Calcul infinitésimal Exemples

$x^{4} - 12 x^{3} + 48 x^{2} - 64 x$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{4} - 12 x^{3} + 48 x^{2} - 64 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 64 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 64 x]$

Étape 1.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 64 x]$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$ .

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Étape 1.1.2.1

Comme $- 12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 12 x^{3}$ par rapport à $x$ est $- 12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 x^{3} - 12 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 64 x]$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$4 x^{3} - 12 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 64 x]$

Étape 1.1.2.3

Multipliez $3$ par $- 12$ .

$4 x^{3} - 36 x^{2} + \frac{d}{d x} [48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 64 x]$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [48 x^{2}]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme $48$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $48 x^{2}$ par rapport à $x$ est $48 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 48 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 64 x]$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 48 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 64 x]$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $2$ par $48$ .

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x + \frac{d}{d x} [- 64 x]$

Étape 1.1.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 64 x]$ .

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Étape 1.1.4.1

Comme $- 64$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 64 x$ par rapport à $x$ est $- 64 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64 \cdot 1$

Étape 1.1.4.3

Multipliez $- 64$ par $1$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64$ .

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64 = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64 = 0$

Étape 2.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64$ .

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Étape 2.2.1.1

Factorisez $4$ à partir de $4 x^{3}$ .

$4 (x^{3}) - 36 x^{2} + 96 x - 64 = 0$

Étape 2.2.1.2

Factorisez $4$ à partir de $- 36 x^{2}$ .

$4 (x^{3}) + 4 (- 9 x^{2}) + 96 x - 64 = 0$

Étape 2.2.1.3

Factorisez $4$ à partir de $96 x$ .

$4 (x^{3}) + 4 (- 9 x^{2}) + 4 (24 x) - 64 = 0$

Étape 2.2.1.4

Factorisez $4$ à partir de $- 64$ .

$4 x^{3} + 4 (- 9 x^{2}) + 4 (24 x) + 4 \cdot - 16 = 0$

Étape 2.2.1.5

Factorisez $4$ à partir de $4 x^{3} + 4 (- 9 x^{2})$ .

$4 (x^{3} - 9 x^{2}) + 4 (24 x) + 4 \cdot - 16 = 0$

Étape 2.2.1.6

Factorisez $4$ à partir de $4 (x^{3} - 9 x^{2}) + 4 (24 x)$ .

$4 (x^{3} - 9 x^{2} + 24 x) + 4 \cdot - 16 = 0$

Étape 2.2.1.7

Factorisez $4$ à partir de $4 (x^{3} - 9 x^{2} + 24 x) + 4 \cdot - 16$ .

$4 (x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 16) = 0$

Étape 2.2.2

Factorisez $x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 16$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 2.2.2.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 16, \pm 2, \pm 8, \pm 4$

$q = \pm 1$

Étape 2.2.2.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 16, \pm 2, \pm 8, \pm 4$

Étape 2.2.2.3

Remplacez $1$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $1$ est une racine du polynôme.

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Étape 2.2.2.3.1

Remplacez $1$ dans le polynôme.

$1^{3} - 9 \cdot 1^{2} + 24 \cdot 1 - 16$

Étape 2.2.2.3.2

Élevez $1$ à la puissance $3$ .

$1 - 9 \cdot 1^{2} + 24 \cdot 1 - 16$

Étape 2.2.2.3.3

Élevez $1$ à la puissance $2$ .

$1 - 9 \cdot 1 + 24 \cdot 1 - 16$

Étape 2.2.2.3.4

Multipliez $- 9$ par $1$ .

$1 - 9 + 24 \cdot 1 - 16$

Étape 2.2.2.3.5

Soustrayez $9$ de $1$ .

$- 8 + 24 \cdot 1 - 16$

Étape 2.2.2.3.6

Multipliez $24$ par $1$ .

$- 8 + 24 - 16$

Étape 2.2.2.3.7

Additionnez $- 8$ et $24$ .

$16 - 16$

Étape 2.2.2.3.8

Soustrayez $16$ de $16$ .

$0$

Étape 2.2.2.4

Comme $1$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x - 1$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 16}{x - 1}$

Étape 2.2.2.5

Divisez $x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 16$ par $x - 1$ .

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Étape 2.2.2.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$9 x^{2}$

$24 x$

$16$

Étape 2.2.2.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$

Étape 2.2.2.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Étape 2.2.2.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x^{3} - x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Étape 2.2.2.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$

Étape 2.2.2.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$24 x$

Étape 2.2.2.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 8 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$24 x$

Étape 2.2.2.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$24 x$
					-	$8 x^{2}$	+	$8 x$

Étape 2.2.2.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 8 x^{2} + 8 x$

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$8 x$

Étape 2.2.2.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$16 x$

Étape 2.2.2.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$16 x$	-	$16$

Étape 2.2.2.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $16 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$x^{2}$	-	$8 x$	+	$16$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$16 x$	-	$16$

Étape 2.2.2.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	-	$8 x$	+	$16$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$16 x$	-	$16$
							+	$16 x$	-	$16$

Étape 2.2.2.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $16 x - 16$

				$x^{2}$	-	$8 x$	+	$16$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$16 x$	-	$16$
							-	$16 x$	+	$16$

Étape 2.2.2.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	-	$8 x$	+	$16$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$16 x$	-	$16$
							-	$16 x$	+	$16$
										$0$

Étape 2.2.2.5.16

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$x^{2} - 8 x + 16$

Étape 2.2.2.6

Écrivez $x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 16$ comme un ensemble de facteurs.

$4 ((x - 1) (x^{2} - 8 x + 16)) = 0$

Étape 2.2.3

Factorisez.

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Étape 2.2.3.1

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 2.2.3.1.1

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$4 ((x - 1) (x^{2} - 8 x + 4^{2})) = 0$

Étape 2.2.3.1.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$8 x = 2 \cdot x \cdot 4$

Étape 2.2.3.1.3

Réécrivez le polynôme.

$4 ((x - 1) (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 4 + 4^{2})) = 0$

Étape 2.2.3.1.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = x$ et $b = 4$ .

$4 ((x - 1) {(x - 4)}^{2}) = 0$

Étape 2.2.3.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$4 (x - 1) {(x - 4)}^{2} = 0$

Étape 2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 1 = 0$

${(x - 4)}^{2} = 0$

Étape 2.4

Définissez $x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.4.1

Définissez $x - 1$ égal à $0$ .

$x - 1 = 0$

Étape 2.4.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 2.5

Définissez ${(x - 4)}^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.5.1

Définissez ${(x - 4)}^{2}$ égal à $0$ .

${(x - 4)}^{2} = 0$

Étape 2.5.2

Résolvez ${(x - 4)}^{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.5.2.1

Définissez le $x - 4$ égal à $0$ .

$x - 4 = 0$

Étape 2.5.2.2

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 4$

Étape 2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $4 (x - 1) {(x - 4)}^{2} = 0$ vraie.

$x = 1, 4$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 4

Évaluez $x^{4} - 12 x^{3} + 48 x^{2} - 64 x$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 4.1

Évaluez sur $x = 1$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $1$ .

${(1)}^{4} - 12 {(1)}^{3} + 48 {(1)}^{2} - 64 \cdot 1$

Étape 4.1.2

Simplifiez

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Étape 4.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.2.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$1 - 12 {(1)}^{3} + 48 {(1)}^{2} - 64 \cdot 1$

Étape 4.1.2.1.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$1 - 12 \cdot 1 + 48 {(1)}^{2} - 64 \cdot 1$

Étape 4.1.2.1.3

Multipliez $- 12$ par $1$ .

$1 - 12 + 48 {(1)}^{2} - 64 \cdot 1$

Étape 4.1.2.1.4

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$1 - 12 + 48 \cdot 1 - 64 \cdot 1$

Étape 4.1.2.1.5

Multipliez $48$ par $1$ .

$1 - 12 + 48 - 64 \cdot 1$

Étape 4.1.2.1.6

Multipliez $- 64$ par $1$ .

$1 - 12 + 48 - 64$

Étape 4.1.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 4.1.2.2.1

Soustrayez $12$ de $1$ .

$- 11 + 48 - 64$

Étape 4.1.2.2.2

Additionnez $- 11$ et $48$ .

$37 - 64$

Étape 4.1.2.2.3

Soustrayez $64$ de $37$ .

$- 27$

Étape 4.2

Évaluez sur $x = 4$ .

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Étape 4.2.1

Remplacez $x$ par $4$ .

${(4)}^{4} - 12 {(4)}^{3} + 48 {(4)}^{2} - 64 \cdot 4$

Étape 4.2.2

Simplifiez

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Étape 4.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.2.1.1

Élevez $4$ à la puissance $4$ .

$256 - 12 {(4)}^{3} + 48 {(4)}^{2} - 64 \cdot 4$

Étape 4.2.2.1.2

Élevez $4$ à la puissance $3$ .

$256 - 12 \cdot 64 + 48 {(4)}^{2} - 64 \cdot 4$

Étape 4.2.2.1.3

Multipliez $- 12$ par $64$ .

$256 - 768 + 48 {(4)}^{2} - 64 \cdot 4$

Étape 4.2.2.1.4

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$256 - 768 + 48 \cdot 16 - 64 \cdot 4$

Étape 4.2.2.1.5

Multipliez $48$ par $16$ .

$256 - 768 + 768 - 64 \cdot 4$

Étape 4.2.2.1.6

Multipliez $- 64$ par $4$ .

$256 - 768 + 768 - 256$

Étape 4.2.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 4.2.2.2.1

Soustrayez $768$ de $256$ .

$- 512 + 768 - 256$

Étape 4.2.2.2.2

Additionnez $- 512$ et $768$ .

$256 - 256$

Étape 4.2.2.2.3

Soustrayez $256$ de $256$ .

$0$

Étape 4.3

Indiquez tous les points.

$(1, - 27), (4, 0)$

Étape 5