Calcul infinitésimal Exemples

$x^{3} + x^{2} - x$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} + x^{2} - x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 1.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 1.1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$3 x^{2} + 2 x + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Étape 1.1.2.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} + 2 x - \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 x^{2} + 2 x - 1 \cdot 1$

Étape 1.1.2.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 2 x - 1$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $3 x^{2} + 2 x - 1$ .

$3 x^{2} + 2 x - 1$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $3 x^{2} + 2 x - 1 = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$3 x^{2} + 2 x - 1 = 0$

Étape 2.2

Factorisez par regroupement.

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Étape 2.2.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 3 \cdot - 1 = - 3$ et dont la somme est $b = 2$ .

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Étape 2.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$3 x^{2} + 2 (x) - 1 = 0$

Étape 2.2.1.2

Réécrivez $2$ comme $- 1$ plus $3$

$3 x^{2} + (- 1 + 3) x - 1 = 0$

Étape 2.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$3 x^{2} - 1 x + 3 x - 1 = 0$

Étape 2.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 2.2.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(3 x^{2} - 1 x) + 3 x - 1 = 0$

Étape 2.2.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$x (3 x - 1) + 1 (3 x - 1) = 0$

Étape 2.2.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $3 x - 1$ .

$(3 x - 1) (x + 1) = 0$

Étape 2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$3 x - 1 = 0$

$x + 1 = 0$

Étape 2.4

Définissez $3 x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.4.1

Définissez $3 x - 1$ égal à $0$ .

$3 x - 1 = 0$

Étape 2.4.2

Résolvez $3 x - 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.4.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$3 x = 1$

Étape 2.4.2.2

Divisez chaque terme dans $3 x = 1$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 2.4.2.2.1

Divisez chaque terme dans $3 x = 1$ par $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Étape 2.4.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.4.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.4.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Étape 2.4.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{1}{3}$

Étape 2.5

Définissez $x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.5.1

Définissez $x + 1$ égal à $0$ .

$x + 1 = 0$

Étape 2.5.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(3 x - 1) (x + 1) = 0$ vraie.

$x = \frac{1}{3}, - 1$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 4

Évaluez $x^{3} + x^{2} - x$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 4.1

Évaluez sur $x = \frac{1}{3}$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $\frac{1}{3}$ .

${(\frac{1}{3})}^{3} + {(\frac{1}{3})}^{2} - (\frac{1}{3})$

Étape 4.1.2

Simplifiez

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Étape 4.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1^{3}}{3^{3}} + {(\frac{1}{3})}^{2} - (\frac{1}{3})$

Étape 4.1.2.1.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{1}{3^{3}} + {(\frac{1}{3})}^{2} - (\frac{1}{3})$

Étape 4.1.2.1.3

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$\frac{1}{27} + {(\frac{1}{3})}^{2} - (\frac{1}{3})$

Étape 4.1.2.1.4

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{27} + \frac{1^{2}}{3^{2}} - (\frac{1}{3})$

Étape 4.1.2.1.5

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{1}{27} + \frac{1}{3^{2}} - (\frac{1}{3})$

Étape 4.1.2.1.6

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\frac{1}{27} + \frac{1}{9} - \frac{1}{3}$

Étape 4.1.2.2

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 4.1.2.2.1

Multipliez $\frac{1}{9}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{27} + \frac{1}{9} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3}$

Étape 4.1.2.2.2

Multipliez $\frac{1}{9}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{27} + \frac{3}{9 \cdot 3} - \frac{1}{3}$

Étape 4.1.2.2.3

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $\frac{9}{9}$ .

$\frac{1}{27} + \frac{3}{9 \cdot 3} - (\frac{1}{3} \cdot \frac{9}{9})$

Étape 4.1.2.2.4

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $\frac{9}{9}$ .

$\frac{1}{27} + \frac{3}{9 \cdot 3} - \frac{9}{3 \cdot 9}$

Étape 4.1.2.2.5

Réorganisez les facteurs de $9 \cdot 3$ .

$\frac{1}{27} + \frac{3}{3 \cdot 9} - \frac{9}{3 \cdot 9}$

Étape 4.1.2.2.6

Multipliez $3$ par $9$ .

$\frac{1}{27} + \frac{3}{27} - \frac{9}{3 \cdot 9}$

Étape 4.1.2.2.7

Multipliez $3$ par $9$ .

$\frac{1}{27} + \frac{3}{27} - \frac{9}{27}$

Étape 4.1.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1 + 3 - 9}{27}$

Étape 4.1.2.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.1.2.4.1

Additionnez $1$ et $3$ .

$\frac{4 - 9}{27}$

Étape 4.1.2.4.2

Soustrayez $9$ de $4$ .

$\frac{- 5}{27}$

Étape 4.1.2.4.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{5}{27}$

Étape 4.2

Évaluez sur $x = - 1$ .

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Étape 4.2.1

Remplacez $x$ par $- 1$ .

${(- 1)}^{3} + {(- 1)}^{2} - (- 1)$

Étape 4.2.2

Simplifiez

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Étape 4.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.2.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$- 1 + {(- 1)}^{2} - (- 1)$

Étape 4.2.2.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$- 1 + 1 - (- 1)$

Étape 4.2.2.1.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- 1 + 1 + 1$

Étape 4.2.2.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 4.2.2.2.1

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$0 + 1$

Étape 4.2.2.2.2

Additionnez $0$ et $1$ .

$1$

Étape 4.3

Indiquez tous les points.

$(\frac{1}{3}, - \frac{5}{27}), (- 1, 1)$

Étape 5