Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{5}{3 x - 2}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 1.1.1.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{5}{3 x - 2}$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x - 2}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x - 2}]$

Étape 1.1.1.2

Réécrivez $\frac{1}{3 x - 2}$ comme ${(3 x - 2)}^{- 1}$ .

$5 \frac{d}{d x} [{(3 x - 2)}^{- 1}]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = 3 x - 2$ .

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Étape 1.1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $3 x - 2$ .

$5 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [3 x - 2])$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$5 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [3 x - 2])$

Étape 1.1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3 x - 2$ .

$5 (- {(3 x - 2)}^{- 2} \frac{d}{d x} [3 x - 2])$

Étape 1.1.3

Différenciez.

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Étape 1.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$- 5 ({(3 x - 2)}^{- 2} \frac{d}{d x} [3 x - 2])$

Étape 1.1.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x - 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$- 5 {(3 x - 2)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 2])$

Étape 1.1.3.3

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 5 {(3 x - 2)}^{- 2} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])$

Étape 1.1.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 5 {(3 x - 2)}^{- 2} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2])$

Étape 1.1.3.5

Multipliez $3$ par $1$ .

$- 5 {(3 x - 2)}^{- 2} (3 + \frac{d}{d x} [- 2])$

Étape 1.1.3.6

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- 5 {(3 x - 2)}^{- 2} (3 + 0)$

Étape 1.1.3.7

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.3.7.1

Additionnez $3$ et $0$ .

$- 5 {(3 x - 2)}^{- 2} \cdot 3$

Étape 1.1.3.7.2

Multipliez $3$ par $- 5$ .

$- 15 {(3 x - 2)}^{- 2}$

Étape 1.1.4

Simplifiez

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Étape 1.1.4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 15 \frac{1}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Étape 1.1.4.2

Associez des termes.

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Étape 1.1.4.2.1

Associez $- 15$ et $\frac{1}{{(3 x - 2)}^{2}}$ .

$\frac{- 15}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Étape 1.1.4.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (x) = - \frac{15}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{15}{{(3 x - 2)}^{2}}$ .

$- \frac{15}{{(3 x - 2)}^{2}}$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- \frac{15}{{(3 x - 2)}^{2}} = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- \frac{15}{{(3 x - 2)}^{2}} = 0$

Étape 2.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$15 = 0$

Étape 2.3

Comme $15 \neq 0$ , il n’y a aucune solution.

Aucune solution

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 3.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{15}{{(3 x - 2)}^{2}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

${(3 x - 2)}^{2} = 0$

Étape 3.2

Résolvez $x$ .

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Étape 3.2.1

Définissez le $3 x - 2$ égal à $0$ .

$3 x - 2 = 0$

Étape 3.2.2

Résolvez $x$ .

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Étape 3.2.2.1

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$3 x = 2$

Étape 3.2.2.2

Divisez chaque terme dans $3 x = 2$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 3.2.2.2.1

Divisez chaque terme dans $3 x = 2$ par $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3}$

Étape 3.2.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.2.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3}$

Étape 3.2.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{2}{3}$

Étape 4

Évaluez $\frac{5}{3 x - 2}$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 4.1

Évaluez sur $x = \frac{2}{3}$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $\frac{2}{3}$ .

$\frac{5}{3 (\frac{2}{3}) - 2}$

Étape 4.1.2

Simplifiez

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Étape 4.1.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 4.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{5}{3 (\frac{2}{3}) - 2}$

Étape 4.1.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{5}{2 - 2}$

Étape 4.1.2.2

Soustrayez $2$ de $2$ .

$\frac{5}{0}$

Étape 4.1.2.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

Étape 5

Le domaine du problème d’origine ne comprend aucune valeur de $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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