Calcul infinitésimal Exemples

$x e^{- 2 x^{2}}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = e^{- 2 x^{2}}$ .

$x \frac{d}{d x} [e^{- 2 x^{2}}] + e^{- 2 x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - 2 x^{2}$ .

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Étape 1.1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $- 2 x^{2}$ .

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]) + e^{- 2 x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$x (e^{u} \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]) + e^{- 2 x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- 2 x^{2}$ .

$x (e^{- 2 x^{2}} \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]) + e^{- 2 x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.3

Différenciez.

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Étape 1.1.3.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x (e^{- 2 x^{2}} (- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}])) + e^{- 2 x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$x (e^{- 2 x^{2}} (- 2 (2 x))) + e^{- 2 x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$x (e^{- 2 x^{2}} (- 4 x)) + e^{- 2 x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.4

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x^{1} x (e^{- 2 x^{2}} \cdot (- 4)) + e^{- 2 x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.5

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x^{1} x^{1} (e^{- 2 x^{2}} \cdot (- 4)) + e^{- 2 x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{1 + 1} (e^{- 2 x^{2}} \cdot (- 4)) + e^{- 2 x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.7

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.7.1

Additionnez $1$ et $1$ .

$x^{2} (e^{- 2 x^{2}} \cdot (- 4)) + e^{- 2 x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.7.2

Déplacez $- 4$ à gauche de $e^{- 2 x^{2}}$ .

$x^{2} (- 4 \cdot e^{- 2 x^{2}}) + e^{- 2 x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x^{2} (- 4 e^{- 2 x^{2}}) + e^{- 2 x^{2}} \cdot 1$

Étape 1.1.9

Multipliez $e^{- 2 x^{2}}$ par $1$ .

$x^{2} (- 4 e^{- 2 x^{2}}) + e^{- 2 x^{2}}$

Étape 1.1.10

Simplifiez

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Étape 1.1.10.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$- 4 e^{- 2 x^{2}} x^{2} + e^{- 2 x^{2}}$

Étape 1.1.10.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- 4 e^{- 2 x^{2}} x^{2} + e^{- 2 x^{2}}$ .

$f' (x) = - 4 x^{2} e^{- 2 x^{2}} + e^{- 2 x^{2}}$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- 4 x^{2} e^{- 2 x^{2}} + e^{- 2 x^{2}}$ .

$- 4 x^{2} e^{- 2 x^{2}} + e^{- 2 x^{2}}$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- 4 x^{2} e^{- 2 x^{2}} + e^{- 2 x^{2}} = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- 4 x^{2} e^{- 2 x^{2}} + e^{- 2 x^{2}} = 0$

Étape 2.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.2.1

Factorisez $e^{- 2 x^{2}}$ à partir de $- 4 x^{2} e^{- 2 x^{2}} + e^{- 2 x^{2}}$ .

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Étape 2.2.1.1

Factorisez $e^{- 2 x^{2}}$ à partir de $- 4 x^{2} e^{- 2 x^{2}}$ .

$e^{- 2 x^{2}} (- 4 x^{2}) + e^{- 2 x^{2}} = 0$

Étape 2.2.1.2

Multipliez par $1$ .

$e^{- 2 x^{2}} (- 4 x^{2}) + e^{- 2 x^{2}} \cdot 1 = 0$

Étape 2.2.1.3

Factorisez $e^{- 2 x^{2}}$ à partir de $e^{- 2 x^{2}} (- 4 x^{2}) + e^{- 2 x^{2}} \cdot 1$ .

$e^{- 2 x^{2}} (- 4 x^{2} + 1) = 0$

Étape 2.2.2

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$e^{- 2 x^{2}} (- 4 x^{2} + 1^{2}) = 0$

Étape 2.2.3

Réécrivez $4 x^{2}$ comme ${(2 x)}^{2}$ .

$e^{- 2 x^{2}} (- {(2 x)}^{2} + 1^{2}) = 0$

Étape 2.2.4

Remettez dans l’ordre $- {(2 x)}^{2}$ et $1^{2}$ .

$e^{- 2 x^{2}} (1^{2} - {(2 x)}^{2}) = 0$

Étape 2.2.5

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 1$ et $b = 2 x$ .

$e^{- 2 x^{2}} ((1 + 2 x) (1 - (2 x))) = 0$

Étape 2.2.6

Factorisez.

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Étape 2.2.6.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$e^{- 2 x^{2}} ((1 + 2 x) (1 - 2 x)) = 0$

Étape 2.2.6.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$e^{- 2 x^{2}} (1 + 2 x) (1 - 2 x) = 0$

Étape 2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$e^{- 2 x^{2}} = 0$

$1 + 2 x = 0$

$1 - 2 x = 0$

Étape 2.4

Définissez $e^{- 2 x^{2}}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.4.1

Définissez $e^{- 2 x^{2}}$ égal à $0$ .

$e^{- 2 x^{2}} = 0$

Étape 2.4.2

Résolvez $e^{- 2 x^{2}} = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.4.2.1

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{- 2 x^{2}}) = \ln (0)$

Étape 2.4.2.2

L’équation ne peut pas être résolue car $\ln (0)$ est indéfini.

Indéfini

Étape 2.4.2.3

Il n’y a pas de solution pour $e^{- 2 x^{2}} = 0$

Aucune solution

Étape 2.5

Définissez $1 + 2 x$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.5.1

Définissez $1 + 2 x$ égal à $0$ .

$1 + 2 x = 0$

Étape 2.5.2

Résolvez $1 + 2 x = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.5.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$2 x = - 1$

Étape 2.5.2.2

Divisez chaque terme dans $2 x = - 1$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 2.5.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = - 1$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Étape 2.5.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.5.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.5.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Étape 2.5.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

Étape 2.5.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.5.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{1}{2}$

Étape 2.6

Définissez $1 - 2 x$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.6.1

Définissez $1 - 2 x$ égal à $0$ .

$1 - 2 x = 0$

Étape 2.6.2

Résolvez $1 - 2 x = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.6.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- 2 x = - 1$

Étape 2.6.2.2

Divisez chaque terme dans $- 2 x = - 1$ par $- 2$ et simplifiez.

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Étape 2.6.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- 2 x = - 1$ par $- 2$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Étape 2.6.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.6.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $- 2$ .

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Étape 2.6.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Étape 2.6.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 2}$

Étape 2.6.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.6.2.2.3.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$x = \frac{1}{2}$

Étape 2.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $e^{- 2 x^{2}} (1 + 2 x) (1 - 2 x) = 0$ vraie.

$x = - \frac{1}{2}, \frac{1}{2}$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 4

Évaluez $x e^{- 2 x^{2}}$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 4.1

Évaluez sur $x = - \frac{1}{2}$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $- \frac{1}{2}$ .

$(- \frac{1}{2}) \cdot e^{- 2 {(- \frac{1}{2})}^{2}}$

Étape 4.1.2

Simplifiez

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Étape 4.1.2.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 4.1.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2} \cdot e^{- 2 ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2})}$

Étape 4.1.2.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2} \cdot e^{- 2 ({(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{2^{2}})}$

Étape 4.1.2.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.1.2.2.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$- \frac{1}{2} \cdot e^{- 2 (1 \frac{1^{2}}{2^{2}})}$

Étape 4.1.2.2.2

Multipliez $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ par $1$ .

$- \frac{1}{2} \cdot e^{- 2 \frac{1^{2}}{2^{2}}}$

Étape 4.1.2.2.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$- \frac{1}{2} \cdot e^{- 2 \frac{1}{2^{2}}}$

Étape 4.1.2.2.4

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$- \frac{1}{2} \cdot e^{- 2 (\frac{1}{4})}$

Étape 4.1.2.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.1.2.3.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$- \frac{1}{2} \cdot e^{2 (- 1) \frac{1}{4}}$

Étape 4.1.2.3.2

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$- \frac{1}{2} \cdot e^{2 \cdot - 1 \frac{1}{2 \cdot 2}}$

Étape 4.1.2.3.3

Annulez le facteur commun.

$- \frac{1}{2} \cdot e^{2 \cdot - 1 \frac{1}{2 \cdot 2}}$

Étape 4.1.2.3.4

Réécrivez l’expression.

$- \frac{1}{2} \cdot e^{- 1 (\frac{1}{2})}$

Étape 4.1.2.4

Réécrivez $- 1 (\frac{1}{2})$ comme $- (\frac{1}{2})$ .

$- \frac{1}{2} \cdot e^{- (\frac{1}{2})}$

Étape 4.1.2.5

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.1.2.6

Multipliez $\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ par $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{e^{\frac{1}{2}} \cdot 2}$

Étape 4.1.2.7

Déplacez $2$ à gauche de $e^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{2 e^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.2

Évaluez sur $x = \frac{1}{2}$ .

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Étape 4.2.1

Remplacez $x$ par $\frac{1}{2}$ .

$(\frac{1}{2}) \cdot e^{- 2 {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Étape 4.2.2

Simplifiez

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Étape 4.2.2.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.2.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot e^{- 2 \frac{1^{2}}{2^{2}}}$

Étape 4.2.2.1.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{1}{2} \cdot e^{- 2 \frac{1}{2^{2}}}$

Étape 4.2.2.1.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot e^{- 2 (\frac{1}{4})}$

Étape 4.2.2.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$\frac{1}{2} \cdot e^{2 (- 1) \frac{1}{4}}$

Étape 4.2.2.2.2

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{1}{2} \cdot e^{2 \cdot - 1 \frac{1}{2 \cdot 2}}$

Étape 4.2.2.2.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2} \cdot e^{2 \cdot - 1 \frac{1}{2 \cdot 2}}$

Étape 4.2.2.2.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2} \cdot e^{- 1 (\frac{1}{2})}$

Étape 4.2.2.3

Réécrivez $- 1 (\frac{1}{2})$ comme $- (\frac{1}{2})$ .

$\frac{1}{2} \cdot e^{- (\frac{1}{2})}$

Étape 4.2.2.4

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.2.2.5

Associez.

$\frac{1 \cdot 1}{2 e^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.2.2.6

Multipliez $1$ par $1$ .

$\frac{1}{2 e^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.3

Indiquez tous les points.

$(- \frac{1}{2}, - \frac{1}{2 e^{\frac{1}{2}}}), (\frac{1}{2}, \frac{1}{2 e^{\frac{1}{2}}})$

Étape 5