Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{2} (x^{2} - 4)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = x^{2} - 4$ .

$f' (x) = x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 4) + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Étape 1.1.2

Différenciez.

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Étape 1.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f' (x) = x^{2} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4)) + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = x^{2} (2 x + \frac{d}{d x} (- 4)) + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Étape 1.1.2.3

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = x^{2} (2 x + 0) + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Étape 1.1.2.4

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$f' (x) = x^{2} (2 x) + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Étape 1.1.3

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.1.3.1

Déplacez $x$ .

$f' (x) = x \cdot x^{2} \cdot 2 + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Étape 1.1.3.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 1.1.3.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f' (x) = x \cdot x^{2} \cdot 2 + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Étape 1.1.3.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f' (x) = x^{1 + 2} \cdot 2 + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Étape 1.1.3.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$f' (x) = x^{3} \cdot 2 + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Étape 1.1.4

Déplacez $2$ à gauche de $x^{3}$ .

$f' (x) = 2 \cdot x^{3} + (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Étape 1.1.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = 2 x^{3} + (x^{2} - 4) (2 x)$

Étape 1.1.6

Déplacez $2$ à gauche de $x^{2} - 4$ .

$f' (x) = 2 x^{3} + 2 \cdot ((x^{2} - 4) x)$

Étape 1.1.7

Simplifiez

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Étape 1.1.7.1

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = 2 x^{3} + (2 x^{2} + 2 \cdot - 4) x$

Étape 1.1.7.2

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = 2 x^{3} + 2 x^{2} x + 2 \cdot (- 4 x)$

Étape 1.1.7.3

Associez des termes.

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Étape 1.1.7.3.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f' (x) = 2 x^{3} + 2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot (- 4 x)$

Étape 1.1.7.3.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f' (x) = 2 x^{3} + 2 x^{1 + 2} + 2 \cdot (- 4 x)$

Étape 1.1.7.3.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$f' (x) = 2 x^{3} + 2 x^{3} + 2 \cdot (- 4 x)$

Étape 1.1.7.3.4

Multipliez $2$ par $- 4$ .

$f' (x) = 2 x^{3} + 2 x^{3} - 8 x$

Étape 1.1.7.3.5

Additionnez $2 x^{3}$ et $2 x^{3}$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 8 x$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $4 x^{3} - 8 x$ .

$4 x^{3} - 8 x$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $4 x^{3} - 8 x = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$4 x^{3} - 8 x = 0$

Étape 2.2

Factorisez $4 x$ à partir de $4 x^{3} - 8 x$ .

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Étape 2.2.1

Factorisez $4 x$ à partir de $4 x^{3}$ .

$4 x (x^{2}) - 8 x = 0$

Étape 2.2.2

Factorisez $4 x$ à partir de $- 8 x$ .

$4 x (x^{2}) + 4 x (- 2) = 0$

Étape 2.2.3

Factorisez $4 x$ à partir de $4 x (x^{2}) + 4 x (- 2)$ .

$4 x (x^{2} - 2) = 0$

Étape 2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$x^{2} - 2 = 0$

Étape 2.4

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 2.5

Définissez $x^{2} - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.5.1

Définissez $x^{2} - 2$ égal à $0$ .

$x^{2} - 2 = 0$

Étape 2.5.2

Résolvez $x^{2} - 2 = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.5.2.1

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{2} = 2$

Étape 2.5.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{2}$

Étape 2.5.2.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 2.5.2.3.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \sqrt{2}$

Étape 2.5.2.3.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \sqrt{2}$

Étape 2.5.2.3.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Étape 2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $4 x (x^{2} - 2) = 0$ vraie.

$x = 0, \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 4

Évaluez $x^{2} (x^{2} - 4)$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 4.1

Évaluez sur $x = 0$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $0$ .

${(0)}^{2} ({(0)}^{2} - 4)$

Étape 4.1.2

Simplifiez

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Étape 4.1.2.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0 ({(0)}^{2} - 4)$

Étape 4.1.2.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0 (0 - 4)$

Étape 4.1.2.3

Soustrayez $4$ de $0$ .

$0 \cdot - 4$

Étape 4.1.2.4

Multipliez $0$ par $- 4$ .

$0$

Étape 4.2

Évaluez sur $x = \sqrt{2}$ .

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Étape 4.2.1

Remplacez $x$ par $\sqrt{2}$ .

${(\sqrt{2})}^{2} ({(\sqrt{2})}^{2} - 4)$

Étape 4.2.2

Simplifiez

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Étape 4.2.2.1

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 4.2.2.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

${(2^{\frac{1}{2}})}^{2} ({(\sqrt{2})}^{2} - 4)$

Étape 4.2.2.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2^{\frac{1}{2} \cdot 2} ({(\sqrt{2})}^{2} - 4)$

Étape 4.2.2.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$2^{\frac{2}{2}} ({(\sqrt{2})}^{2} - 4)$

Étape 4.2.2.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.2.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$2^{\frac{2}{2}} ({(\sqrt{2})}^{2} - 4)$

Étape 4.2.2.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$2^{1} ({(\sqrt{2})}^{2} - 4)$

Étape 4.2.2.1.5

Évaluez l’exposant.

$2 ({(\sqrt{2})}^{2} - 4)$

Étape 4.2.2.2

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 4.2.2.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$2 ({(2^{\frac{1}{2}})}^{2} - 4)$

Étape 4.2.2.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 (2^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 4)$

Étape 4.2.2.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$2 (2^{\frac{2}{2}} - 4)$

Étape 4.2.2.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.2.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$2 (2^{\frac{2}{2}} - 4)$

Étape 4.2.2.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$2 (2^{1} - 4)$

Étape 4.2.2.2.5

Évaluez l’exposant.

$2 (2 - 4)$

Étape 4.2.2.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.2.2.3.1

Soustrayez $4$ de $2$ .

$2 \cdot - 2$

Étape 4.2.2.3.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$- 4$

Étape 4.3

Évaluez sur $x = - \sqrt{2}$ .

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Étape 4.3.1

Remplacez $x$ par $- \sqrt{2}$ .

${(- \sqrt{2})}^{2} ({(- \sqrt{2})}^{2} - 4)$

Étape 4.3.2

Simplifiez

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Étape 4.3.2.1

Simplifiez en annulant l’exposant avec un radical.

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Étape 4.3.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \sqrt{2}$ .

${(- 1)}^{2} {\sqrt{2}}^{2} ({(- \sqrt{2})}^{2} - 4)$

Étape 4.3.2.1.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.3.2.1.2.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$1 {\sqrt{2}}^{2} ({(- \sqrt{2})}^{2} - 4)$

Étape 4.3.2.1.2.2

Multipliez ${\sqrt{2}}^{2}$ par $1$ .

${\sqrt{2}}^{2} ({(- \sqrt{2})}^{2} - 4)$

Étape 4.3.2.1.3

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 4.3.2.1.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

${(2^{\frac{1}{2}})}^{2} ({(- \sqrt{2})}^{2} - 4)$

Étape 4.3.2.1.3.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2^{\frac{1}{2} \cdot 2} ({(- \sqrt{2})}^{2} - 4)$

Étape 4.3.2.1.3.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$2^{\frac{2}{2}} ({(- \sqrt{2})}^{2} - 4)$

Étape 4.3.2.1.3.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.3.2.1.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$2^{\frac{2}{2}} ({(- \sqrt{2})}^{2} - 4)$

Étape 4.3.2.1.3.4.2

Réécrivez l’expression.

$2^{1} ({(- \sqrt{2})}^{2} - 4)$

Étape 4.3.2.1.3.5

Évaluez l’exposant.

$2 ({(- \sqrt{2})}^{2} - 4)$

Étape 4.3.2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.2.2.1

Appliquez la règle de produit à $- \sqrt{2}$ .

$2 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{2}}^{2} - 4)$

Étape 4.3.2.2.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$2 (1 {\sqrt{2}}^{2} - 4)$

Étape 4.3.2.2.3

Multipliez ${\sqrt{2}}^{2}$ par $1$ .

$2 ({\sqrt{2}}^{2} - 4)$

Étape 4.3.2.2.4

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 4.3.2.2.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$2 ({(2^{\frac{1}{2}})}^{2} - 4)$

Étape 4.3.2.2.4.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 (2^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 4)$

Étape 4.3.2.2.4.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$2 (2^{\frac{2}{2}} - 4)$

Étape 4.3.2.2.4.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.3.2.2.4.4.1

Annulez le facteur commun.

$2 (2^{\frac{2}{2}} - 4)$

Étape 4.3.2.2.4.4.2

Réécrivez l’expression.

$2 (2^{1} - 4)$

Étape 4.3.2.2.4.5

Évaluez l’exposant.

$2 (2 - 4)$

Étape 4.3.2.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.3.2.3.1

Soustrayez $4$ de $2$ .

$2 \cdot - 2$

Étape 4.3.2.3.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$- 4$

Étape 4.4

Indiquez tous les points.

$(0, 0), (\sqrt{2}, - 4), (- \sqrt{2}, - 4)$

Étape 5