Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{- x - 6}{{(x - 6)}^{2}} + 9$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{- x - 6}{{(x - 6)}^{2}} + 9$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{- x - 6}{{(x - 6)}^{2}}] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{- x - 6}{{(x - 6)}^{2}}] + \frac{d}{d x} [9]$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{- x - 6}{{(x - 6)}^{2}}]$ .

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Étape 1.1.2.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = - x - 6$ et $g (x) = {(x - 6)}^{2}$ .

$\frac{{(x - 6)}^{2} \frac{d}{d x} [- x - 6] - (- x - 6) \frac{d}{d x} [{(x - 6)}^{2}]}{{({(x - 6)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Étape 1.1.2.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- x - 6$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$\frac{{(x - 6)}^{2} (\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 6]) - (- x - 6) \frac{d}{d x} [{(x - 6)}^{2}]}{{({(x - 6)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Étape 1.1.2.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{{(x - 6)}^{2} (- \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]) - (- x - 6) \frac{d}{d x} [{(x - 6)}^{2}]}{{({(x - 6)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Étape 1.1.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{{(x - 6)}^{2} (- 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 6]) - (- x - 6) \frac{d}{d x} [{(x - 6)}^{2}]}{{({(x - 6)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Étape 1.1.2.5

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 6$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{{(x - 6)}^{2} (- 1 \cdot 1 + 0) - (- x - 6) \frac{d}{d x} [{(x - 6)}^{2}]}{{({(x - 6)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Étape 1.1.2.6

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = x - 6$ .

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Étape 1.1.2.6.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x - 6$ .

$\frac{{(x - 6)}^{2} (- 1 \cdot 1 + 0) - (- x - 6) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x - 6])}{{({(x - 6)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Étape 1.1.2.6.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{{(x - 6)}^{2} (- 1 \cdot 1 + 0) - (- x - 6) (2 u \frac{d}{d x} [x - 6])}{{({(x - 6)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Étape 1.1.2.6.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x - 6$ .

$\frac{{(x - 6)}^{2} (- 1 \cdot 1 + 0) - (- x - 6) (2 (x - 6) \frac{d}{d x} [x - 6])}{{({(x - 6)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Étape 1.1.2.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 6$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$\frac{{(x - 6)}^{2} (- 1 \cdot 1 + 0) - (- x - 6) (2 (x - 6) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]))}{{({(x - 6)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Étape 1.1.2.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{{(x - 6)}^{2} (- 1 \cdot 1 + 0) - (- x - 6) (2 (x - 6) (1 + \frac{d}{d x} [- 6]))}{{({(x - 6)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Étape 1.1.2.9

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 6$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{{(x - 6)}^{2} (- 1 \cdot 1 + 0) - (- x - 6) (2 (x - 6) (1 + 0))}{{({(x - 6)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Étape 1.1.2.10

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{{(x - 6)}^{2} (- 1 + 0) - (- x - 6) (2 (x - 6) (1 + 0))}{{({(x - 6)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Étape 1.1.2.11

Additionnez $- 1$ et $0$ .

$\frac{{(x - 6)}^{2} \cdot - 1 - (- x - 6) (2 (x - 6) (1 + 0))}{{({(x - 6)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Étape 1.1.2.12

Déplacez $- 1$ à gauche de ${(x - 6)}^{2}$ .

$\frac{- 1 \cdot {(x - 6)}^{2} - (- x - 6) (2 (x - 6) (1 + 0))}{{({(x - 6)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Étape 1.1.2.13

Réécrivez $- 1 {(x - 6)}^{2}$ comme $- {(x - 6)}^{2}$ .

$\frac{- {(x - 6)}^{2} - (- x - 6) (2 (x - 6) (1 + 0))}{{({(x - 6)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Étape 1.1.2.14

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{- {(x - 6)}^{2} - (- x - 6) (2 (x - 6) \cdot 1)}{{({(x - 6)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Étape 1.1.2.15

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{- {(x - 6)}^{2} - (- x - 6) (2 (x - 6))}{{({(x - 6)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Étape 1.1.2.16

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{- {(x - 6)}^{2} - 2 (- x - 6) (x - 6)}{{({(x - 6)}^{2})}^{2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Étape 1.1.2.17

Multipliez les exposants dans ${({(x - 6)}^{2})}^{2}$ .

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Étape 1.1.2.17.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- {(x - 6)}^{2} - 2 (- x - 6) (x - 6)}{{(x - 6)}^{2 \cdot 2}} + \frac{d}{d x} [9]$

Étape 1.1.2.17.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{- {(x - 6)}^{2} - 2 (- x - 6) (x - 6)}{{(x - 6)}^{4}} + \frac{d}{d x} [9]$

Étape 1.1.2.18

Factorisez $x - 6$ à partir de $- {(x - 6)}^{2} - 2 (- x - 6) (x - 6)$ .

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Étape 1.1.2.18.1

Factorisez $x - 6$ à partir de $- {(x - 6)}^{2}$ .

$\frac{(x - 6) (- (x - 6)) - 2 (- x - 6) (x - 6)}{{(x - 6)}^{4}} + \frac{d}{d x} [9]$

Étape 1.1.2.18.2

Factorisez $x - 6$ à partir de $- 2 (- x - 6) (x - 6)$ .

$\frac{(x - 6) (- (x - 6)) + (x - 6) (- 2 (- x - 6))}{{(x - 6)}^{4}} + \frac{d}{d x} [9]$

Étape 1.1.2.18.3

Factorisez $x - 6$ à partir de $(x - 6) (- (x - 6)) + (x - 6) (- 2 (- x - 6))$ .

$\frac{(x - 6) (- (x - 6) - 2 (- x - 6))}{{(x - 6)}^{4}} + \frac{d}{d x} [9]$

Étape 1.1.2.19

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.1.2.19.1

Factorisez $x - 6$ à partir de ${(x - 6)}^{4}$ .

$\frac{(x - 6) (- (x - 6) - 2 (- x - 6))}{(x - 6) {(x - 6)}^{3}} + \frac{d}{d x} [9]$

Étape 1.1.2.19.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x - 6) (- (x - 6) - 2 (- x - 6))}{(x - 6) {(x - 6)}^{3}} + \frac{d}{d x} [9]$

Étape 1.1.2.19.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- (x - 6) - 2 (- x - 6)}{{(x - 6)}^{3}} + \frac{d}{d x} [9]$

Étape 1.1.3

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{- (x - 6) - 2 (- x - 6)}{{(x - 6)}^{3}} + 0$

Étape 1.1.4

Simplifiez

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Étape 1.1.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- x - - 6 - 2 (- x - 6)}{{(x - 6)}^{3}} + 0$

Étape 1.1.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- x - - 6 - 2 (- x) - 2 \cdot - 6}{{(x - 6)}^{3}} + 0$

Étape 1.1.4.3

Associez des termes.

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Étape 1.1.4.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 6$ .

$\frac{- x + 6 - 2 (- x) - 2 \cdot - 6}{{(x - 6)}^{3}} + 0$

Étape 1.1.4.3.2

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$\frac{- x + 6 + 2 x - 2 \cdot - 6}{{(x - 6)}^{3}} + 0$

Étape 1.1.4.3.3

Multipliez $- 2$ par $- 6$ .

$\frac{- x + 6 + 2 x + 12}{{(x - 6)}^{3}} + 0$

Étape 1.1.4.3.4

Additionnez $- x$ et $2 x$ .

$\frac{x + 6 + 12}{{(x - 6)}^{3}} + 0$

Étape 1.1.4.3.5

Additionnez $6$ et $12$ .

$\frac{x + 18}{{(x - 6)}^{3}} + 0$

Étape 1.1.4.3.6

Additionnez $\frac{x + 18}{{(x - 6)}^{3}}$ et $0$ .

$f' (x) = \frac{x + 18}{{(x - 6)}^{3}}$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{x + 18}{{(x - 6)}^{3}}$ .

$\frac{x + 18}{{(x - 6)}^{3}}$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{x + 18}{{(x - 6)}^{3}} = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$\frac{x + 18}{{(x - 6)}^{3}} = 0$

Étape 2.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$x + 18 = 0$

Étape 2.3

Soustrayez $18$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 18$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 3.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{x + 18}{{(x - 6)}^{3}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

${(x - 6)}^{3} = 0$

Étape 3.2

Résolvez $x$ .

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Étape 3.2.1

Définissez le $x - 6$ égal à $0$ .

$x - 6 = 0$

Étape 3.2.2

Ajoutez $6$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 6$

Étape 4

Évaluez $\frac{- x - 6}{{(x - 6)}^{2}} + 9$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 4.1

Évaluez sur $x = - 18$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $- 18$ .

$\frac{- (- 18) - 6}{{((- 18) - 6)}^{2}} + 9$

Étape 4.1.2

Simplifiez

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Étape 4.1.2.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.1.2.1.1

Multipliez $- 1$ par $- 18$ .

$\frac{18 - 6}{{((- 18) - 6)}^{2}} + 9$

Étape 4.1.2.1.2

Soustrayez $6$ de $18$ .

$\frac{12}{{((- 18) - 6)}^{2}} + 9$

Étape 4.1.2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.2.2.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.1.2.2.1.1

Soustrayez $6$ de $- 18$ .

$\frac{12}{{(- 24)}^{2}} + 9$

Étape 4.1.2.2.1.2

Élevez $- 24$ à la puissance $2$ .

$\frac{12}{576} + 9$

Étape 4.1.2.2.2

Annulez le facteur commun à $12$ et $576$ .

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Étape 4.1.2.2.2.1

Factorisez $12$ à partir de $12$ .

$\frac{12 (1)}{576} + 9$

Étape 4.1.2.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.1.2.2.2.2.1

Factorisez $12$ à partir de $576$ .

$\frac{12 \cdot 1}{12 \cdot 48} + 9$

Étape 4.1.2.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{12 \cdot 1}{12 \cdot 48} + 9$

Étape 4.1.2.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{48} + 9$

Étape 4.1.2.3

Pour écrire $9$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{48}{48}$ .

$\frac{1}{48} + 9 \cdot \frac{48}{48}$

Étape 4.1.2.4

Associez $9$ et $\frac{48}{48}$ .

$\frac{1}{48} + \frac{9 \cdot 48}{48}$

Étape 4.1.2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1 + 9 \cdot 48}{48}$

Étape 4.1.2.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.2.6.1

Multipliez $9$ par $48$ .

$\frac{1 + 432}{48}$

Étape 4.1.2.6.2

Additionnez $1$ et $432$ .

$\frac{433}{48}$

Étape 4.2

Évaluez sur $x = 6$ .

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Étape 4.2.1

Remplacez $x$ par $6$ .

$\frac{- (6) - 6}{{((6) - 6)}^{2}} + 9$

Étape 4.2.2

Simplifiez

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Étape 4.2.2.1

Soustrayez $6$ de $6$ .

$\frac{- (6) - 6}{0^{2}} + 9$

Étape 4.2.2.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{- (6) - 6}{0} + 9$

Étape 4.2.2.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

Étape 4.3

Indiquez tous les points.

$(- 18, \frac{433}{48})$

Étape 5