Calcul infinitésimal Exemples

$8 x y - x^{3} - 4 y^{2}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $8 x y - x^{3} - 4 y^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [8 x y] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [8 x y] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [8 x y]$ .

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Étape 1.1.2.1

Comme $8 y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8 x y$ par rapport à $x$ est $8 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$8 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$

Étape 1.1.2.3

Multipliez $8$ par $1$ .

$8 y + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

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Étape 1.1.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{3}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$8 y - \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$

Étape 1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$8 y - (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$8 y - 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 4 y^{2}]$

Étape 1.1.4

Comme $- 4 y^{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 y^{2}$ par rapport à $x$ est $0$ .

$8 y - 3 x^{2} + 0$

Étape 1.1.5

Simplifiez

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Étape 1.1.5.1

Additionnez $8 y - 3 x^{2}$ et $0$ .

$8 y - 3 x^{2}$

Étape 1.1.5.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = - 3 x^{2} + 8 y$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- 3 x^{2} + 8 y$ .

$- 3 x^{2} + 8 y$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- 3 x^{2} + 8 y = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- 3 x^{2} + 8 y = 0$

Étape 2.2

Soustrayez $8 y$ des deux côtés de l’équation.

$- 3 x^{2} = - 8 y$

Étape 2.3

Divisez chaque terme dans $- 3 x^{2} = - 8 y$ par $- 3$ et simplifiez.

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Étape 2.3.1

Divisez chaque terme dans $- 3 x^{2} = - 8 y$ par $- 3$ .

$\frac{- 3 x^{2}}{- 3} = \frac{- 8 y}{- 3}$

Étape 2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.2.1

Annulez le facteur commun de $- 3$ .

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Étape 2.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 3 x^{2}}{- 3} = \frac{- 8 y}{- 3}$

Étape 2.3.2.1.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{- 8 y}{- 3}$

Étape 2.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.3.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$x^{2} = \frac{8 y}{3}$

Étape 2.4

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{\frac{8 y}{3}}$

Étape 2.5

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{8 y}{3}}$ .

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Étape 2.5.1

Réécrivez $\sqrt{\frac{8 y}{3}}$ comme $\frac{\sqrt{8 y}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{8 y}}{\sqrt{3}}$

Étape 2.5.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.5.2.1

Réécrivez $8 y$ comme $2^{2} \cdot (2 y)$ .

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Étape 2.5.2.1.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{4 (2) y}}{\sqrt{3}}$

Étape 2.5.2.1.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2^{2} \cdot 2 y}}{\sqrt{3}}$

Étape 2.5.2.1.3

Ajoutez des parenthèses.

$x = \pm \frac{\sqrt{2^{2} \cdot (2 y)}}{\sqrt{3}}$

Étape 2.5.2.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{2 y}}{\sqrt{3}}$

Étape 2.5.3

Multipliez $\frac{2 \sqrt{2 y}}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{2 y}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Étape 2.5.4

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.5.4.1

Multipliez $\frac{2 \sqrt{2 y}}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{2 y} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Étape 2.5.4.2

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{2 y} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Étape 2.5.4.3

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{2 y} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Étape 2.5.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{2 y} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Étape 2.5.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{2 y} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Étape 2.5.4.6

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 2.5.4.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{2 y} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 2.5.4.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{2 y} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 2.5.4.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{2 y} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 2.5.4.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.5.4.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{2 y} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Étape 2.5.4.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{2 y} \sqrt{3}}{3^{1}}$

Étape 2.5.4.6.5

Évaluez l’exposant.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{2 y} \sqrt{3}}{3}$

Étape 2.5.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.5.5.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3 (2 y)}}{3}$

Étape 2.5.5.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{6 y}}{3}$

Étape 2.6

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 2.6.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \frac{2 \sqrt{6 y}}{3}$

Étape 2.6.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \frac{2 \sqrt{6 y}}{3}$

Étape 2.6.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \frac{2 \sqrt{6 y}}{3}$

$x = - \frac{2 \sqrt{6 y}}{3}$

$x = \frac{2 \sqrt{6 y}}{3}$

$x = - \frac{2 \sqrt{6 y}}{3}$

$x = \frac{2 \sqrt{6 y}}{3}$

$x = - \frac{2 \sqrt{6 y}}{3}$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 4

Évaluez $8 x y - x^{3} - 4 y^{2}$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 4.1

Évaluez sur $x = \frac{2 \sqrt{6 y}}{3}$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $\frac{2 \sqrt{6 y}}{3}$ .

$8 (\frac{2 \sqrt{6 y}}{3}) \cdot y - {(\frac{2 \sqrt{6 y}}{3})}^{3} - 4 y^{2}$

Étape 4.1.2

Simplifiez

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Étape 4.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.2.1.1

Multipliez $8 (\frac{2 \sqrt{6 y}}{3})$ .

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Étape 4.1.2.1.1.1

Associez $8$ et $\frac{2 \sqrt{6 y}}{3}$ .

$\frac{8 (2 \sqrt{6 y})}{3} \cdot y - {(\frac{2 \sqrt{6 y}}{3})}^{3} - 4 y^{2}$

Étape 4.1.2.1.1.2

Multipliez $2$ par $8$ .

$\frac{16 \sqrt{6 y}}{3} \cdot y - {(\frac{2 \sqrt{6 y}}{3})}^{3} - 4 y^{2}$

Étape 4.1.2.1.2

Associez $\frac{16 \sqrt{6 y}}{3}$ et $y$ .

$\frac{16 \sqrt{6 y} y}{3} - {(\frac{2 \sqrt{6 y}}{3})}^{3} - 4 y^{2}$

Étape 4.1.2.1.3

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 4.1.2.1.3.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{2 \sqrt{6 y}}{3}$ .

$\frac{16 \sqrt{6 y} y}{3} - \frac{{(2 \sqrt{6 y})}^{3}}{3^{3}} - 4 y^{2}$

Étape 4.1.2.1.3.2

Appliquez la règle de produit à $2 \sqrt{6 y}$ .

$\frac{16 \sqrt{6 y} y}{3} - \frac{2^{3} {\sqrt{6 y}}^{3}}{3^{3}} - 4 y^{2}$

Étape 4.1.2.1.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.2.1.4.1

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$\frac{16 \sqrt{6 y} y}{3} - \frac{8 {\sqrt{6 y}}^{3}}{3^{3}} - 4 y^{2}$

Étape 4.1.2.1.4.2

Réécrivez ${\sqrt{6 y}}^{3}$ comme $\sqrt{{(6 y)}^{3}}$ .

$\frac{16 \sqrt{6 y} y}{3} - \frac{8 \sqrt{{(6 y)}^{3}}}{3^{3}} - 4 y^{2}$

Étape 4.1.2.1.4.3

Appliquez la règle de produit à $6 y$ .

$\frac{16 \sqrt{6 y} y}{3} - \frac{8 \sqrt{6^{3} y^{3}}}{3^{3}} - 4 y^{2}$

Étape 4.1.2.1.4.4

Élevez $6$ à la puissance $3$ .

$\frac{16 \sqrt{6 y} y}{3} - \frac{8 \sqrt{216 y^{3}}}{3^{3}} - 4 y^{2}$

Étape 4.1.2.1.4.5

Réécrivez $216 y^{3}$ comme ${(6 y)}^{2} \cdot (6 y)$ .

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Étape 4.1.2.1.4.5.1

Factorisez $36$ à partir de $216$ .

$\frac{16 \sqrt{6 y} y}{3} - \frac{8 \sqrt{36 (6) y^{3}}}{3^{3}} - 4 y^{2}$

Étape 4.1.2.1.4.5.2

Réécrivez $36$ comme $6^{2}$ .

$\frac{16 \sqrt{6 y} y}{3} - \frac{8 \sqrt{6^{2} \cdot 6 y^{3}}}{3^{3}} - 4 y^{2}$

Étape 4.1.2.1.4.5.3

Factorisez $y^{2}$ .

$\frac{16 \sqrt{6 y} y}{3} - \frac{8 \sqrt{6^{2} \cdot 6 (y^{2} y)}}{3^{3}} - 4 y^{2}$

Étape 4.1.2.1.4.5.4

Déplacez $6$ .

$\frac{16 \sqrt{6 y} y}{3} - \frac{8 \sqrt{6^{2} y^{2} \cdot 6 y}}{3^{3}} - 4 y^{2}$

Étape 4.1.2.1.4.5.5

Réécrivez $6^{2} y^{2}$ comme ${(6 y)}^{2}$ .

$\frac{16 \sqrt{6 y} y}{3} - \frac{8 \sqrt{{(6 y)}^{2} \cdot 6 y}}{3^{3}} - 4 y^{2}$

Étape 4.1.2.1.4.5.6

Ajoutez des parenthèses.

$\frac{16 \sqrt{6 y} y}{3} - \frac{8 \sqrt{{(6 y)}^{2} \cdot (6 y)}}{3^{3}} - 4 y^{2}$

Étape 4.1.2.1.4.6

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{16 \sqrt{6 y} y}{3} - \frac{8 \cdot 6 y \sqrt{6 y}}{3^{3}} - 4 y^{2}$

Étape 4.1.2.1.4.7

Multipliez $8$ par $6$ .

$\frac{16 \sqrt{6 y} y}{3} - \frac{48 y \sqrt{6 y}}{3^{3}} - 4 y^{2}$

Étape 4.1.2.1.5

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$\frac{16 \sqrt{6 y} y}{3} - \frac{48 y \sqrt{6 y}}{27} - 4 y^{2}$

Étape 4.1.2.1.6

Annulez le facteur commun à $48$ et $27$ .

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Étape 4.1.2.1.6.1

Factorisez $3$ à partir de $48 y \sqrt{6 y}$ .

$\frac{16 \sqrt{6 y} y}{3} - \frac{3 (16 y \sqrt{6 y})}{27} - 4 y^{2}$

Étape 4.1.2.1.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.1.2.1.6.2.1

Factorisez $3$ à partir de $27$ .

$\frac{16 \sqrt{6 y} y}{3} - \frac{3 (16 y \sqrt{6 y})}{3 (9)} - 4 y^{2}$

Étape 4.1.2.1.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{16 \sqrt{6 y} y}{3} - \frac{3 (16 y \sqrt{6 y})}{3 \cdot 9} - 4 y^{2}$

Étape 4.1.2.1.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{16 \sqrt{6 y} y}{3} - \frac{16 y \sqrt{6 y}}{9} - 4 y^{2}$

Étape 4.1.2.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{16 y \sqrt{6 y}}{3} - \frac{16 y \sqrt{6 y}}{9} - 4 y^{2}$

Étape 4.1.2.3

Pour écrire $\frac{16 y \sqrt{6 y}}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{16 y \sqrt{6 y}}{3} \cdot \frac{3}{3} - \frac{16 y \sqrt{6 y}}{9} - 4 y^{2}$

Étape 4.1.2.4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $9$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.1.2.4.1

Multipliez $\frac{16 y \sqrt{6 y}}{3}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{16 y \sqrt{6 y} \cdot 3}{3 \cdot 3} - \frac{16 y \sqrt{6 y}}{9} - 4 y^{2}$

Étape 4.1.2.4.2

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{16 y \sqrt{6 y} \cdot 3}{9} - \frac{16 y \sqrt{6 y}}{9} - 4 y^{2}$

Étape 4.1.2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{16 y \sqrt{6 y} \cdot 3 - 16 y \sqrt{6 y}}{9} - 4 y^{2}$

Étape 4.1.2.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.2.6.1

Factorisez $16 y \sqrt{6 y}$ à partir de $16 y \sqrt{6 y} \cdot 3 - 16 y \sqrt{6 y}$ .

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Étape 4.1.2.6.1.1

Factorisez $16 y \sqrt{6 y}$ à partir de $16 y \sqrt{6 y} \cdot 3$ .

$\frac{16 y \sqrt{6 y} (3) - 16 y \sqrt{6 y}}{9} - 4 y^{2}$

Étape 4.1.2.6.1.2

Factorisez $16 y \sqrt{6 y}$ à partir de $- 16 y \sqrt{6 y}$ .

$\frac{16 y \sqrt{6 y} (3) + 16 y \sqrt{6 y} (- 1)}{9} - 4 y^{2}$

Étape 4.1.2.6.1.3

Factorisez $16 y \sqrt{6 y}$ à partir de $16 y \sqrt{6 y} (3) + 16 y \sqrt{6 y} (- 1)$ .

$\frac{16 y \sqrt{6 y} (3 - 1)}{9} - 4 y^{2}$

Étape 4.1.2.6.2

Soustrayez $1$ de $3$ .

$\frac{16 y \sqrt{6 y} \cdot 2}{9} - 4 y^{2}$

Étape 4.1.2.6.3

Multipliez $2$ par $16$ .

$\frac{32 y \sqrt{6 y}}{9} - 4 y^{2}$

Étape 4.2

Évaluez sur $x = - \frac{2 \sqrt{6 y}}{3}$ .

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Étape 4.2.1

Remplacez $x$ par $- \frac{2 \sqrt{6 y}}{3}$ .

$8 (- \frac{2 \sqrt{6 y}}{3}) \cdot y - {(- \frac{2 \sqrt{6 y}}{3})}^{3} - 4 y^{2}$

Étape 4.2.2

Simplifiez

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Étape 4.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.2.1.1

Multipliez $8 (- \frac{2 \sqrt{6 y}}{3})$ .

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Étape 4.2.2.1.1.1

Multipliez $- 1$ par $8$ .

$- 8 \frac{2 \sqrt{6 y}}{3} \cdot y - {(- \frac{2 \sqrt{6 y}}{3})}^{3} - 4 y^{2}$

Étape 4.2.2.1.1.2

Associez $- 8$ et $\frac{2 \sqrt{6 y}}{3}$ .

$\frac{- 8 (2 \sqrt{6 y})}{3} \cdot y - {(- \frac{2 \sqrt{6 y}}{3})}^{3} - 4 y^{2}$

Étape 4.2.2.1.1.3

Multipliez $2$ par $- 8$ .

$\frac{- 16 \sqrt{6 y}}{3} \cdot y - {(- \frac{2 \sqrt{6 y}}{3})}^{3} - 4 y^{2}$

Étape 4.2.2.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{16 \sqrt{6 y}}{3} \cdot y - {(- \frac{2 \sqrt{6 y}}{3})}^{3} - 4 y^{2}$

Étape 4.2.2.1.3

Associez $y$ et $\frac{16 \sqrt{6 y}}{3}$ .

$- \frac{y (16 \sqrt{6 y})}{3} - {(- \frac{2 \sqrt{6 y}}{3})}^{3} - 4 y^{2}$

Étape 4.2.2.1.4

Déplacez $16$ à gauche de $y$ .

$- \frac{16 \cdot y \sqrt{6 y}}{3} - {(- \frac{2 \sqrt{6 y}}{3})}^{3} - 4 y^{2}$

Étape 4.2.2.1.5

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 4.2.2.1.5.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{2 \sqrt{6 y}}{3}$ .

$- \frac{16 y \sqrt{6 y}}{3} - ({(- 1)}^{3} {(\frac{2 \sqrt{6 y}}{3})}^{3}) - 4 y^{2}$

Étape 4.2.2.1.5.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{2 \sqrt{6 y}}{3}$ .

$- \frac{16 y \sqrt{6 y}}{3} - ({(- 1)}^{3} \frac{{(2 \sqrt{6 y})}^{3}}{3^{3}}) - 4 y^{2}$

Étape 4.2.2.1.5.3

Appliquez la règle de produit à $2 \sqrt{6 y}$ .

$- \frac{16 y \sqrt{6 y}}{3} - ({(- 1)}^{3} \frac{2^{3} {\sqrt{6 y}}^{3}}{3^{3}}) - 4 y^{2}$

Étape 4.2.2.1.6

Multipliez $- 1$ par ${(- 1)}^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.2.2.1.6.1

Déplacez ${(- 1)}^{3}$ .

$- \frac{16 y \sqrt{6 y}}{3} + {(- 1)}^{3} \cdot - 1 \frac{2^{3} {\sqrt{6 y}}^{3}}{3^{3}} - 4 y^{2}$

Étape 4.2.2.1.6.2

Multipliez ${(- 1)}^{3}$ par $- 1$ .

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Étape 4.2.2.1.6.2.1

Élevez $- 1$ à la puissance $1$ .

$- \frac{16 y \sqrt{6 y}}{3} + {(- 1)}^{3} \cdot {(- 1)}^{1} \frac{2^{3} {\sqrt{6 y}}^{3}}{3^{3}} - 4 y^{2}$

Étape 4.2.2.1.6.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{16 y \sqrt{6 y}}{3} + {(- 1)}^{3 + 1} \frac{2^{3} {\sqrt{6 y}}^{3}}{3^{3}} - 4 y^{2}$

Étape 4.2.2.1.6.3

Additionnez $3$ et $1$ .

$- \frac{16 y \sqrt{6 y}}{3} + {(- 1)}^{4} \frac{2^{3} {\sqrt{6 y}}^{3}}{3^{3}} - 4 y^{2}$

Étape 4.2.2.1.7

Élevez $- 1$ à la puissance $4$ .

$- \frac{16 y \sqrt{6 y}}{3} + 1 \frac{2^{3} {\sqrt{6 y}}^{3}}{3^{3}} - 4 y^{2}$

Étape 4.2.2.1.8

Multipliez $\frac{2^{3} {\sqrt{6 y}}^{3}}{3^{3}}$ par $1$ .

$- \frac{16 y \sqrt{6 y}}{3} + \frac{2^{3} {\sqrt{6 y}}^{3}}{3^{3}} - 4 y^{2}$

Étape 4.2.2.1.9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.2.1.9.1

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$- \frac{16 y \sqrt{6 y}}{3} + \frac{8 {\sqrt{6 y}}^{3}}{3^{3}} - 4 y^{2}$

Étape 4.2.2.1.9.2

Réécrivez ${\sqrt{6 y}}^{3}$ comme $\sqrt{{(6 y)}^{3}}$ .

$- \frac{16 y \sqrt{6 y}}{3} + \frac{8 \sqrt{{(6 y)}^{3}}}{3^{3}} - 4 y^{2}$

Étape 4.2.2.1.9.3

Appliquez la règle de produit à $6 y$ .

$- \frac{16 y \sqrt{6 y}}{3} + \frac{8 \sqrt{6^{3} y^{3}}}{3^{3}} - 4 y^{2}$

Étape 4.2.2.1.9.4

Élevez $6$ à la puissance $3$ .

$- \frac{16 y \sqrt{6 y}}{3} + \frac{8 \sqrt{216 y^{3}}}{3^{3}} - 4 y^{2}$

Étape 4.2.2.1.9.5

Réécrivez $216 y^{3}$ comme ${(6 y)}^{2} \cdot (6 y)$ .

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Étape 4.2.2.1.9.5.1

Factorisez $36$ à partir de $216$ .

$- \frac{16 y \sqrt{6 y}}{3} + \frac{8 \sqrt{36 (6) y^{3}}}{3^{3}} - 4 y^{2}$

Étape 4.2.2.1.9.5.2

Réécrivez $36$ comme $6^{2}$ .

$- \frac{16 y \sqrt{6 y}}{3} + \frac{8 \sqrt{6^{2} \cdot 6 y^{3}}}{3^{3}} - 4 y^{2}$

Étape 4.2.2.1.9.5.3

Factorisez $y^{2}$ .

$- \frac{16 y \sqrt{6 y}}{3} + \frac{8 \sqrt{6^{2} \cdot 6 (y^{2} y)}}{3^{3}} - 4 y^{2}$

Étape 4.2.2.1.9.5.4

Déplacez $6$ .

$- \frac{16 y \sqrt{6 y}}{3} + \frac{8 \sqrt{6^{2} y^{2} \cdot 6 y}}{3^{3}} - 4 y^{2}$

Étape 4.2.2.1.9.5.5

Réécrivez $6^{2} y^{2}$ comme ${(6 y)}^{2}$ .

$- \frac{16 y \sqrt{6 y}}{3} + \frac{8 \sqrt{{(6 y)}^{2} \cdot 6 y}}{3^{3}} - 4 y^{2}$

Étape 4.2.2.1.9.5.6

Ajoutez des parenthèses.

$- \frac{16 y \sqrt{6 y}}{3} + \frac{8 \sqrt{{(6 y)}^{2} \cdot (6 y)}}{3^{3}} - 4 y^{2}$

Étape 4.2.2.1.9.6

Extrayez les termes de sous le radical.

$- \frac{16 y \sqrt{6 y}}{3} + \frac{8 \cdot 6 y \sqrt{6 y}}{3^{3}} - 4 y^{2}$

Étape 4.2.2.1.9.7

Multipliez $8$ par $6$ .

$- \frac{16 y \sqrt{6 y}}{3} + \frac{48 y \sqrt{6 y}}{3^{3}} - 4 y^{2}$

Étape 4.2.2.1.10

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$- \frac{16 y \sqrt{6 y}}{3} + \frac{48 y \sqrt{6 y}}{27} - 4 y^{2}$

Étape 4.2.2.1.11

Annulez le facteur commun à $48$ et $27$ .

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Étape 4.2.2.1.11.1

Factorisez $3$ à partir de $48 y \sqrt{6 y}$ .

$- \frac{16 y \sqrt{6 y}}{3} + \frac{3 (16 y \sqrt{6 y})}{27} - 4 y^{2}$

Étape 4.2.2.1.11.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.2.2.1.11.2.1

Factorisez $3$ à partir de $27$ .

$- \frac{16 y \sqrt{6 y}}{3} + \frac{3 (16 y \sqrt{6 y})}{3 (9)} - 4 y^{2}$

Étape 4.2.2.1.11.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{16 y \sqrt{6 y}}{3} + \frac{3 (16 y \sqrt{6 y})}{3 \cdot 9} - 4 y^{2}$

Étape 4.2.2.1.11.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{16 y \sqrt{6 y}}{3} + \frac{16 y \sqrt{6 y}}{9} - 4 y^{2}$

Étape 4.2.2.2

Pour écrire $- \frac{16 y \sqrt{6 y}}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{16 y \sqrt{6 y}}{3} \cdot \frac{3}{3} + \frac{16 y \sqrt{6 y}}{9} - 4 y^{2}$

Étape 4.2.2.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $9$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.2.2.3.1

Multipliez $\frac{16 y \sqrt{6 y}}{3}$ par $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{16 y \sqrt{6 y} \cdot 3}{3 \cdot 3} + \frac{16 y \sqrt{6 y}}{9} - 4 y^{2}$

Étape 4.2.2.3.2

Multipliez $3$ par $3$ .

$- \frac{16 y \sqrt{6 y} \cdot 3}{9} + \frac{16 y \sqrt{6 y}}{9} - 4 y^{2}$

Étape 4.2.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 16 y \sqrt{6 y} \cdot 3 + 16 y \sqrt{6 y}}{9} - 4 y^{2}$

Étape 4.2.2.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.2.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.2.5.1.1

Factorisez $16 y \sqrt{6 y}$ à partir de $- 16 y \sqrt{6 y} \cdot 3 + 16 y \sqrt{6 y}$ .

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Étape 4.2.2.5.1.1.1

Factorisez $16 y \sqrt{6 y}$ à partir de $- 16 y \sqrt{6 y} \cdot 3$ .

$\frac{16 y \sqrt{6 y} (- 1 \cdot 3) + 16 y \sqrt{6 y}}{9} - 4 y^{2}$

Étape 4.2.2.5.1.1.2

Factorisez $16 y \sqrt{6 y}$ à partir de $16 y \sqrt{6 y}$ .

$\frac{16 y \sqrt{6 y} (- 1 \cdot 3) + 16 y \sqrt{6 y} (1)}{9} - 4 y^{2}$

Étape 4.2.2.5.1.1.3

Factorisez $16 y \sqrt{6 y}$ à partir de $16 y \sqrt{6 y} (- 1 \cdot 3) + 16 y \sqrt{6 y} (1)$ .

$\frac{16 y \sqrt{6 y} (- 1 \cdot 3 + 1)}{9} - 4 y^{2}$

Étape 4.2.2.5.1.2

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{16 y \sqrt{6 y} (- 3 + 1)}{9} - 4 y^{2}$

Étape 4.2.2.5.1.3

Additionnez $- 3$ et $1$ .

$\frac{16 y \sqrt{6 y} \cdot - 2}{9} - 4 y^{2}$

Étape 4.2.2.5.1.4

Multipliez $- 2$ par $16$ .

$\frac{- 32 y \sqrt{6 y}}{9} - 4 y^{2}$

Étape 4.2.2.5.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{32 y \sqrt{6 y}}{9} - 4 y^{2}$

Étape 4.3

Indiquez tous les points.

$(\frac{2 \sqrt{6 y}}{3}, \frac{32 y \sqrt{6 y}}{9} - 4 y^{2}), (- \frac{2 \sqrt{6 y}}{3}, - \frac{32 y \sqrt{6 y}}{9} - 4 y^{2})$

Étape 5