Calcul infinitésimal Exemples

$16 x + 2 x^{- \frac{1}{2}}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $16 x + 2 x^{- \frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [16 x] + \frac{d}{d x} [2 x^{- \frac{1}{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [16 x] + \frac{d}{d x} [2 x^{- \frac{1}{2}}]$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [16 x]$ .

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Étape 1.1.2.1

Comme $16$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $16 x$ par rapport à $x$ est $16 \frac{d}{d x} [x]$ .

$16 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 x^{- \frac{1}{2}}]$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$16 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2 x^{- \frac{1}{2}}]$

Étape 1.1.2.3

Multipliez $16$ par $1$ .

$16 + \frac{d}{d x} [2 x^{- \frac{1}{2}}]$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x^{- \frac{1}{2}}]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x^{- \frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}}]$ .

$16 + 2 \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}}]$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - \frac{1}{2}$ .

$16 + 2 (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1})$

Étape 1.1.3.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$16 + 2 (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Étape 1.1.3.4

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$16 + 2 (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Étape 1.1.3.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$16 + 2 (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Étape 1.1.3.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.3.6.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$16 + 2 (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 2}{2}})$

Étape 1.1.3.6.2

Soustrayez $2$ de $- 1$ .

$16 + 2 (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 3}{2}})$

Étape 1.1.3.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$16 + 2 (- \frac{1}{2} x^{- \frac{3}{2}})$

Étape 1.1.3.8

Associez $x^{- \frac{3}{2}}$ et $\frac{1}{2}$ .

$16 + 2 (- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2})$

Étape 1.1.3.9

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$16 - 2 \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2}$

Étape 1.1.3.10

Associez $- 2$ et $\frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2}$ .

$16 + \frac{- 2 x^{- \frac{3}{2}}}{2}$

Étape 1.1.3.11

Placez $x^{- \frac{3}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$16 + \frac{- 2}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 1.1.3.12

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$16 + \frac{2 \cdot - 1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 1.1.3.13

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.1.3.13.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{\frac{3}{2}}$ .

$16 + \frac{2 \cdot - 1}{2 (x^{\frac{3}{2}})}$

Étape 1.1.3.13.2

Annulez le facteur commun.

$16 + \frac{2 \cdot - 1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 1.1.3.13.3

Réécrivez l’expression.

$16 + \frac{- 1}{x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 1.1.3.14

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (x) = 16 - \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $16 - \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ .

$16 - \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $16 - \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$16 - \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} = 0$

Étape 2.2

Soustrayez $16$ des deux côtés de l’équation.

$- \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} = - 16$

Étape 2.3

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 2.3.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$x^{\frac{3}{2}}, 1$

Étape 2.3.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$x^{\frac{3}{2}}$

Étape 2.4

Multiplier chaque terme dans $- \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} = - 16$ par $x^{\frac{3}{2}}$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 2.4.1

Multipliez chaque terme dans $- \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} = - 16$ par $x^{\frac{3}{2}}$ .

$- \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} x^{\frac{3}{2}} = - 16 x^{\frac{3}{2}}$

Étape 2.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.4.2.1

Annulez le facteur commun de $x^{\frac{3}{2}}$ .

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Étape 2.4.2.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ dans le numérateur.

$\frac{- 1}{x^{\frac{3}{2}}} x^{\frac{3}{2}} = - 16 x^{\frac{3}{2}}$

Étape 2.4.2.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 1}{x^{\frac{3}{2}}} x^{\frac{3}{2}} = - 16 x^{\frac{3}{2}}$

Étape 2.4.2.1.3

Réécrivez l’expression.

$- 1 = - 16 x^{\frac{3}{2}}$

Étape 2.5

Résolvez l’équation.

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Étape 2.5.1

Réécrivez l’équation comme $- 16 x^{\frac{3}{2}} = - 1$ .

$- 16 x^{\frac{3}{2}} = - 1$

Étape 2.5.2

Divisez chaque terme dans $- 16 x^{\frac{3}{2}} = - 1$ par $- 16$ et simplifiez.

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Étape 2.5.2.1

Divisez chaque terme dans $- 16 x^{\frac{3}{2}} = - 1$ par $- 16$ .

$\frac{- 16 x^{\frac{3}{2}}}{- 16} = \frac{- 1}{- 16}$

Étape 2.5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.5.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 16 x^{\frac{3}{2}}}{- 16} = \frac{- 1}{- 16}$

Étape 2.5.2.2.2

Divisez $x^{\frac{3}{2}}$ par $1$ .

$x^{\frac{3}{2}} = \frac{- 1}{- 16}$

Étape 2.5.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.5.2.3.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$x^{\frac{3}{2}} = \frac{1}{16}$

Étape 2.5.3

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $\frac{2}{3}$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${(x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}} = {(\frac{1}{16})}^{\frac{2}{3}}$

Étape 2.5.4

Simplifiez l’exposant.

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Étape 2.5.4.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.5.4.1.1

Simplifiez ${(x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}$ .

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Étape 2.5.4.1.1.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}$ .

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Étape 2.5.4.1.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}} = {(\frac{1}{16})}^{\frac{2}{3}}$

Étape 2.5.4.1.1.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.5.4.1.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$x^{\frac{3}{2} \cdot \frac{2}{3}} = {(\frac{1}{16})}^{\frac{2}{3}}$

Étape 2.5.4.1.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{1}{16})}^{\frac{2}{3}}$

Étape 2.5.4.1.1.1.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.5.4.1.1.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{1}{16})}^{\frac{2}{3}}$

Étape 2.5.4.1.1.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$x^{1} = {(\frac{1}{16})}^{\frac{2}{3}}$

Étape 2.5.4.1.1.2

Simplifiez

$x = {(\frac{1}{16})}^{\frac{2}{3}}$

Étape 2.5.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.5.4.2.1

Simplifiez ${(\frac{1}{16})}^{\frac{2}{3}}$ .

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Étape 2.5.4.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{16}$ .

$x = \frac{1^{\frac{2}{3}}}{16^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2.5.4.2.1.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$x = \frac{1}{16^{\frac{2}{3}}}$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 3.1

Appliquez la règle $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ pour réécrire l’élévation à la puissance comme un radical.

$16 - \frac{1}{\sqrt{x^{3}}}$

Étape 3.2

Définissez le dénominateur dans $\frac{1}{\sqrt{x^{3}}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$\sqrt{x^{3}} = 0$

Étape 3.3

Résolvez $x$ .

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Étape 3.3.1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{x^{3}}}^{2} = 0^{2}$

Étape 3.3.2

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 3.3.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x^{3}}$ comme $x^{\frac{3}{2}}$ .

${(x^{\frac{3}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Étape 3.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.2.2.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{3}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.3.2.2.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{3}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Étape 3.3.2.2.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.3.2.2.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$x^{\frac{3}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Étape 3.3.2.2.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$x^{3} = 0^{2}$

Étape 3.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.2.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$x^{3} = 0$

Étape 3.3.3

Résolvez $x$ .

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Étape 3.3.3.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \sqrt[3]{0}$

Étape 3.3.3.2

Simplifiez $\sqrt[3]{0}$ .

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Étape 3.3.3.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Étape 3.3.3.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$x = 0$

Étape 3.4

Définissez le radicande dans $\sqrt{x^{3}}$ inférieur à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x^{3} < 0$

Étape 3.5

Résolvez $x$ .

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Étape 3.5.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’inégalité pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$\sqrt[3]{x^{3}} < \sqrt[3]{0}$

Étape 3.5.2

Simplifiez l’équation.

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Étape 3.5.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.5.2.1.1

Extrayez les termes de sous le radical.

$x < \sqrt[3]{0}$

Étape 3.5.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.5.2.2.1

Simplifiez $\sqrt[3]{0}$ .

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Étape 3.5.2.2.1.1

Réécrivez $0$ comme $0^{3}$ .

$x < \sqrt[3]{0^{3}}$

Étape 3.5.2.2.1.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$x < 0$

Étape 3.6

L’équation est indéfinie là où le dénominateur est égal à $0$ , l’argument d’une racine carrée est inférieur à $0$ ou l’argument d’un logarithme est inférieur ou égal à $0$ .

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Étape 4

Évaluez $16 x + 2 x^{- \frac{1}{2}}$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 4.1

Évaluez sur $x = \frac{1}{16^{\frac{2}{3}}}$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $\frac{1}{16^{\frac{2}{3}}}$ .

$16 (\frac{1}{16^{\frac{2}{3}}}) + 2 {(\frac{1}{16^{\frac{2}{3}}})}^{- \frac{1}{2}}$

Étape 4.1.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.2.1

Associez $16$ et $\frac{1}{16^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{16}{16^{\frac{2}{3}}} + 2 {(\frac{1}{16^{\frac{2}{3}}})}^{- \frac{1}{2}}$

Étape 4.1.2.2

Placez $16^{\frac{2}{3}}$ sur le numérateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$16 \cdot 16^{- \frac{2}{3}} + 2 {(\frac{1}{16^{\frac{2}{3}}})}^{- \frac{1}{2}}$

Étape 4.1.2.3

Multipliez $16$ par $16^{- \frac{2}{3}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.1.2.3.1

Multipliez $16$ par $16^{- \frac{2}{3}}$ .

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Étape 4.1.2.3.1.1

Élevez $16$ à la puissance $1$ .

$16^{1} \cdot 16^{- \frac{2}{3}} + 2 {(\frac{1}{16^{\frac{2}{3}}})}^{- \frac{1}{2}}$

Étape 4.1.2.3.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$16^{1 - \frac{2}{3}} + 2 {(\frac{1}{16^{\frac{2}{3}}})}^{- \frac{1}{2}}$

Étape 4.1.2.3.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$16^{\frac{3}{3} - \frac{2}{3}} + 2 {(\frac{1}{16^{\frac{2}{3}}})}^{- \frac{1}{2}}$

Étape 4.1.2.3.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$16^{\frac{3 - 2}{3}} + 2 {(\frac{1}{16^{\frac{2}{3}}})}^{- \frac{1}{2}}$

Étape 4.1.2.3.4

Soustrayez $2$ de $3$ .

$16^{\frac{1}{3}} + 2 {(\frac{1}{16^{\frac{2}{3}}})}^{- \frac{1}{2}}$

Étape 4.1.2.4

Modifiez le signe de l’exposant en réécrivant la base comme sa réciproque.

$16^{\frac{1}{3}} + 2 {(16^{\frac{2}{3}})}^{\frac{1}{2}}$

Étape 4.1.2.5

Multipliez les exposants dans ${(16^{\frac{2}{3}})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 4.1.2.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$16^{\frac{1}{3}} + 2 \cdot 16^{\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2}}$

Étape 4.1.2.5.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.1.2.5.2.1

Annulez le facteur commun.

$16^{\frac{1}{3}} + 2 \cdot 16^{\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2}}$

Étape 4.1.2.5.2.2

Réécrivez l’expression.

$16^{\frac{1}{3}} + 2 \cdot 16^{\frac{1}{3}}$

Étape 4.1.2.6

Multipliez $2 \cdot 16^{\frac{1}{3}}$ .

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Étape 4.1.2.6.1

Réécrivez $16$ comme $2^{4}$ .

$16^{\frac{1}{3}} + 2 \cdot {(2^{4})}^{\frac{1}{3}}$

Étape 4.1.2.6.2

Multipliez les exposants dans ${(2^{4})}^{\frac{1}{3}}$ .

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Étape 4.1.2.6.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$16^{\frac{1}{3}} + 2 \cdot 2^{4 (\frac{1}{3})}$

Étape 4.1.2.6.2.2

Associez $4$ et $\frac{1}{3}$ .

$16^{\frac{1}{3}} + 2 \cdot 2^{\frac{4}{3}}$

Étape 4.1.2.6.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$16^{\frac{1}{3}} + 2^{1 + \frac{4}{3}}$

Étape 4.1.2.6.4

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$16^{\frac{1}{3}} + 2^{\frac{3}{3} + \frac{4}{3}}$

Étape 4.1.2.6.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$16^{\frac{1}{3}} + 2^{\frac{3 + 4}{3}}$

Étape 4.1.2.6.6

Additionnez $3$ et $4$ .

$16^{\frac{1}{3}} + 2^{\frac{7}{3}}$

Étape 4.2

Évaluez sur $x = 0$ .

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Étape 4.2.1

Remplacez $x$ par $0$ .

$16 (0) + 2 {(0)}^{- \frac{1}{2}}$

Étape 4.2.2

Simplifiez

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Étape 4.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.2.1.1

Multipliez $16$ par $0$ .

$0 + 2 {(0)}^{- \frac{1}{2}}$

Étape 4.2.2.1.2

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 + 2 \frac{1}{0^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.2.2.1.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.2.2.1.3.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$0 + 2 \frac{1}{{(0^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.2.2.1.3.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0 + 2 \frac{1}{0^{2 (\frac{1}{2})}}$

Étape 4.2.2.1.3.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.2.1.3.3.1

Annulez le facteur commun.

$0 + 2 \frac{1}{0^{2 (\frac{1}{2})}}$

Étape 4.2.2.1.3.3.2

Réécrivez l’expression.

$0 + 2 \frac{1}{0^{1}}$

Étape 4.2.2.1.3.4

Évaluez l’exposant.

$0 + 2 (\frac{1}{0})$

Étape 4.2.2.1.3.5

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$0 + 2 (\frac{1}{0})$

Étape 4.2.2.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$0 + 2 (\frac{1}{0})$

Étape 4.2.2.2

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

Étape 4.3

Indiquez tous les points.

$(\frac{1}{16^{\frac{2}{3}}}, 16^{\frac{1}{3}} + 2^{\frac{7}{3}})$

Étape 5