Calcul infinitésimal Exemples

$6 \sin (x) + 6 \cos (x)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $6 \sin (x) + 6 \cos (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [6 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [6 \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [6 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [6 \cos (x)]$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [6 \sin (x)]$ .

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Étape 1.1.2.1

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 \sin (x)$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$6 \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [6 \cos (x)]$

Étape 1.1.2.2

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$6 \cos (x) + \frac{d}{d x} [6 \cos (x)]$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [6 \cos (x)]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 \cos (x)$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$6 \cos (x) + 6 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Étape 1.1.3.2

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$6 \cos (x) + 6 (- \sin (x))$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $- 1$ par $6$ .

$f' (x) = 6 \cos (x) - 6 \sin (x)$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $6 \cos (x) - 6 \sin (x)$ .

$6 \cos (x) - 6 \sin (x)$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $6 \cos (x) - 6 \sin (x) = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$6 \cos (x) - 6 \sin (x) = 0$

Étape 2.2

Divisez chaque terme dans l’équation par $\cos (x)$ .

$\frac{6 \cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- 6 \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 2.3

Annulez le facteur commun de $\cos (x)$ .

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Étape 2.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{6 \cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- 6 \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 2.3.2

Divisez $6$ par $1$ .

$6 + \frac{- 6 \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 2.4

Séparez les fractions.

$6 + \frac{- 6}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 2.5

Convertissez de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ à $\tan (x)$ .

$6 + \frac{- 6}{1} \cdot \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 2.6

Divisez $- 6$ par $1$ .

$6 - 6 \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Étape 2.7

Séparez les fractions.

$6 - 6 \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Étape 2.8

Convertissez de $\frac{1}{\cos (x)}$ à $\sec (x)$ .

$6 - 6 \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

Étape 2.9

Divisez $0$ par $1$ .

$6 - 6 \tan (x) = 0 \sec (x)$

Étape 2.10

Multipliez $0$ par $\sec (x)$ .

$6 - 6 \tan (x) = 0$

Étape 2.11

Soustrayez $6$ des deux côtés de l’équation.

$- 6 \tan (x) = - 6$

Étape 2.12

Divisez chaque terme dans $- 6 \tan (x) = - 6$ par $- 6$ et simplifiez.

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Étape 2.12.1

Divisez chaque terme dans $- 6 \tan (x) = - 6$ par $- 6$ .

$\frac{- 6 \tan (x)}{- 6} = \frac{- 6}{- 6}$

Étape 2.12.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.12.2.1

Annulez le facteur commun de $- 6$ .

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Étape 2.12.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 6 \tan (x)}{- 6} = \frac{- 6}{- 6}$

Étape 2.12.2.1.2

Divisez $\tan (x)$ par $1$ .

$\tan (x) = \frac{- 6}{- 6}$

Étape 2.12.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.12.3.1

Divisez $- 6$ par $- 6$ .

$\tan (x) = 1$

Étape 2.13

Prenez la tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la tangente.

$x = \arctan (1)$

Étape 2.14

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.14.1

La valeur exacte de $\arctan (1)$ est $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Étape 2.15

La fonction tangente est positive dans les premier et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, ajoutez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$x = π + \frac{π}{4}$

Étape 2.16

Simplifiez $π + \frac{π}{4}$ .

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Étape 2.16.1

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Étape 2.16.2

Associez les fractions.

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Étape 2.16.2.1

Associez $π$ et $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Étape 2.16.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Étape 2.16.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.16.3.1

Déplacez $4$ à gauche de $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Étape 2.16.3.2

Additionnez $4 π$ et $π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Étape 2.17

Déterminez la période de $\tan (x)$ .

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Étape 2.17.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Étape 2.17.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{π}{| 1 |}$

Étape 2.17.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{π}{1}$

Étape 2.17.4

Divisez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 2.18

La période de la fonction $\tan (x)$ est $π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 4

Évaluez $6 \sin (x) + 6 \cos (x)$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 4.1

Évaluez sur $x = \frac{π}{4}$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $\frac{π}{4}$ .

$6 \sin (\frac{π}{4}) + 6 \cos (\frac{π}{4})$

Étape 4.1.2

Simplifiez

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Étape 4.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.2.1.1

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$6 \frac{\sqrt{2}}{2} + 6 \cos (\frac{π}{4})$

Étape 4.1.2.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.1.2.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$2 (3) \frac{\sqrt{2}}{2} + 6 \cos (\frac{π}{4})$

Étape 4.1.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$2 \cdot 3 \frac{\sqrt{2}}{2} + 6 \cos (\frac{π}{4})$

Étape 4.1.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$3 \sqrt{2} + 6 \cos (\frac{π}{4})$

Étape 4.1.2.1.3

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$3 \sqrt{2} + 6 \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 4.1.2.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.1.2.1.4.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$3 \sqrt{2} + 2 (3) \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 4.1.2.1.4.2

Annulez le facteur commun.

$3 \sqrt{2} + 2 \cdot 3 \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 4.1.2.1.4.3

Réécrivez l’expression.

$3 \sqrt{2} + 3 \sqrt{2}$

Étape 4.1.2.2

Additionnez $3 \sqrt{2}$ et $3 \sqrt{2}$ .

$6 \sqrt{2}$

Étape 4.2

Évaluez sur $x = \frac{5 π}{4}$ .

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Étape 4.2.1

Remplacez $x$ par $\frac{5 π}{4}$ .

$6 \sin (\frac{5 π}{4}) + 6 \cos (\frac{5 π}{4})$

Étape 4.2.2

Simplifiez

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Étape 4.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.2.1.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le sinus est négatif dans le troisième quadrant.

$6 (- \sin (\frac{π}{4})) + 6 \cos (\frac{5 π}{4})$

Étape 4.2.2.1.2

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$6 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) + 6 \cos (\frac{5 π}{4})$

Étape 4.2.2.1.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.2.1.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ dans le numérateur.

$6 \frac{- \sqrt{2}}{2} + 6 \cos (\frac{5 π}{4})$

Étape 4.2.2.1.3.2

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$2 (3) \frac{- \sqrt{2}}{2} + 6 \cos (\frac{5 π}{4})$

Étape 4.2.2.1.3.3

Annulez le facteur commun.

$2 \cdot 3 \frac{- \sqrt{2}}{2} + 6 \cos (\frac{5 π}{4})$

Étape 4.2.2.1.3.4

Réécrivez l’expression.

$3 (- \sqrt{2}) + 6 \cos (\frac{5 π}{4})$

Étape 4.2.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$- 3 \sqrt{2} + 6 \cos (\frac{5 π}{4})$

Étape 4.2.2.1.5

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le cosinus est négatif dans le troisième quadrant.

$- 3 \sqrt{2} + 6 (- \cos (\frac{π}{4}))$

Étape 4.2.2.1.6

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- 3 \sqrt{2} + 6 (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Étape 4.2.2.1.7

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.2.1.7.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ dans le numérateur.

$- 3 \sqrt{2} + 6 \frac{- \sqrt{2}}{2}$

Étape 4.2.2.1.7.2

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$- 3 \sqrt{2} + 2 (3) \frac{- \sqrt{2}}{2}$

Étape 4.2.2.1.7.3

Annulez le facteur commun.

$- 3 \sqrt{2} + 2 \cdot 3 \frac{- \sqrt{2}}{2}$

Étape 4.2.2.1.7.4

Réécrivez l’expression.

$- 3 \sqrt{2} + 3 (- \sqrt{2})$

Étape 4.2.2.1.8

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$- 3 \sqrt{2} - 3 \sqrt{2}$

Étape 4.2.2.2

Soustrayez $3 \sqrt{2}$ de $- 3 \sqrt{2}$ .

$- 6 \sqrt{2}$

Étape 4.3

Indiquez tous les points.

$(\frac{π}{4} + 2 π n, 6 \sqrt{2}), (\frac{5 π}{4} + 2 π n, - 6 \sqrt{2})$ , pour tout entier $n$

Étape 5