Calcul infinitésimal Exemples

$4 x^{3} + 24 x^{2}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x^{3} + 24 x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

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Étape 1.1.2.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x^{3}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

Étape 1.1.2.3

Multipliez $3$ par $4$ .

$12 x^{2} + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [24 x^{2}]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme $24$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $24 x^{2}$ par rapport à $x$ est $24 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$12 x^{2} + 24 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$12 x^{2} + 24 (2 x)$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $2$ par $24$ .

$f' (x) = 12 x^{2} + 48 x$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $12 x^{2} + 48 x$ .

$12 x^{2} + 48 x$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $12 x^{2} + 48 x = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$12 x^{2} + 48 x = 0$

Étape 2.2

Factorisez $12 x$ à partir de $12 x^{2} + 48 x$ .

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Étape 2.2.1

Factorisez $12 x$ à partir de $12 x^{2}$ .

$12 x (x) + 48 x = 0$

Étape 2.2.2

Factorisez $12 x$ à partir de $48 x$ .

$12 x (x) + 12 x (4) = 0$

Étape 2.2.3

Factorisez $12 x$ à partir de $12 x (x) + 12 x (4)$ .

$12 x (x + 4) = 0$

Étape 2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$x + 4 = 0$

Étape 2.4

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 2.5

Définissez $x + 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.5.1

Définissez $x + 4$ égal à $0$ .

$x + 4 = 0$

Étape 2.5.2

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 4$

Étape 2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $12 x (x + 4) = 0$ vraie.

$x = 0, - 4$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 4

Évaluez $4 x^{3} + 24 x^{2}$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 4.1

Évaluez sur $x = 0$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $0$ .

$4 {(0)}^{3} + 24 {(0)}^{2}$

Étape 4.1.2

Simplifiez

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Étape 4.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$4 \cdot 0 + 24 {(0)}^{2}$

Étape 4.1.2.1.2

Multipliez $4$ par $0$ .

$0 + 24 {(0)}^{2}$

Étape 4.1.2.1.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0 + 24 \cdot 0$

Étape 4.1.2.1.4

Multipliez $24$ par $0$ .

$0 + 0$

Étape 4.1.2.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$0$

Étape 4.2

Évaluez sur $x = - 4$ .

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Étape 4.2.1

Remplacez $x$ par $- 4$ .

$4 {(- 4)}^{3} + 24 {(- 4)}^{2}$

Étape 4.2.2

Simplifiez

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Étape 4.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.2.1.1

Élevez $- 4$ à la puissance $3$ .

$4 \cdot - 64 + 24 {(- 4)}^{2}$

Étape 4.2.2.1.2

Multipliez $4$ par $- 64$ .

$- 256 + 24 {(- 4)}^{2}$

Étape 4.2.2.1.3

Élevez $- 4$ à la puissance $2$ .

$- 256 + 24 \cdot 16$

Étape 4.2.2.1.4

Multipliez $24$ par $16$ .

$- 256 + 384$

Étape 4.2.2.2

Additionnez $- 256$ et $384$ .

$128$

Étape 4.3

Indiquez tous les points.

$(0, 0), (- 4, 128)$

Étape 5