Calcul infinitésimal Exemples

$y (x) = \frac{6 x}{{(x - 9)}^{2}}$

Étape 1

Déterminez la dérivée.

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Étape 1.1

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{6 x}{{(x - 9)}^{2}}$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x - 9)}^{2}}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x - 9)}^{2}}]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x$ et $g (x) = {(x - 9)}^{2}$ .

$6 \frac{{(x - 9)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x - 9)}^{2}]}{{({(x - 9)}^{2})}^{2}}$

Étape 1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 1.3.1

Multipliez les exposants dans ${({(x - 9)}^{2})}^{2}$ .

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Étape 1.3.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 \frac{{(x - 9)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x - 9)}^{2}]}{{(x - 9)}^{2 \cdot 2}}$

Étape 1.3.1.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$6 \frac{{(x - 9)}^{2} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x - 9)}^{2}]}{{(x - 9)}^{4}}$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$6 \frac{{(x - 9)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(x - 9)}^{2}]}{{(x - 9)}^{4}}$

Étape 1.3.3

Multipliez ${(x - 9)}^{2}$ par $1$ .

$6 \frac{{(x - 9)}^{2} - x \frac{d}{d x} [{(x - 9)}^{2}]}{{(x - 9)}^{4}}$

Étape 1.4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = x - 9$ .

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Étape 1.4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x - 9$ .

$6 \frac{{(x - 9)}^{2} - x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x - 9])}{{(x - 9)}^{4}}$

Étape 1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$6 \frac{{(x - 9)}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} [x - 9])}{{(x - 9)}^{4}}$

Étape 1.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x - 9$ .

$6 \frac{{(x - 9)}^{2} - x (2 (x - 9) \frac{d}{d x} [x - 9])}{{(x - 9)}^{4}}$

Étape 1.5

Simplifiez en factorisant.

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Étape 1.5.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$6 \frac{{(x - 9)}^{2} - 2 x ((x - 9) \frac{d}{d x} [x - 9])}{{(x - 9)}^{4}}$

Étape 1.5.2

Factorisez $x - 9$ à partir de ${(x - 9)}^{2} - 2 x ((x - 9) \frac{d}{d x} [x - 9])$ .

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Étape 1.5.2.1

Factorisez $x - 9$ à partir de ${(x - 9)}^{2}$ .

$6 \frac{(x - 9) (x - 9) - 2 x ((x - 9) \frac{d}{d x} [x - 9])}{{(x - 9)}^{4}}$

Étape 1.5.2.2

Factorisez $x - 9$ à partir de $- 2 x ((x - 9) \frac{d}{d x} [x - 9])$ .

$6 \frac{(x - 9) (x - 9) + (x - 9) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x - 9]))}{{(x - 9)}^{4}}$

Étape 1.5.2.3

Factorisez $x - 9$ à partir de $(x - 9) (x - 9) + (x - 9) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x - 9]))$ .

$6 \frac{(x - 9) (x - 9 - 2 x (\frac{d}{d x} [x - 9]))}{{(x - 9)}^{4}}$

Étape 1.6

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.6.1

Factorisez $x - 9$ à partir de ${(x - 9)}^{4}$ .

$6 \frac{(x - 9) (x - 9 - 2 x (\frac{d}{d x} [x - 9]))}{(x - 9) {(x - 9)}^{3}}$

Étape 1.6.2

Annulez le facteur commun.

$6 \frac{(x - 9) (x - 9 - 2 x (\frac{d}{d x} [x - 9]))}{(x - 9) {(x - 9)}^{3}}$

Étape 1.6.3

Réécrivez l’expression.

$6 \frac{x - 9 - 2 x (\frac{d}{d x} [x - 9])}{{(x - 9)}^{3}}$

Étape 1.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 9$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$6 \frac{x - 9 - 2 x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9])}{{(x - 9)}^{3}}$

Étape 1.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$6 \frac{x - 9 - 2 x (1 + \frac{d}{d x} [- 9])}{{(x - 9)}^{3}}$

Étape 1.9

Comme $- 9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 9$ par rapport à $x$ est $0$ .

$6 \frac{x - 9 - 2 x (1 + 0)}{{(x - 9)}^{3}}$

Étape 1.10

Simplifiez les termes.

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Étape 1.10.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$6 \frac{x - 9 - 2 x \cdot 1}{{(x - 9)}^{3}}$

Étape 1.10.2

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$6 \frac{x - 9 - 2 x}{{(x - 9)}^{3}}$

Étape 1.10.3

Soustrayez $2 x$ de $x$ .

$6 \frac{- x - 9}{{(x - 9)}^{3}}$

Étape 1.10.4

Associez $6$ et $\frac{- x - 9}{{(x - 9)}^{3}}$ .

$\frac{6 (- x - 9)}{{(x - 9)}^{3}}$

Étape 1.11

Simplifiez

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Étape 1.11.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{6 (- x) + 6 \cdot - 9}{{(x - 9)}^{3}}$

Étape 1.11.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.11.2.1

Multipliez $- 1$ par $6$ .

$\frac{- 6 x + 6 \cdot - 9}{{(x - 9)}^{3}}$

Étape 1.11.2.2

Multipliez $6$ par $- 9$ .

$\frac{- 6 x - 54}{{(x - 9)}^{3}}$

Étape 1.11.3

Factorisez $6$ à partir de $- 6 x - 54$ .

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Étape 1.11.3.1

Factorisez $6$ à partir de $- 6 x$ .

$\frac{6 (- x) - 54}{{(x - 9)}^{3}}$

Étape 1.11.3.2

Factorisez $6$ à partir de $- 54$ .

$\frac{6 (- x) + 6 (- 9)}{{(x - 9)}^{3}}$

Étape 1.11.3.3

Factorisez $6$ à partir de $6 (- x) + 6 (- 9)$ .

$\frac{6 (- x - 9)}{{(x - 9)}^{3}}$

Étape 1.11.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$\frac{6 (- (x) - 9)}{{(x - 9)}^{3}}$

Étape 1.11.5

Réécrivez $- 9$ comme $- 1 (9)$ .

$\frac{6 (- (x) - 1 (9))}{{(x - 9)}^{3}}$

Étape 1.11.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x) - 1 (9)$ .

$\frac{6 (- (x + 9))}{{(x - 9)}^{3}}$

Étape 1.11.7

Réécrivez $- (x + 9)$ comme $- 1 (x + 9)$ .

$\frac{6 (- 1 (x + 9))}{{(x - 9)}^{3}}$

Étape 1.11.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{6 (x + 9)}{{(x - 9)}^{3}}$

Étape 2

Définissez la dérivée égale à $0$ puis résolvez l’équation $- \frac{6 (x + 9)}{{(x - 9)}^{3}} = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez le numérateur égal à zéro.

$6 (x + 9) = 0$

Étape 2.2

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 2.2.1

Divisez chaque terme dans $6 (x + 9) = 0$ par $6$ et simplifiez.

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Étape 2.2.1.1

Divisez chaque terme dans $6 (x + 9) = 0$ par $6$ .

$\frac{6 (x + 9)}{6} = \frac{0}{6}$

Étape 2.2.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.1.2.1

Annulez le facteur commun de $6$ .

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Étape 2.2.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{6 (x + 9)}{6} = \frac{0}{6}$

Étape 2.2.1.2.1.2

Divisez $x + 9$ par $1$ .

$x + 9 = \frac{0}{6}$

Étape 2.2.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.2.1.3.1

Divisez $0$ par $6$ .

$x + 9 = 0$

Étape 2.2.2

Soustrayez $9$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 9$

Étape 3

Résolvez la fonction d’origine $f (x) = \frac{6 x}{{(x - 9)}^{2}}$ sur $x = - 9$ .

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Étape 3.1

Remplacez la variable $x$ par $- 9$ dans l’expression.

$f (- 9) = \frac{6 (- 9)}{{((- 9) - 9)}^{2}}$

Étape 3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.2.1

Multipliez $6$ par $- 9$ .

$f (- 9) = \frac{- 54}{{(- 9 - 9)}^{2}}$

Étape 3.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.2.2.1

Soustrayez $9$ de $- 9$ .

$f (- 9) = \frac{- 54}{{(- 18)}^{2}}$

Étape 3.2.2.2

Élevez $- 18$ à la puissance $2$ .

$f (- 9) = \frac{- 54}{324}$

Étape 3.2.3

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 3.2.3.1

Annulez le facteur commun à $- 54$ et $324$ .

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Étape 3.2.3.1.1

Factorisez $54$ à partir de $- 54$ .

$f (- 9) = \frac{54 (- 1)}{324}$

Étape 3.2.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.2.3.1.2.1

Factorisez $54$ à partir de $324$ .

$f (- 9) = \frac{54 \cdot - 1}{54 \cdot 6}$

Étape 3.2.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (- 9) = \frac{54 \cdot - 1}{54 \cdot 6}$

Étape 3.2.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (- 9) = \frac{- 1}{6}$

Étape 3.2.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (- 9) = - \frac{1}{6}$

Étape 3.2.4

La réponse finale est $- \frac{1}{6}$ .

$- \frac{1}{6}$

Étape 4

La droite tangente horizontale sur la fonction $f (x) = \frac{6 x}{{(x - 9)}^{2}}$ est $y = - \frac{1}{6}$ .

$y = - \frac{1}{6}$

Étape 5