Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{\frac{3}{5}} (4 - x)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{\frac{3}{5}}$ et $g (x) = 4 - x$ .

$f' (x) = x^{\frac{3}{5}} \frac{d}{d x} (4 - x) + (4 - x) \frac{d}{d x} (x^{\frac{3}{5}})$

Étape 1.1.2

Différenciez.

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Étape 1.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 - x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$f' (x) = x^{\frac{3}{5}} (\frac{d}{d x} (4) + \frac{d}{d x} (- x)) + (4 - x) \frac{d}{d x} (x^{\frac{3}{5}})$

Étape 1.1.2.2

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = x^{\frac{3}{5}} (0 + \frac{d}{d x} (- x)) + (4 - x) \frac{d}{d x} (x^{\frac{3}{5}})$

Étape 1.1.2.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$f' (x) = x^{\frac{3}{5}} \frac{d}{d x} (- x) + (4 - x) \frac{d}{d x} (x^{\frac{3}{5}})$

Étape 1.1.2.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = x^{\frac{3}{5}} (- \frac{d}{d x} x) + (4 - x) \frac{d}{d x} (x^{\frac{3}{5}})$

Étape 1.1.2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = x^{\frac{3}{5}} (- 1 \cdot 1) + (4 - x) \frac{d}{d x} (x^{\frac{3}{5}})$

Étape 1.1.2.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.2.6.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f' (x) = x^{\frac{3}{5}} \cdot - 1 + (4 - x) \frac{d}{d x} (x^{\frac{3}{5}})$

Étape 1.1.2.6.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $x^{\frac{3}{5}}$ .

$f' (x) = - 1 \cdot x^{\frac{3}{5}} + (4 - x) \frac{d}{d x} (x^{\frac{3}{5}})$

Étape 1.1.2.6.3

Réécrivez $- 1 x^{\frac{3}{5}}$ comme $- x^{\frac{3}{5}}$ .

$f' (x) = - x^{\frac{3}{5}} + (4 - x) \frac{d}{d x} (x^{\frac{3}{5}})$

Étape 1.1.2.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{3}{5}$ .

$f' (x) = - x^{\frac{3}{5}} + (4 - x) (\frac{3}{5} x^{\frac{3}{5} - 1})$

Étape 1.1.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$f' (x) = - x^{\frac{3}{5}} + (4 - x) (\frac{3}{5} x^{\frac{3}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}})$

Étape 1.1.4

Associez $- 1$ et $\frac{5}{5}$ .

$f' (x) = - x^{\frac{3}{5}} + (4 - x) (\frac{3}{5} x^{\frac{3}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}})$

Étape 1.1.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (x) = - x^{\frac{3}{5}} + (4 - x) (\frac{3}{5} x^{\frac{3 - 1 \cdot 5}{5}})$

Étape 1.1.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.6.1

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$f' (x) = - x^{\frac{3}{5}} + (4 - x) (\frac{3}{5} x^{\frac{3 - 5}{5}})$

Étape 1.1.6.2

Soustrayez $5$ de $3$ .

$f' (x) = - x^{\frac{3}{5}} + (4 - x) (\frac{3}{5} x^{\frac{- 2}{5}})$

Étape 1.1.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (x) = - x^{\frac{3}{5}} + (4 - x) (\frac{3}{5} x^{- \frac{2}{5}})$

Étape 1.1.8

Associez $\frac{3}{5}$ et $x^{- \frac{2}{5}}$ .

$f' (x) = - x^{\frac{3}{5}} + (4 - x) (\frac{3 x^{- \frac{2}{5}}}{5})$

Étape 1.1.9

Placez $x^{- \frac{2}{5}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = - x^{\frac{3}{5}} + (4 - x) (\frac{3}{5 x^{\frac{2}{5}}})$

Étape 1.1.10

Simplifiez

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Étape 1.1.10.1

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = - x^{\frac{3}{5}} + 4 (\frac{3}{5 x^{\frac{2}{5}}}) - x \frac{3}{5 x^{\frac{2}{5}}}$

Étape 1.1.10.2

Associez des termes.

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Étape 1.1.10.2.1

Associez $4$ et $\frac{3}{5 x^{\frac{2}{5}}}$ .

$f' (x) = - x^{\frac{3}{5}} + \frac{4 \cdot 3}{5 x^{\frac{2}{5}}} - x \frac{3}{5 x^{\frac{2}{5}}}$

Étape 1.1.10.2.2

Multipliez $4$ par $3$ .

$f' (x) = - x^{\frac{3}{5}} + \frac{12}{5 x^{\frac{2}{5}}} - x \frac{3}{5 x^{\frac{2}{5}}}$

Étape 1.1.10.2.3

Associez $\frac{3}{5 x^{\frac{2}{5}}}$ et $x$ .

$f' (x) = - x^{\frac{3}{5}} + \frac{12}{5 x^{\frac{2}{5}}} - \frac{3 x}{5 x^{\frac{2}{5}}}$

Étape 1.1.10.2.4

Placez $x^{\frac{2}{5}}$ sur le numérateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$f' (x) = - x^{\frac{3}{5}} + \frac{12}{5 x^{\frac{2}{5}}} - \frac{3 x \cdot x^{- \frac{2}{5}}}{5}$

Étape 1.1.10.2.5

Multipliez $x$ par $x^{- \frac{2}{5}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.1.10.2.5.1

Déplacez $x^{- \frac{2}{5}}$ .

$f' (x) = - x^{\frac{3}{5}} + \frac{12}{5 x^{\frac{2}{5}}} - \frac{3 (x^{- \frac{2}{5}} x)}{5}$

Étape 1.1.10.2.5.2

Multipliez $x^{- \frac{2}{5}}$ par $x$ .

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Étape 1.1.10.2.5.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f' (x) = - x^{\frac{3}{5}} + \frac{12}{5 x^{\frac{2}{5}}} - \frac{3 (x^{- \frac{2}{5}} x)}{5}$

Étape 1.1.10.2.5.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f' (x) = - x^{\frac{3}{5}} + \frac{12}{5 x^{\frac{2}{5}}} - \frac{3 x^{- \frac{2}{5} + 1}}{5}$

Étape 1.1.10.2.5.3

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$f' (x) = - x^{\frac{3}{5}} + \frac{12}{5 x^{\frac{2}{5}}} - \frac{3 x^{- \frac{2}{5} + \frac{5}{5}}}{5}$

Étape 1.1.10.2.5.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (x) = - x^{\frac{3}{5}} + \frac{12}{5 x^{\frac{2}{5}}} - \frac{3 x^{\frac{- 2 + 5}{5}}}{5}$

Étape 1.1.10.2.5.5

Additionnez $- 2$ et $5$ .

$f' (x) = - x^{\frac{3}{5}} + \frac{12}{5 x^{\frac{2}{5}}} - \frac{3 x^{\frac{3}{5}}}{5}$

Étape 1.1.10.2.6

Pour écrire $- x^{\frac{3}{5}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$f' (x) = - x^{\frac{3}{5}} \cdot \frac{5}{5} - \frac{3 x^{\frac{3}{5}}}{5} + \frac{12}{5 x^{\frac{2}{5}}}$

Étape 1.1.10.2.7

Associez $- x^{\frac{3}{5}}$ et $\frac{5}{5}$ .

$f' (x) = \frac{- x^{\frac{3}{5}} \cdot 5}{5} - \frac{3 x^{\frac{3}{5}}}{5} + \frac{12}{5 x^{\frac{2}{5}}}$

Étape 1.1.10.2.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (x) = \frac{- x^{\frac{3}{5}} \cdot 5 - 3 x^{\frac{3}{5}}}{5} + \frac{12}{5 x^{\frac{2}{5}}}$

Étape 1.1.10.2.9

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$f' (x) = \frac{- 5 x^{\frac{3}{5}} - 3 x^{\frac{3}{5}}}{5} + \frac{12}{5 x^{\frac{2}{5}}}$

Étape 1.1.10.2.10

Soustrayez $3 x^{\frac{3}{5}}$ de $- 5 x^{\frac{3}{5}}$ .

$f' (x) = \frac{- 8 x^{\frac{3}{5}}}{5} + \frac{12}{5 x^{\frac{2}{5}}}$

Étape 1.1.10.2.11

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (x) = - \frac{8 x^{\frac{3}{5}}}{5} + \frac{12}{5 x^{\frac{2}{5}}}$

Étape 1.1.10.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = \frac{12}{5 x^{\frac{2}{5}}} - \frac{8 x^{\frac{3}{5}}}{5}$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{12}{5 x^{\frac{2}{5}}} - \frac{8 x^{\frac{3}{5}}}{5}$ .

$\frac{12}{5 x^{\frac{2}{5}}} - \frac{8 x^{\frac{3}{5}}}{5}$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{12}{5 x^{\frac{2}{5}}} - \frac{8 x^{\frac{3}{5}}}{5} = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$\frac{12}{5 x^{\frac{2}{5}}} - \frac{8 x^{\frac{3}{5}}}{5} = 0$

Étape 2.2

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 2.2.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$5 x^{\frac{2}{5}}, 5, 1$

Étape 2.2.2

Since $5 x^{\frac{2}{5}}, 5, 1$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $5, 5, 1$ then find LCM for the variable part $x^{\frac{2}{5}}$ .

Étape 2.2.3

Le plus petit multiple commun est le plus petit nombre positif dans lequel tous les nombres peuvent être divisés parfaitement.

1. Indiquez les facteurs premiers de chaque nombre.

2. Multipliez chaque facteur le plus grand nombre de fois qu’il apparaît dans un nombre.

Étape 2.2.4

$5$ n’a pas de facteur hormis $1$ et $5$ .

$5$ est un nombre premier

Étape 2.2.5

Le nombre $1$ n’est pas un nombre premier car il ne comporte qu’un facteur positif, qui est lui-même.

Pas premier

Étape 2.2.6

Le plus petit multiple commun de $5, 5, 1$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs premiers le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un nombre ou l’autre.

$5$

Étape 2.2.7

Le plus petit multiple commun de $x^{\frac{2}{5}}$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs premiers le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un terme ou l’autre.

$x^{\frac{2}{5}}$

Étape 2.2.8

Le plus petit multiple commun pour $5 x^{\frac{2}{5}}, 5, 1$ est la partie numérique $5$ multipliée par la partie variable.

$5 x^{\frac{2}{5}}$

Étape 2.3

Multiplier chaque terme dans $\frac{12}{5 x^{\frac{2}{5}}} - \frac{8 x^{\frac{3}{5}}}{5} = 0$ par $5 x^{\frac{2}{5}}$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 2.3.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{12}{5 x^{\frac{2}{5}}} - \frac{8 x^{\frac{3}{5}}}{5} = 0$ par $5 x^{\frac{2}{5}}$ .

$\frac{12}{5 x^{\frac{2}{5}}} (5 x^{\frac{2}{5}}) - \frac{8 x^{\frac{3}{5}}}{5} (5 x^{\frac{2}{5}}) = 0 (5 x^{\frac{2}{5}})$

Étape 2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.2.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$5 \frac{12}{5 x^{\frac{2}{5}}} x^{\frac{2}{5}} - \frac{8 x^{\frac{3}{5}}}{5} (5 x^{\frac{2}{5}}) = 0 (5 x^{\frac{2}{5}})$

Étape 2.3.2.1.2

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 2.3.2.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$5 \frac{12}{5 x^{\frac{2}{5}}} x^{\frac{2}{5}} - \frac{8 x^{\frac{3}{5}}}{5} (5 x^{\frac{2}{5}}) = 0 (5 x^{\frac{2}{5}})$

Étape 2.3.2.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{12}{x^{\frac{2}{5}}} x^{\frac{2}{5}} - \frac{8 x^{\frac{3}{5}}}{5} (5 x^{\frac{2}{5}}) = 0 (5 x^{\frac{2}{5}})$

Étape 2.3.2.1.3

Annulez le facteur commun de $x^{\frac{2}{5}}$ .

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Étape 2.3.2.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{12}{x^{\frac{2}{5}}} x^{\frac{2}{5}} - \frac{8 x^{\frac{3}{5}}}{5} (5 x^{\frac{2}{5}}) = 0 (5 x^{\frac{2}{5}})$

Étape 2.3.2.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$12 - \frac{8 x^{\frac{3}{5}}}{5} (5 x^{\frac{2}{5}}) = 0 (5 x^{\frac{2}{5}})$

Étape 2.3.2.1.4

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 2.3.2.1.4.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{8 x^{\frac{3}{5}}}{5}$ dans le numérateur.

$12 + \frac{- 8 x^{\frac{3}{5}}}{5} (5 x^{\frac{2}{5}}) = 0 (5 x^{\frac{2}{5}})$

Étape 2.3.2.1.4.2

Factorisez $5$ à partir de $5 x^{\frac{2}{5}}$ .

$12 + \frac{- 8 x^{\frac{3}{5}}}{5} (5 (x^{\frac{2}{5}})) = 0 (5 x^{\frac{2}{5}})$

Étape 2.3.2.1.4.3

Annulez le facteur commun.

$12 + \frac{- 8 x^{\frac{3}{5}}}{5} (5 x^{\frac{2}{5}}) = 0 (5 x^{\frac{2}{5}})$

Étape 2.3.2.1.4.4

Réécrivez l’expression.

$12 - 8 x^{\frac{3}{5}} x^{\frac{2}{5}} = 0 (5 x^{\frac{2}{5}})$

Étape 2.3.2.1.5

Multipliez $x^{\frac{3}{5}}$ par $x^{\frac{2}{5}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.3.2.1.5.1

Déplacez $x^{\frac{2}{5}}$ .

$12 - 8 (x^{\frac{2}{5}} x^{\frac{3}{5}}) = 0 (5 x^{\frac{2}{5}})$

Étape 2.3.2.1.5.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$12 - 8 x^{\frac{2}{5} + \frac{3}{5}} = 0 (5 x^{\frac{2}{5}})$

Étape 2.3.2.1.5.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$12 - 8 x^{\frac{2 + 3}{5}} = 0 (5 x^{\frac{2}{5}})$

Étape 2.3.2.1.5.4

Additionnez $2$ et $3$ .

$12 - 8 x^{\frac{5}{5}} = 0 (5 x^{\frac{2}{5}})$

Étape 2.3.2.1.5.5

Divisez $5$ par $5$ .

$12 - 8 x^{1} = 0 (5 x^{\frac{2}{5}})$

Étape 2.3.2.1.6

Simplifiez $- 8 x^{1}$ .

$12 - 8 x = 0 (5 x^{\frac{2}{5}})$

Étape 2.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.3.1

Multipliez $0 (5 x^{\frac{2}{5}})$ .

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Étape 2.3.3.1.1

Multipliez $5$ par $0$ .

$12 - 8 x = 0 x^{\frac{2}{5}}$

Étape 2.3.3.1.2

Multipliez $0$ par $x^{\frac{2}{5}}$ .

$12 - 8 x = 0$

Étape 2.4

Résolvez l’équation.

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Étape 2.4.1

Soustrayez $12$ des deux côtés de l’équation.

$- 8 x = - 12$

Étape 2.4.2

Divisez chaque terme dans $- 8 x = - 12$ par $- 8$ et simplifiez.

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Étape 2.4.2.1

Divisez chaque terme dans $- 8 x = - 12$ par $- 8$ .

$\frac{- 8 x}{- 8} = \frac{- 12}{- 8}$

Étape 2.4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.4.2.2.1

Annulez le facteur commun de $- 8$ .

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Étape 2.4.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 8 x}{- 8} = \frac{- 12}{- 8}$

Étape 2.4.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 12}{- 8}$

Étape 2.4.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.4.2.3.1

Annulez le facteur commun à $- 12$ et $- 8$ .

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Étape 2.4.2.3.1.1

Factorisez $- 4$ à partir de $- 12$ .

$x = \frac{- 4 (3)}{- 8}$

Étape 2.4.2.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.4.2.3.1.2.1

Factorisez $- 4$ à partir de $- 8$ .

$x = \frac{- 4 \cdot 3}{- 4 \cdot 2}$

Étape 2.4.2.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{- 4 \cdot 3}{- 4 \cdot 2}$

Étape 2.4.2.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{3}{2}$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 3.1

Convertissez des expressions avec exposants fractionnaires en radicaux.

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Étape 3.1.1

Appliquez la règle $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ pour réécrire l’élévation à la puissance comme un radical.

$\frac{12}{5 \sqrt[5]{x^{2}}} - \frac{8 x^{\frac{3}{5}}}{5}$

Étape 3.1.2

Appliquez la règle $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ pour réécrire l’élévation à la puissance comme un radical.

$\frac{12}{5 \sqrt[5]{x^{2}}} - \frac{8 \sqrt[5]{x^{3}}}{5}$

Étape 3.2

Définissez le dénominateur dans $\frac{12}{5 \sqrt[5]{x^{2}}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$5 \sqrt[5]{x^{2}} = 0$

Étape 3.3

Résolvez $x$ .

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Étape 3.3.1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez les deux côtés de l’équation à la puissance $5$ .

${(5 \sqrt[5]{x^{2}})}^{5} = 0^{5}$

Étape 3.3.2

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 3.3.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[5]{x^{2}}$ comme $x^{\frac{2}{5}}$ .

${(5 x^{\frac{2}{5}})}^{5} = 0^{5}$

Étape 3.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.2.2.1

Simplifiez ${(5 x^{\frac{2}{5}})}^{5}$ .

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Étape 3.3.2.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $5 x^{\frac{2}{5}}$ .

$5^{5} {(x^{\frac{2}{5}})}^{5} = 0^{5}$

Étape 3.3.2.2.1.2

Élevez $5$ à la puissance $5$ .

$3125 {(x^{\frac{2}{5}})}^{5} = 0^{5}$

Étape 3.3.2.2.1.3

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{2}{5}})}^{5}$ .

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Étape 3.3.2.2.1.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3125 x^{\frac{2}{5} \cdot 5} = 0^{5}$

Étape 3.3.2.2.1.3.2

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 3.3.2.2.1.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$3125 x^{\frac{2}{5} \cdot 5} = 0^{5}$

Étape 3.3.2.2.1.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$3125 x^{2} = 0^{5}$

Étape 3.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.2.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$3125 x^{2} = 0$

Étape 3.3.3

Résolvez $x$ .

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Étape 3.3.3.1

Divisez chaque terme dans $3125 x^{2} = 0$ par $3125$ et simplifiez.

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Étape 3.3.3.1.1

Divisez chaque terme dans $3125 x^{2} = 0$ par $3125$ .

$\frac{3125 x^{2}}{3125} = \frac{0}{3125}$

Étape 3.3.3.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.3.1.2.1

Annulez le facteur commun de $3125$ .

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Étape 3.3.3.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3125 x^{2}}{3125} = \frac{0}{3125}$

Étape 3.3.3.1.2.1.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{0}{3125}$

Étape 3.3.3.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.3.1.3.1

Divisez $0$ par $3125$ .

$x^{2} = 0$

Étape 3.3.3.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Étape 3.3.3.3

Simplifiez $\pm \sqrt{0}$ .

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Étape 3.3.3.3.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Étape 3.3.3.3.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 0$

Étape 3.3.3.3.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 4

Évaluez $x^{\frac{3}{5}} (4 - x)$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 4.1

Évaluez sur $x = \frac{3}{2}$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $\frac{3}{2}$ .

${(\frac{3}{2})}^{\frac{3}{5}} (4 - (\frac{3}{2}))$

Étape 4.1.2

Simplifiez

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Étape 4.1.2.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{3}{2}$ .

$\frac{3^{\frac{3}{5}}}{2^{\frac{3}{5}}} (4 - (\frac{3}{2}))$

Étape 4.1.2.2

Pour écrire $4$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3^{\frac{3}{5}}}{2^{\frac{3}{5}}} (4 \cdot \frac{2}{2} - \frac{3}{2})$

Étape 4.1.2.3

Associez $4$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3^{\frac{3}{5}}}{2^{\frac{3}{5}}} (\frac{4 \cdot 2}{2} - \frac{3}{2})$

Étape 4.1.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{3^{\frac{3}{5}}}{2^{\frac{3}{5}}} \cdot \frac{4 \cdot 2 - 3}{2}$

Étape 4.1.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.2.5.1

Multipliez $4$ par $2$ .

$\frac{3^{\frac{3}{5}}}{2^{\frac{3}{5}}} \cdot \frac{8 - 3}{2}$

Étape 4.1.2.5.2

Soustrayez $3$ de $8$ .

$\frac{3^{\frac{3}{5}}}{2^{\frac{3}{5}}} \cdot \frac{5}{2}$

Étape 4.1.2.6

Associez.

$\frac{3^{\frac{3}{5}} \cdot 5}{2^{\frac{3}{5}} \cdot 2}$

Étape 4.1.2.7

Multipliez $2^{\frac{3}{5}}$ par $2$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.1.2.7.1

Multipliez $2^{\frac{3}{5}}$ par $2$ .

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Étape 4.1.2.7.1.1

Élevez $2$ à la puissance $1$ .

$\frac{3^{\frac{3}{5}} \cdot 5}{2^{\frac{3}{5}} \cdot 2^{1}}$

Étape 4.1.2.7.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{3^{\frac{3}{5}} \cdot 5}{2^{\frac{3}{5} + 1}}$

Étape 4.1.2.7.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{3^{\frac{3}{5}} \cdot 5}{2^{\frac{3}{5} + \frac{5}{5}}}$

Étape 4.1.2.7.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{3^{\frac{3}{5}} \cdot 5}{2^{\frac{3 + 5}{5}}}$

Étape 4.1.2.7.4

Additionnez $3$ et $5$ .

$\frac{3^{\frac{3}{5}} \cdot 5}{2^{\frac{8}{5}}}$

Étape 4.1.2.8

Déplacez $5$ à gauche de $3^{\frac{3}{5}}$ .

$\frac{5 \cdot 3^{\frac{3}{5}}}{2^{\frac{8}{5}}}$

Étape 4.2

Évaluez sur $x = 0$ .

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Étape 4.2.1

Remplacez $x$ par $0$ .

${(0)}^{\frac{3}{5}} (4 - (0))$

Étape 4.2.2

Simplifiez

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Étape 4.2.2.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.2.2.1.1

Réécrivez $0$ comme $0^{5}$ .

${(0^{5})}^{\frac{3}{5}} (4 - (0))$

Étape 4.2.2.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0^{5 (\frac{3}{5})} (4 - (0))$

Étape 4.2.2.2

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 4.2.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$0^{5 (\frac{3}{5})} (4 - (0))$

Étape 4.2.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$0^{3} (4 - (0))$

Étape 4.2.2.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.2.2.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0 (4 - (0))$

Étape 4.2.2.3.2

Soustrayez $0$ de $4$ .

$0 \cdot 4$

Étape 4.2.2.3.3

Multipliez $0$ par $4$ .

$0$

Étape 4.3

Indiquez tous les points.

$(\frac{3}{2}, \frac{5 \cdot 3^{\frac{3}{5}}}{2^{\frac{8}{5}}}), (0, 0)$

Étape 5