$\frac{4 \cdot 1}{9 e^{2}}$

Étape 4.2.2.6

Multipliez $4$ par $1$ .

$\frac{4}{9 e^{2}}$

Étape 4.3

Indiquez tous les points.

$(0, 0), (\frac{2}{3}, \frac{4}{9 e^{2}})$

Étape 5