Calcul infinitésimal Exemples

$10 \sec (x) + 5 \tan (x)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $10 \sec (x) + 5 \tan (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [10 \sec (x)] + \frac{d}{d x} [5 \tan (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [10 \sec (x)] + \frac{d}{d x} [5 \tan (x)]$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [10 \sec (x)]$ .

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Étape 1.1.2.1

Comme $10$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $10 \sec (x)$ par rapport à $x$ est $10 \frac{d}{d x} [\sec (x)]$ .

$10 \frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [5 \tan (x)]$

Étape 1.1.2.2

La dérivée de $\sec (x)$ par rapport à $x$ est $\sec (x) \tan (x)$ .

$10 \sec (x) \tan (x) + \frac{d}{d x} [5 \tan (x)]$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [5 \tan (x)]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 \tan (x)$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ .

$10 \sec (x) \tan (x) + 5 \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Étape 1.1.3.2

La dérivée de $\tan (x)$ par rapport à $x$ est $\sec^{2} (x)$ .

$f' (x) = 10 \sec (x) \tan (x) + 5 \sec^{2} (x)$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $10 \sec (x) \tan (x) + 5 \sec^{2} (x)$ .

$10 \sec (x) \tan (x) + 5 \sec^{2} (x)$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $10 \sec (x) \tan (x) + 5 \sec^{2} (x) = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$10 \sec (x) \tan (x) + 5 \sec^{2} (x) = 0$

Étape 2.2

Représentez chaque côté de l’équation. La solution est la valeur x du point d’intersection.

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 3.1

Définissez l’argument dans $\sec (x)$ égal à $\frac{π}{2} + π n$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x = \frac{π}{2} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 3.2

L’équation est indéfinie là où le dénominateur est égal à $0$ , l’argument d’une racine carrée est inférieur à $0$ ou l’argument d’un logarithme est inférieur ou égal à $0$ .

${x | x = \frac{π}{2} + π n}$ $n$ , pour tout entier $n$

Étape 4

Évaluez $10 \sec (x) + 5 \tan (x)$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 4.1

Évaluez sur $x = \frac{7 π}{6}$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $\frac{7 π}{6}$ .

$10 \sec (\frac{7 π}{6}) + 5 \tan (\frac{7 π}{6})$

Étape 4.1.2

Simplifiez

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Étape 4.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.2.1.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car la sécante est négative dans le troisième quadrant.

$10 (- \sec (\frac{π}{6})) + 5 \tan (\frac{7 π}{6})$

Étape 4.1.2.1.2

La valeur exacte de $\sec (\frac{π}{6})$ est $\frac{2}{\sqrt{3}}$ .

$10 (- \frac{2}{\sqrt{3}}) + 5 \tan (\frac{7 π}{6})$

Étape 4.1.2.1.3

Multipliez $\frac{2}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$10 (- (\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})) + 5 \tan (\frac{7 π}{6})$

Étape 4.1.2.1.4

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.1.2.1.4.1

Multipliez $\frac{2}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$10 (- \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}) + 5 \tan (\frac{7 π}{6})$

Étape 4.1.2.1.4.2

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$10 (- \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}) + 5 \tan (\frac{7 π}{6})$

Étape 4.1.2.1.4.3

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$10 (- \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}) + 5 \tan (\frac{7 π}{6})$

Étape 4.1.2.1.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$10 (- \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}) + 5 \tan (\frac{7 π}{6})$

Étape 4.1.2.1.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$10 (- \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}) + 5 \tan (\frac{7 π}{6})$

Étape 4.1.2.1.4.6

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 4.1.2.1.4.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$10 (- \frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}) + 5 \tan (\frac{7 π}{6})$

Étape 4.1.2.1.4.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$10 (- \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}) + 5 \tan (\frac{7 π}{6})$

Étape 4.1.2.1.4.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$10 (- \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}) + 5 \tan (\frac{7 π}{6})$

Étape 4.1.2.1.4.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.1.2.1.4.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$10 (- \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}) + 5 \tan (\frac{7 π}{6})$

Étape 4.1.2.1.4.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$10 (- \frac{2 \sqrt{3}}{3^{1}}) + 5 \tan (\frac{7 π}{6})$

Étape 4.1.2.1.4.6.5

Évaluez l’exposant.

$10 (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}) + 5 \tan (\frac{7 π}{6})$

Étape 4.1.2.1.5

Multipliez $10 (- \frac{2 \sqrt{3}}{3})$ .

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Étape 4.1.2.1.5.1

Multipliez $- 1$ par $10$ .

$- 10 \frac{2 \sqrt{3}}{3} + 5 \tan (\frac{7 π}{6})$

Étape 4.1.2.1.5.2

Associez $- 10$ et $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{- 10 (2 \sqrt{3})}{3} + 5 \tan (\frac{7 π}{6})$

Étape 4.1.2.1.5.3

Multipliez $2$ par $- 10$ .

$\frac{- 20 \sqrt{3}}{3} + 5 \tan (\frac{7 π}{6})$

Étape 4.1.2.1.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{20 \sqrt{3}}{3} + 5 \tan (\frac{7 π}{6})$

Étape 4.1.2.1.7

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$- \frac{20 \sqrt{3}}{3} + 5 \tan (\frac{π}{6})$

Étape 4.1.2.1.8

La valeur exacte de $\tan (\frac{π}{6})$ est $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$- \frac{20 \sqrt{3}}{3} + 5 \frac{\sqrt{3}}{3}$

Étape 4.1.2.1.9

Associez $5$ et $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$- \frac{20 \sqrt{3}}{3} + \frac{5 \sqrt{3}}{3}$

Étape 4.1.2.2

Simplifiez les termes.

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Étape 4.1.2.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 20 \sqrt{3} + 5 \sqrt{3}}{3}$

Étape 4.1.2.2.2

Additionnez $- 20 \sqrt{3}$ et $5 \sqrt{3}$ .

$\frac{- 15 \sqrt{3}}{3}$

Étape 4.1.2.2.3

Annulez le facteur commun à $- 15$ et $3$ .

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Étape 4.1.2.2.3.1

Factorisez $3$ à partir de $- 15 \sqrt{3}$ .

$\frac{3 (- 5 \sqrt{3})}{3}$

Étape 4.1.2.2.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.1.2.2.3.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\frac{3 (- 5 \sqrt{3})}{3 (1)}$

Étape 4.1.2.2.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 (- 5 \sqrt{3})}{3 \cdot 1}$

Étape 4.1.2.2.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 5 \sqrt{3}}{1}$

Étape 4.1.2.2.3.2.4

Divisez $- 5 \sqrt{3}$ par $1$ .

$- 5 \sqrt{3}$

Étape 4.2

Évaluez sur $x = \frac{11 π}{6}$ .

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Étape 4.2.1

Remplacez $x$ par $\frac{11 π}{6}$ .

$10 \sec (\frac{11 π}{6}) + 5 \tan (\frac{11 π}{6})$

Étape 4.2.2

Simplifiez

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Étape 4.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.2.1.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$10 \sec (\frac{π}{6}) + 5 \tan (\frac{11 π}{6})$

Étape 4.2.2.1.2

La valeur exacte de $\sec (\frac{π}{6})$ est $\frac{2}{\sqrt{3}}$ .

$10 \frac{2}{\sqrt{3}} + 5 \tan (\frac{11 π}{6})$

Étape 4.2.2.1.3

Multipliez $\frac{2}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$10 (\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}) + 5 \tan (\frac{11 π}{6})$

Étape 4.2.2.1.4

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.2.2.1.4.1

Multipliez $\frac{2}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$10 \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}} + 5 \tan (\frac{11 π}{6})$

Étape 4.2.2.1.4.2

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$10 \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}} + 5 \tan (\frac{11 π}{6})$

Étape 4.2.2.1.4.3

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$10 \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}} + 5 \tan (\frac{11 π}{6})$

Étape 4.2.2.1.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$10 \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}} + 5 \tan (\frac{11 π}{6})$

Étape 4.2.2.1.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$10 \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}} + 5 \tan (\frac{11 π}{6})$

Étape 4.2.2.1.4.6

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 4.2.2.1.4.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$10 \frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}} + 5 \tan (\frac{11 π}{6})$

Étape 4.2.2.1.4.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$10 \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + 5 \tan (\frac{11 π}{6})$

Étape 4.2.2.1.4.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$10 \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} + 5 \tan (\frac{11 π}{6})$

Étape 4.2.2.1.4.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.2.1.4.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$10 \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} + 5 \tan (\frac{11 π}{6})$

Étape 4.2.2.1.4.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$10 \frac{2 \sqrt{3}}{3^{1}} + 5 \tan (\frac{11 π}{6})$

Étape 4.2.2.1.4.6.5

Évaluez l’exposant.

$10 \frac{2 \sqrt{3}}{3} + 5 \tan (\frac{11 π}{6})$

Étape 4.2.2.1.5

Multipliez $10 \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

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Étape 4.2.2.1.5.1

Associez $10$ et $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{10 (2 \sqrt{3})}{3} + 5 \tan (\frac{11 π}{6})$

Étape 4.2.2.1.5.2

Multipliez $2$ par $10$ .

$\frac{20 \sqrt{3}}{3} + 5 \tan (\frac{11 π}{6})$

Étape 4.2.2.1.6

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car la tangente est négative dans le quatrième quadrant.

$\frac{20 \sqrt{3}}{3} + 5 (- \tan (\frac{π}{6}))$

Étape 4.2.2.1.7

La valeur exacte de $\tan (\frac{π}{6})$ est $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{20 \sqrt{3}}{3} + 5 (- \frac{\sqrt{3}}{3})$

Étape 4.2.2.1.8

Multipliez $5 (- \frac{\sqrt{3}}{3})$ .

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Étape 4.2.2.1.8.1

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$\frac{20 \sqrt{3}}{3} - 5 \frac{\sqrt{3}}{3}$

Étape 4.2.2.1.8.2

Associez $- 5$ et $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{20 \sqrt{3}}{3} + \frac{- 5 \sqrt{3}}{3}$

Étape 4.2.2.1.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{20 \sqrt{3}}{3} - \frac{5 \sqrt{3}}{3}$

Étape 4.2.2.2

Simplifiez les termes.

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Étape 4.2.2.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{20 \sqrt{3} - 5 \sqrt{3}}{3}$

Étape 4.2.2.2.2

Soustrayez $5 \sqrt{3}$ de $20 \sqrt{3}$ .

$\frac{15 \sqrt{3}}{3}$

Étape 4.2.2.2.3

Annulez le facteur commun à $15$ et $3$ .

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Étape 4.2.2.2.3.1

Factorisez $3$ à partir de $15 \sqrt{3}$ .

$\frac{3 (5 \sqrt{3})}{3}$

Étape 4.2.2.2.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.2.2.2.3.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\frac{3 (5 \sqrt{3})}{3 (1)}$

Étape 4.2.2.2.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 (5 \sqrt{3})}{3 \cdot 1}$

Étape 4.2.2.2.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{5 \sqrt{3}}{1}$

Étape 4.2.2.2.3.2.4

Divisez $5 \sqrt{3}$ par $1$ .

$5 \sqrt{3}$

Étape 4.3

Indiquez tous les points.

$(\frac{7 π}{6} + 2 π n, - 5 \sqrt{3}), (\frac{11 π}{6} + 2 π n, 5 \sqrt{3})$ , pour tout entier $n$

Étape 5