Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{3} - 15 x$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} - 15 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15 x]$

Étape 1.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 15 x]$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 15 x]$ .

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Étape 1.1.2.1

Comme $- 15$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 15 x$ par rapport à $x$ est $- 15 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} - 15 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 x^{2} - 15 \cdot 1$

Étape 1.1.2.3

Multipliez $- 15$ par $1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 15$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $3 x^{2} - 15$ .

$3 x^{2} - 15$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $3 x^{2} - 15 = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$3 x^{2} - 15 = 0$

Étape 2.2

Ajoutez $15$ aux deux côtés de l’équation.

$3 x^{2} = 15$

Étape 2.3

Divisez chaque terme dans $3 x^{2} = 15$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 2.3.1

Divisez chaque terme dans $3 x^{2} = 15$ par $3$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{15}{3}$

Étape 2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{15}{3}$

Étape 2.3.2.1.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{15}{3}$

Étape 2.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.3.1

Divisez $15$ par $3$ .

$x^{2} = 5$

Étape 2.4

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{5}$

Étape 2.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 2.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \sqrt{5}$

Étape 2.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \sqrt{5}$

Étape 2.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \sqrt{5}, - \sqrt{5}$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 4

Évaluez $x^{3} - 15 x$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 4.1

Évaluez sur $x = \sqrt{5}$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $\sqrt{5}$ .

${(\sqrt{5})}^{3} - 15 \sqrt{5}$

Étape 4.1.2

Simplifiez

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Étape 4.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.2.1.1

Réécrivez ${\sqrt{5}}^{3}$ comme $\sqrt{5^{3}}$ .

$\sqrt{5^{3}} - 15 \sqrt{5}$

Étape 4.1.2.1.2

Élevez $5$ à la puissance $3$ .

$\sqrt{125} - 15 \sqrt{5}$

Étape 4.1.2.1.3

Réécrivez $125$ comme $5^{2} \cdot 5$ .

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Étape 4.1.2.1.3.1

Factorisez $25$ à partir de $125$ .

$\sqrt{25 (5)} - 15 \sqrt{5}$

Étape 4.1.2.1.3.2

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$\sqrt{5^{2} \cdot 5} - 15 \sqrt{5}$

Étape 4.1.2.1.4

Extrayez les termes de sous le radical.

$5 \sqrt{5} - 15 \sqrt{5}$

Étape 4.1.2.2

Soustrayez $15 \sqrt{5}$ de $5 \sqrt{5}$ .

$- 10 \sqrt{5}$

Étape 4.2

Évaluez sur $x = - \sqrt{5}$ .

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Étape 4.2.1

Remplacez $x$ par $- \sqrt{5}$ .

${(- \sqrt{5})}^{3} - 15 (- \sqrt{5})$

Étape 4.2.2

Simplifiez

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Étape 4.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \sqrt{5}$ .

${(- 1)}^{3} {\sqrt{5}}^{3} - 15 (- \sqrt{5})$

Étape 4.2.2.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$- {\sqrt{5}}^{3} - 15 (- \sqrt{5})$

Étape 4.2.2.1.3

Réécrivez ${\sqrt{5}}^{3}$ comme $\sqrt{5^{3}}$ .

$- \sqrt{5^{3}} - 15 (- \sqrt{5})$

Étape 4.2.2.1.4

Élevez $5$ à la puissance $3$ .

$- \sqrt{125} - 15 (- \sqrt{5})$

Étape 4.2.2.1.5

Réécrivez $125$ comme $5^{2} \cdot 5$ .

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Étape 4.2.2.1.5.1

Factorisez $25$ à partir de $125$ .

$- \sqrt{25 (5)} - 15 (- \sqrt{5})$

Étape 4.2.2.1.5.2

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$- \sqrt{5^{2} \cdot 5} - 15 (- \sqrt{5})$

Étape 4.2.2.1.6

Extrayez les termes de sous le radical.

$- (5 \sqrt{5}) - 15 (- \sqrt{5})$

Étape 4.2.2.1.7

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$- 5 \sqrt{5} - 15 (- \sqrt{5})$

Étape 4.2.2.1.8

Multipliez $- 1$ par $- 15$ .

$- 5 \sqrt{5} + 15 \sqrt{5}$

Étape 4.2.2.2

Additionnez $- 5 \sqrt{5}$ et $15 \sqrt{5}$ .

$10 \sqrt{5}$

Étape 4.3

Indiquez tous les points.

$(\sqrt{5}, - 10 \sqrt{5}), (- \sqrt{5}, 10 \sqrt{5})$

Étape 5