Calcul infinitésimal Exemples

$3 x^{2} + 5 x + 1$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x^{2} + 5 x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Étape 1.1.2.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{2}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$3 (2 x) + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.2.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$6 x + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 x + 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$6 x + 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $5$ par $1$ .

$6 x + 5 + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.1.4.1

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$6 x + 5 + 0$

Étape 1.1.4.2

Additionnez $6 x + 5$ et $0$ .

$f' (x) = 6 x + 5$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $6 x + 5$ .

$6 x + 5$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $6 x + 5 = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$6 x + 5 = 0$

Étape 2.2

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$6 x = - 5$

Étape 2.3

Divisez chaque terme dans $6 x = - 5$ par $6$ et simplifiez.

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Étape 2.3.1

Divisez chaque terme dans $6 x = - 5$ par $6$ .

$\frac{6 x}{6} = \frac{- 5}{6}$

Étape 2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.2.1

Annulez le facteur commun de $6$ .

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Étape 2.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{6 x}{6} = \frac{- 5}{6}$

Étape 2.3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 5}{6}$

Étape 2.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{5}{6}$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 4

Évaluez $3 x^{2} + 5 x + 1$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 4.1

Évaluez sur $x = - \frac{5}{6}$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $- \frac{5}{6}$ .

$3 {(- \frac{5}{6})}^{2} + 5 (- \frac{5}{6}) + 1$

Étape 4.1.2

Simplifiez

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Étape 4.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.2.1.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 4.1.2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{5}{6}$ .

$3 ({(- 1)}^{2} {(\frac{5}{6})}^{2}) + 5 (- \frac{5}{6}) + 1$

Étape 4.1.2.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{5}{6}$ .

$3 ({(- 1)}^{2} \frac{5^{2}}{6^{2}}) + 5 (- \frac{5}{6}) + 1$

Étape 4.1.2.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$3 (1 \frac{5^{2}}{6^{2}}) + 5 (- \frac{5}{6}) + 1$

Étape 4.1.2.1.3

Multipliez $\frac{5^{2}}{6^{2}}$ par $1$ .

$3 \frac{5^{2}}{6^{2}} + 5 (- \frac{5}{6}) + 1$

Étape 4.1.2.1.4

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$3 \frac{25}{6^{2}} + 5 (- \frac{5}{6}) + 1$

Étape 4.1.2.1.5

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$3 (\frac{25}{36}) + 5 (- \frac{5}{6}) + 1$

Étape 4.1.2.1.6

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 4.1.2.1.6.1

Factorisez $3$ à partir de $36$ .

$3 \frac{25}{3 (12)} + 5 (- \frac{5}{6}) + 1$

Étape 4.1.2.1.6.2

Annulez le facteur commun.

$3 \frac{25}{3 \cdot 12} + 5 (- \frac{5}{6}) + 1$

Étape 4.1.2.1.6.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{25}{12} + 5 (- \frac{5}{6}) + 1$

Étape 4.1.2.1.7

Multipliez $5 (- \frac{5}{6})$ .

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Étape 4.1.2.1.7.1

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$\frac{25}{12} - 5 (\frac{5}{6}) + 1$

Étape 4.1.2.1.7.2

Associez $- 5$ et $\frac{5}{6}$ .

$\frac{25}{12} + \frac{- 5 \cdot 5}{6} + 1$

Étape 4.1.2.1.7.3

Multipliez $- 5$ par $5$ .

$\frac{25}{12} + \frac{- 25}{6} + 1$

Étape 4.1.2.1.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{25}{12} - \frac{25}{6} + 1$

Étape 4.1.2.2

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 4.1.2.2.1

Multipliez $\frac{25}{6}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{25}{12} - (\frac{25}{6} \cdot \frac{2}{2}) + 1$

Étape 4.1.2.2.2

Multipliez $\frac{25}{6}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{25}{12} - \frac{25 \cdot 2}{6 \cdot 2} + 1$

Étape 4.1.2.2.3

Écrivez $1$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$\frac{25}{12} - \frac{25 \cdot 2}{6 \cdot 2} + \frac{1}{1}$

Étape 4.1.2.2.4

Multipliez $\frac{1}{1}$ par $\frac{12}{12}$ .

$\frac{25}{12} - \frac{25 \cdot 2}{6 \cdot 2} + \frac{1}{1} \cdot \frac{12}{12}$

Étape 4.1.2.2.5

Multipliez $\frac{1}{1}$ par $\frac{12}{12}$ .

$\frac{25}{12} - \frac{25 \cdot 2}{6 \cdot 2} + \frac{12}{12}$

Étape 4.1.2.2.6

Réorganisez les facteurs de $6 \cdot 2$ .

$\frac{25}{12} - \frac{25 \cdot 2}{2 \cdot 6} + \frac{12}{12}$

Étape 4.1.2.2.7

Multipliez $2$ par $6$ .

$\frac{25}{12} - \frac{25 \cdot 2}{12} + \frac{12}{12}$

Étape 4.1.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{25 - 25 \cdot 2 + 12}{12}$

Étape 4.1.2.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.1.2.4.1

Multipliez $- 25$ par $2$ .

$\frac{25 - 50 + 12}{12}$

Étape 4.1.2.4.2

Soustrayez $50$ de $25$ .

$\frac{- 25 + 12}{12}$

Étape 4.1.2.4.3

Additionnez $- 25$ et $12$ .

$\frac{- 13}{12}$

Étape 4.1.2.4.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{13}{12}$

Étape 4.2

Indiquez tous les points.

$(- \frac{5}{6}, - \frac{13}{12})$

Étape 5