Calcul infinitésimal Exemples

$3 x^{2} - 4 x - 4$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x^{2} - 4 x - 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Étape 1.1.2.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{2}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Étape 1.1.2.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$6 x + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 x$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 x - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$6 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4]$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$6 x - 4 + \frac{d}{d x} [- 4]$

Étape 1.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.1.4.1

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$6 x - 4 + 0$

Étape 1.1.4.2

Additionnez $6 x - 4$ et $0$ .

$f' (x) = 6 x - 4$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $6 x - 4$ .

$6 x - 4$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $6 x - 4 = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$6 x - 4 = 0$

Étape 2.2

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$6 x = 4$

Étape 2.3

Divisez chaque terme dans $6 x = 4$ par $6$ et simplifiez.

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Étape 2.3.1

Divisez chaque terme dans $6 x = 4$ par $6$ .

$\frac{6 x}{6} = \frac{4}{6}$

Étape 2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.2.1

Annulez le facteur commun de $6$ .

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Étape 2.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{6 x}{6} = \frac{4}{6}$

Étape 2.3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{4}{6}$

Étape 2.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.3.1

Annulez le facteur commun à $4$ et $6$ .

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Étape 2.3.3.1.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$x = \frac{2 (2)}{6}$

Étape 2.3.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.3.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$x = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 3}$

Étape 2.3.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 3}$

Étape 2.3.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{2}{3}$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 4

Évaluez $3 x^{2} - 4 x - 4$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 4.1

Évaluez sur $x = \frac{2}{3}$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $\frac{2}{3}$ .

$3 {(\frac{2}{3})}^{2} - 4 (\frac{2}{3}) - 4$

Étape 4.1.2

Simplifiez

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Étape 4.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{2}{3}$ .

$3 \frac{2^{2}}{3^{2}} - 4 (\frac{2}{3}) - 4$

Étape 4.1.2.1.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$3 \frac{4}{3^{2}} - 4 (\frac{2}{3}) - 4$

Étape 4.1.2.1.3

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$3 (\frac{4}{9}) - 4 (\frac{2}{3}) - 4$

Étape 4.1.2.1.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 4.1.2.1.4.1

Factorisez $3$ à partir de $9$ .

$3 \frac{4}{3 (3)} - 4 (\frac{2}{3}) - 4$

Étape 4.1.2.1.4.2

Annulez le facteur commun.

$3 \frac{4}{3 \cdot 3} - 4 (\frac{2}{3}) - 4$

Étape 4.1.2.1.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{4}{3} - 4 (\frac{2}{3}) - 4$

Étape 4.1.2.1.5

Multipliez $- 4 (\frac{2}{3})$ .

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Étape 4.1.2.1.5.1

Associez $- 4$ et $\frac{2}{3}$ .

$\frac{4}{3} + \frac{- 4 \cdot 2}{3} - 4$

Étape 4.1.2.1.5.2

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$\frac{4}{3} + \frac{- 8}{3} - 4$

Étape 4.1.2.1.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{4}{3} - \frac{8}{3} - 4$

Étape 4.1.2.2

Associez les fractions.

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Étape 4.1.2.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- 4 + \frac{4 - 8}{3}$

Étape 4.1.2.2.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.1.2.2.2.1

Soustrayez $8$ de $4$ .

$- 4 + \frac{- 4}{3}$

Étape 4.1.2.2.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- 4 - \frac{4}{3}$

Étape 4.1.2.3

Pour écrire $- 4$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$- 4 \cdot \frac{3}{3} - \frac{4}{3}$

Étape 4.1.2.4

Associez $- 4$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{- 4 \cdot 3}{3} - \frac{4}{3}$

Étape 4.1.2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 4 \cdot 3 - 4}{3}$

Étape 4.1.2.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.2.6.1

Multipliez $- 4$ par $3$ .

$\frac{- 12 - 4}{3}$

Étape 4.1.2.6.2

Soustrayez $4$ de $- 12$ .

$\frac{- 16}{3}$

Étape 4.1.2.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{16}{3}$

Étape 4.2

Indiquez tous les points.

$(\frac{2}{3}, - \frac{16}{3})$

Étape 5