Calcul infinitésimal Exemples

$- 64 x^{3} + 12 x + 3$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 64 x^{3} + 12 x + 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 64 x^{3}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [- 64 x^{3}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 64 x^{3}]$ .

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Étape 1.1.2.1

Comme $- 64$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 64 x^{3}$ par rapport à $x$ est $- 64 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 64 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$- 64 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 1.1.2.3

Multipliez $3$ par $- 64$ .

$- 192 x^{2} + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [12 x]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme $12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $12 x$ par rapport à $x$ est $12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 192 x^{2} + 12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 192 x^{2} + 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $12$ par $1$ .

$- 192 x^{2} + 12 + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 1.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.1.4.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- 192 x^{2} + 12 + 0$

Étape 1.1.4.2

Additionnez $- 192 x^{2} + 12$ et $0$ .

$f' (x) = - 192 x^{2} + 12$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- 192 x^{2} + 12$ .

$- 192 x^{2} + 12$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- 192 x^{2} + 12 = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- 192 x^{2} + 12 = 0$

Étape 2.2

Soustrayez $12$ des deux côtés de l’équation.

$- 192 x^{2} = - 12$

Étape 2.3

Divisez chaque terme dans $- 192 x^{2} = - 12$ par $- 192$ et simplifiez.

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Étape 2.3.1

Divisez chaque terme dans $- 192 x^{2} = - 12$ par $- 192$ .

$\frac{- 192 x^{2}}{- 192} = \frac{- 12}{- 192}$

Étape 2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.2.1

Annulez le facteur commun de $- 192$ .

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Étape 2.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 192 x^{2}}{- 192} = \frac{- 12}{- 192}$

Étape 2.3.2.1.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{- 12}{- 192}$

Étape 2.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.3.1

Annulez le facteur commun à $- 12$ et $- 192$ .

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Étape 2.3.3.1.1

Factorisez $- 12$ à partir de $- 12$ .

$x^{2} = \frac{- 12 (1)}{- 192}$

Étape 2.3.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.3.1.2.1

Factorisez $- 12$ à partir de $- 192$ .

$x^{2} = \frac{- 12 \cdot 1}{- 12 \cdot 16}$

Étape 2.3.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$x^{2} = \frac{- 12 \cdot 1}{- 12 \cdot 16}$

Étape 2.3.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$x^{2} = \frac{1}{16}$

Étape 2.4

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{16}}$

Étape 2.5

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{1}{16}}$ .

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Étape 2.5.1

Réécrivez $\sqrt{\frac{1}{16}}$ comme $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{16}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{16}}$

Étape 2.5.2

Toute racine de $1$ est $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{16}}$

Étape 2.5.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.5.3.1

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{4^{2}}}$

Étape 2.5.3.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm \frac{1}{4}$

Étape 2.6

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 2.6.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \frac{1}{4}$

Étape 2.6.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \frac{1}{4}$

Étape 2.6.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \frac{1}{4}, - \frac{1}{4}$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 4

Évaluez $- 64 x^{3} + 12 x + 3$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 4.1

Évaluez sur $x = \frac{1}{4}$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $\frac{1}{4}$ .

$- 64 {(\frac{1}{4})}^{3} + 12 (\frac{1}{4}) + 3$

Étape 4.1.2

Simplifiez

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Étape 4.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{4}$ .

$- 64 \frac{1^{3}}{4^{3}} + 12 (\frac{1}{4}) + 3$

Étape 4.1.2.1.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$- 64 \frac{1}{4^{3}} + 12 (\frac{1}{4}) + 3$

Étape 4.1.2.1.3

Élevez $4$ à la puissance $3$ .

$- 64 (\frac{1}{64}) + 12 (\frac{1}{4}) + 3$

Étape 4.1.2.1.4

Annulez le facteur commun de $64$ .

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Étape 4.1.2.1.4.1

Factorisez $64$ à partir de $- 64$ .

$64 (- 1) \frac{1}{64} + 12 (\frac{1}{4}) + 3$

Étape 4.1.2.1.4.2

Annulez le facteur commun.

$64 \cdot - 1 \frac{1}{64} + 12 (\frac{1}{4}) + 3$

Étape 4.1.2.1.4.3

Réécrivez l’expression.

$- 1 + 12 (\frac{1}{4}) + 3$

Étape 4.1.2.1.5

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 4.1.2.1.5.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$- 1 + 4 (3) \frac{1}{4} + 3$

Étape 4.1.2.1.5.2

Annulez le facteur commun.

$- 1 + 4 \cdot 3 \frac{1}{4} + 3$

Étape 4.1.2.1.5.3

Réécrivez l’expression.

$- 1 + 3 + 3$

Étape 4.1.2.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 4.1.2.2.1

Additionnez $- 1$ et $3$ .

$2 + 3$

Étape 4.1.2.2.2

Additionnez $2$ et $3$ .

$5$

Étape 4.2

Évaluez sur $x = - \frac{1}{4}$ .

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Étape 4.2.1

Remplacez $x$ par $- \frac{1}{4}$ .

$- 64 {(- \frac{1}{4})}^{3} + 12 (- \frac{1}{4}) + 3$

Étape 4.2.2

Simplifiez

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Étape 4.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.2.1.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 4.2.2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{1}{4}$ .

$- 64 ({(- 1)}^{3} {(\frac{1}{4})}^{3}) + 12 (- \frac{1}{4}) + 3$

Étape 4.2.2.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{4}$ .

$- 64 ({(- 1)}^{3} \frac{1^{3}}{4^{3}}) + 12 (- \frac{1}{4}) + 3$

Étape 4.2.2.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$- 64 (- \frac{1^{3}}{4^{3}}) + 12 (- \frac{1}{4}) + 3$

Étape 4.2.2.1.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$- 64 (- \frac{1}{4^{3}}) + 12 (- \frac{1}{4}) + 3$

Étape 4.2.2.1.4

Élevez $4$ à la puissance $3$ .

$- 64 (- \frac{1}{64}) + 12 (- \frac{1}{4}) + 3$

Étape 4.2.2.1.5

Annulez le facteur commun de $64$ .

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Étape 4.2.2.1.5.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{64}$ dans le numérateur.

$- 64 (\frac{- 1}{64}) + 12 (- \frac{1}{4}) + 3$

Étape 4.2.2.1.5.2

Factorisez $64$ à partir de $- 64$ .

$64 (- 1) \frac{- 1}{64} + 12 (- \frac{1}{4}) + 3$

Étape 4.2.2.1.5.3

Annulez le facteur commun.

$64 \cdot - 1 \frac{- 1}{64} + 12 (- \frac{1}{4}) + 3$

Étape 4.2.2.1.5.4

Réécrivez l’expression.

$- 1 \cdot - 1 + 12 (- \frac{1}{4}) + 3$

Étape 4.2.2.1.6

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 + 12 (- \frac{1}{4}) + 3$

Étape 4.2.2.1.7

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 4.2.2.1.7.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{4}$ dans le numérateur.

$1 + 12 (\frac{- 1}{4}) + 3$

Étape 4.2.2.1.7.2

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$1 + 4 (3) \frac{- 1}{4} + 3$

Étape 4.2.2.1.7.3

Annulez le facteur commun.

$1 + 4 \cdot 3 \frac{- 1}{4} + 3$

Étape 4.2.2.1.7.4

Réécrivez l’expression.

$1 + 3 \cdot - 1 + 3$

Étape 4.2.2.1.8

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$1 - 3 + 3$

Étape 4.2.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 4.2.2.2.1

Soustrayez $3$ de $1$ .

$- 2 + 3$

Étape 4.2.2.2.2

Additionnez $- 2$ et $3$ .

$1$

Étape 4.3

Indiquez tous les points.

$(\frac{1}{4}, 5), (- \frac{1}{4}, 1)$

Étape 5