Calcul infinitésimal Exemples

$- 3 x^{3} + 4 x^{4}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 3 x^{3} + 4 x^{4}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x^{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x^{4}]$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$ .

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Étape 1.1.2.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 x^{3}$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x^{4}]$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$- 3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [4 x^{4}]$

Étape 1.1.2.3

Multipliez $3$ par $- 3$ .

$- 9 x^{2} + \frac{d}{d x} [4 x^{4}]$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x^{4}]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x^{4}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- 9 x^{2} + 4 \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$- 9 x^{2} + 4 (4 x^{3})$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $4$ par $4$ .

$- 9 x^{2} + 16 x^{3}$

Étape 1.1.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = 16 x^{3} - 9 x^{2}$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $16 x^{3} - 9 x^{2}$ .

$16 x^{3} - 9 x^{2}$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $16 x^{3} - 9 x^{2} = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$16 x^{3} - 9 x^{2} = 0$

Étape 2.2

Factorisez $x^{2}$ à partir de $16 x^{3} - 9 x^{2}$ .

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Étape 2.2.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $16 x^{3}$ .

$x^{2} (16 x) - 9 x^{2} = 0$

Étape 2.2.2

Factorisez $x^{2}$ à partir de $- 9 x^{2}$ .

$x^{2} (16 x) + x^{2} \cdot - 9 = 0$

Étape 2.2.3

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{2} (16 x) + x^{2} \cdot - 9$ .

$x^{2} (16 x - 9) = 0$

Étape 2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x^{2} = 0$

$16 x - 9 = 0$

Étape 2.4

Définissez $x^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.4.1

Définissez $x^{2}$ égal à $0$ .

$x^{2} = 0$

Étape 2.4.2

Résolvez $x^{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.4.2.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{0}$

Étape 2.4.2.2

Simplifiez $\pm \sqrt{0}$ .

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Étape 2.4.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Étape 2.4.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 0$

Étape 2.4.2.2.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 2.5

Définissez $16 x - 9$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.5.1

Définissez $16 x - 9$ égal à $0$ .

$16 x - 9 = 0$

Étape 2.5.2

Résolvez $16 x - 9 = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.5.2.1

Ajoutez $9$ aux deux côtés de l’équation.

$16 x = 9$

Étape 2.5.2.2

Divisez chaque terme dans $16 x = 9$ par $16$ et simplifiez.

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Étape 2.5.2.2.1

Divisez chaque terme dans $16 x = 9$ par $16$ .

$\frac{16 x}{16} = \frac{9}{16}$

Étape 2.5.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.5.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $16$ .

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Étape 2.5.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{16 x}{16} = \frac{9}{16}$

Étape 2.5.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{9}{16}$

Étape 2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $x^{2} (16 x - 9) = 0$ vraie.

$x = 0, \frac{9}{16}$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 4

Évaluez $- 3 x^{3} + 4 x^{4}$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 4.1

Évaluez sur $x = 0$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $0$ .

$- 3 {(0)}^{3} + 4 {(0)}^{4}$

Étape 4.1.2

Simplifiez

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Étape 4.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$- 3 \cdot 0 + 4 {(0)}^{4}$

Étape 4.1.2.1.2

Multipliez $- 3$ par $0$ .

$0 + 4 {(0)}^{4}$

Étape 4.1.2.1.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0 + 4 \cdot 0$

Étape 4.1.2.1.4

Multipliez $4$ par $0$ .

$0 + 0$

Étape 4.1.2.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$0$

Étape 4.2

Évaluez sur $x = \frac{9}{16}$ .

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Étape 4.2.1

Remplacez $x$ par $\frac{9}{16}$ .

$- 3 {(\frac{9}{16})}^{3} + 4 {(\frac{9}{16})}^{4}$

Étape 4.2.2

Simplifiez

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Étape 4.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{9}{16}$ .

$- 3 \frac{9^{3}}{16^{3}} + 4 {(\frac{9}{16})}^{4}$

Étape 4.2.2.1.2

Élevez $9$ à la puissance $3$ .

$- 3 \frac{729}{16^{3}} + 4 {(\frac{9}{16})}^{4}$

Étape 4.2.2.1.3

Élevez $16$ à la puissance $3$ .

$- 3 (\frac{729}{4096}) + 4 {(\frac{9}{16})}^{4}$

Étape 4.2.2.1.4

Multipliez $- 3 (\frac{729}{4096})$ .

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Étape 4.2.2.1.4.1

Associez $- 3$ et $\frac{729}{4096}$ .

$\frac{- 3 \cdot 729}{4096} + 4 {(\frac{9}{16})}^{4}$

Étape 4.2.2.1.4.2

Multipliez $- 3$ par $729$ .

$\frac{- 2187}{4096} + 4 {(\frac{9}{16})}^{4}$

Étape 4.2.2.1.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2187}{4096} + 4 {(\frac{9}{16})}^{4}$

Étape 4.2.2.1.6

Appliquez la règle de produit à $\frac{9}{16}$ .

$- \frac{2187}{4096} + 4 \frac{9^{4}}{16^{4}}$

Étape 4.2.2.1.7

Élevez $9$ à la puissance $4$ .

$- \frac{2187}{4096} + 4 \frac{6561}{16^{4}}$

Étape 4.2.2.1.8

Élevez $16$ à la puissance $4$ .

$- \frac{2187}{4096} + 4 (\frac{6561}{65536})$

Étape 4.2.2.1.9

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 4.2.2.1.9.1

Factorisez $4$ à partir de $65536$ .

$- \frac{2187}{4096} + 4 \frac{6561}{4 (16384)}$

Étape 4.2.2.1.9.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{2187}{4096} + 4 \frac{6561}{4 \cdot 16384}$

Étape 4.2.2.1.9.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{2187}{4096} + \frac{6561}{16384}$

Étape 4.2.2.2

Pour écrire $- \frac{2187}{4096}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{2187}{4096} \cdot \frac{4}{4} + \frac{6561}{16384}$

Étape 4.2.2.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $16384$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.2.2.3.1

Multipliez $\frac{2187}{4096}$ par $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{2187 \cdot 4}{4096 \cdot 4} + \frac{6561}{16384}$

Étape 4.2.2.3.2

Multipliez $4096$ par $4$ .

$- \frac{2187 \cdot 4}{16384} + \frac{6561}{16384}$

Étape 4.2.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 2187 \cdot 4 + 6561}{16384}$

Étape 4.2.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.2.5.1

Multipliez $- 2187$ par $4$ .

$\frac{- 8748 + 6561}{16384}$

Étape 4.2.2.5.2

Additionnez $- 8748$ et $6561$ .

$\frac{- 2187}{16384}$

Étape 4.2.2.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2187}{16384}$

Étape 4.3

Indiquez tous les points.

$(0, 0), (\frac{9}{16}, - \frac{2187}{16384})$

Étape 5