Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \sqrt{25 - x^{2}}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{25 - x^{2}}$ comme ${(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} ({(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = 25 - x^{2}$ .

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Étape 1.1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $25 - x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (25 - x^{2})$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (25 - x^{2})$

Étape 1.1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $25 - x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (25 - x^{2})$

Étape 1.1.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (25 - x^{2})$

Étape 1.1.4

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (25 - x^{2})$

Étape 1.1.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(25 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (25 - x^{2})$

Étape 1.1.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.6.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(25 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (25 - x^{2})$

Étape 1.1.6.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(25 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (25 - x^{2})$

Étape 1.1.7

Associez les fractions.

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Étape 1.1.7.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(25 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (25 - x^{2})$

Étape 1.1.7.2

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(25 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{{(25 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (25 - x^{2})$

Étape 1.1.7.3

Placez ${(25 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (25 - x^{2})$

Étape 1.1.8

Selon la règle de la somme, la dérivée de $25 - x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [25] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (25) + \frac{d}{d x} (- x^{2}))$

Étape 1.1.9

Comme $25$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $25$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (0 + \frac{d}{d x} (- x^{2}))$

Étape 1.1.10

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- x^{2})$

Étape 1.1.11

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- \frac{d}{d x} x^{2})$

Étape 1.1.12

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- (2 x))$

Étape 1.1.13

Simplifiez les termes.

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Étape 1.1.13.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2 x)$

Étape 1.1.13.2

Associez $- 2$ et $\frac{1}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = \frac{- 2}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot x$

Étape 1.1.13.3

Associez $\frac{- 2}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ et $x$ .

$f' (x) = \frac{- 2 x}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.1.13.4

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x$ .

$f' (x) = \frac{2 (- x)}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.1.14

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.1.14.1

Factorisez $2$ à partir de $2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{2 (- x)}{2 ({(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}$

Étape 1.1.14.2

Annulez le facteur commun.

$f' (x) = \frac{2 (- x)}{2 {(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.1.14.3

Réécrivez l’expression.

$f' (x) = \frac{- x}{{(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.1.15

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (x) = - \frac{x}{{(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{x}{{(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{x}{{(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- \frac{x}{{(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- \frac{x}{{(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Étape 2.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$x = 0$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 3.1

Convertissez des expressions avec exposants fractionnaires en radicaux.

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Étape 3.1.1

Appliquez la règle $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ pour réécrire l’élévation à la puissance comme un radical.

$- \frac{x}{\sqrt{{(25 - x^{2})}^{1}}}$

Étape 3.1.2

Toute valeur élevée à $1$ est la base elle-même.

$- \frac{x}{\sqrt{25 - x^{2}}}$

Étape 3.2

Définissez le dénominateur dans $\frac{x}{\sqrt{25 - x^{2}}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$\sqrt{25 - x^{2}} = 0$

Étape 3.3

Résolvez $x$ .

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Étape 3.3.1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{25 - x^{2}}}^{2} = 0^{2}$

Étape 3.3.2

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 3.3.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{25 - x^{2}}$ comme ${(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Étape 3.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.2.2.1

Simplifiez ${({(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.3.2.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.3.2.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Étape 3.3.2.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.3.2.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(25 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Étape 3.3.2.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(25 - x^{2})}^{1} = 0^{2}$

Étape 3.3.2.2.1.2

Simplifiez

$25 - x^{2} = 0^{2}$

Étape 3.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.2.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$25 - x^{2} = 0$

Étape 3.3.3

Résolvez $x$ .

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Étape 3.3.3.1

Soustrayez $25$ des deux côtés de l’équation.

$- x^{2} = - 25$

Étape 3.3.3.2

Divisez chaque terme dans $- x^{2} = - 25$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 3.3.3.2.1

Divisez chaque terme dans $- x^{2} = - 25$ par $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 25}{- 1}$

Étape 3.3.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.3.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 25}{- 1}$

Étape 3.3.3.2.2.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{- 25}{- 1}$

Étape 3.3.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.3.2.3.1

Divisez $- 25$ par $- 1$ .

$x^{2} = 25$

Étape 3.3.3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{25}$

Étape 3.3.3.4

Simplifiez $\pm \sqrt{25}$ .

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Étape 3.3.3.4.1

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{5^{2}}$

Étape 3.3.3.4.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 5$

Étape 3.3.3.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 3.3.3.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 5$

Étape 3.3.3.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 5$

Étape 3.3.3.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 5, - 5$

Étape 3.4

Définissez le radicande dans $\sqrt{25 - x^{2}}$ inférieur à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$25 - x^{2} < 0$

Étape 3.5

Résolvez $x$ .

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Étape 3.5.1

Soustrayez $25$ des deux côtés de l’inégalité.

$- x^{2} < - 25$

Étape 3.5.2

Divisez chaque terme dans $- x^{2} < - 25$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 3.5.2.1

Divisez chaque terme dans $- x^{2} < - 25$ par $- 1$ . Lorsque vous multipliez ou divisez les deux côtés d’une inégalité par une valeur négative, inversez le sens du signe d’inégalité.

$\frac{- x^{2}}{- 1} > \frac{- 25}{- 1}$

Étape 3.5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.5.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x^{2}}{1} > \frac{- 25}{- 1}$

Étape 3.5.2.2.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} > \frac{- 25}{- 1}$

Étape 3.5.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.5.2.3.1

Divisez $- 25$ par $- 1$ .

$x^{2} > 25$

Étape 3.5.3

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt{x^{2}} > \sqrt{25}$

Étape 3.5.4

Simplifiez l’équation.

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Étape 3.5.4.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.5.4.1.1

Extrayez les termes de sous le radical.

$| x | > \sqrt{25}$

Étape 3.5.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.5.4.2.1

Simplifiez $\sqrt{25}$ .

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Étape 3.5.4.2.1.1

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$| x | > \sqrt{5^{2}}$

Étape 3.5.4.2.1.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$| x | > | 5 |$

Étape 3.5.4.2.1.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $5$ est $5$ .

$| x | > 5$

Étape 3.5.5

Écrivez $| x | > 5$ comme fonction définie par morceaux.

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Étape 3.5.5.1

Pour déterminer l’intervalle pour la première partie, déterminez où l’intérieur de la valeur absolue est non négatif.

$x \geq 0$

Étape 3.5.5.2

Dans la partie où $x$ est non négatif, retirez la valeur absolue.

$x > 5$

Étape 3.5.5.3

Pour déterminer l’intervalle pour la deuxième partie, déterminez où l’intérieur de la valeur absolue est négatif.

$x < 0$

Étape 3.5.5.4

Dans la partie où $x$ est négatif, retirez la valeur absolue et multipliez par $- 1$ .

$- x > 5$

Étape 3.5.5.5

Écrivez comme fonction définie par morceaux.

${\begin{cases} x > 5 & x \geq 0 \\ - x > 5 & x < 0 \end{cases}$

Étape 3.5.6

Déterminez l’intersection de $x > 5$ et $x \geq 0$ .

$x > 5$

Étape 3.5.7

Divisez chaque terme dans $- x > 5$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 3.5.7.1

Divisez chaque terme dans $- x > 5$ par $- 1$ . Lorsque vous multipliez ou divisez les deux côtés d’une inégalité par une valeur négative, inversez le sens du signe d’inégalité.

$\frac{- x}{- 1} < \frac{5}{- 1}$

Étape 3.5.7.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.5.7.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} < \frac{5}{- 1}$

Étape 3.5.7.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x < \frac{5}{- 1}$

Étape 3.5.7.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.5.7.3.1

Divisez $5$ par $- 1$ .

$x < - 5$

Étape 3.5.8

Déterminez l’union des solutions.

$x < - 5$ ou $x > 5$

Étape 3.6

L’équation est indéfinie là où le dénominateur est égal à $0$ , l’argument d’une racine carrée est inférieur à $0$ ou l’argument d’un logarithme est inférieur ou égal à $0$ .

$x \leq - 5, x \geq 5$

$(- \infty, - 5] \cup [5, \infty)$

$x \leq - 5, x \geq 5$

$(- \infty, - 5] \cup [5, \infty)$

Étape 4

Évaluez $\sqrt{25 - x^{2}}$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 4.1

Évaluez sur $x = 0$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $0$ .

$\sqrt{25 - {(0)}^{2}}$

Étape 4.1.2

Simplifiez

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Étape 4.1.2.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\sqrt{25 - 0}$

Étape 4.1.2.2

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$\sqrt{25 + 0}$

Étape 4.1.2.3

Additionnez $25$ et $0$ .

$\sqrt{25}$

Étape 4.1.2.4

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$\sqrt{5^{2}}$

Étape 4.1.2.5

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$5$

Étape 4.2

Évaluez sur $x = - 5$ .

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Étape 4.2.1

Remplacez $x$ par $- 5$ .

$\sqrt{25 - {(- 5)}^{2}}$

Étape 4.2.2

Simplifiez

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Étape 4.2.2.1

Élevez $- 5$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{25 - 1 \cdot 25}$

Étape 4.2.2.2

Multipliez $- 1$ par $25$ .

$\sqrt{25 - 25}$

Étape 4.2.2.3

Soustrayez $25$ de $25$ .

$\sqrt{0}$

Étape 4.2.2.4

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$\sqrt{0^{2}}$

Étape 4.2.2.5

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$0$

Étape 4.3

Évaluez sur $x = 5$ .

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Étape 4.3.1

Remplacez $x$ par $5$ .

$\sqrt{25 - {(5)}^{2}}$

Étape 4.3.2

Simplifiez

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Étape 4.3.2.1

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{25 - 1 \cdot 25}$

Étape 4.3.2.2

Multipliez $- 1$ par $25$ .

$\sqrt{25 - 25}$

Étape 4.3.2.3

Soustrayez $25$ de $25$ .

$\sqrt{0}$

Étape 4.3.2.4

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$\sqrt{0^{2}}$

Étape 4.3.2.5

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$0$

Étape 4.4

Indiquez tous les points.

$(0, 5), (- 5, 0), (5, 0)$

Étape 5