Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} {\sin (x)}^{n} \cos (x) d x$

Étape 1

Laissez $u = \sin (x)$ . Alors $d u = \cos (x) d x$ , donc $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.1

Laissez $u = \sin (x)$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Différenciez $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 1.1.2

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

Étape 1.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = \sin (x)$ .

$u_{lower} = \sin (0)$

Étape 1.3

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$u_{lower} = 0$

Étape 1.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = \sin (x)$ .

$u_{upper} = \sin (\frac{π}{2})$

Étape 1.5

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$u_{upper} = 1$

Étape 1.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

Étape 1.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\int_{0}^{1} u^{n} d u$

Étape 2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{n}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{n + 1} u^{n + 1}$ .

$\frac{1}{n + 1} u^{n + 1}]_{0}^{1}$

Étape 3

Associez $\frac{1}{n + 1}$ et $u^{n + 1}$ .

$\frac{u^{n + 1}}{n + 1}]_{0}^{1}$

Étape 4

Remplacez et simplifiez.

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Étape 4.1

Évaluez $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ sur $1$ et sur $0$ .

$(\frac{1^{n + 1}}{n + 1}) - \frac{0^{n + 1}}{n + 1}$

Étape 4.2

Simplifiez

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Étape 4.2.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{1}{n + 1} - \frac{0^{n + 1}}{n + 1}$

Étape 4.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1 - 0^{n + 1}}{n + 1}$