Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \sqrt{x^{2} - 1}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x^{2} - 1}$ comme ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = x^{2} - 1$ .

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Étape 1.1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} - 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Étape 1.1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} - 1$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Étape 1.1.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Étape 1.1.4

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Étape 1.1.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Étape 1.1.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.6.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Étape 1.1.6.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Étape 1.1.7

Associez les fractions.

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Étape 1.1.7.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{2} {(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Étape 1.1.7.2

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Étape 1.1.7.3

Placez ${(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Étape 1.1.8

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Étape 1.1.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [- 1])$

Étape 1.1.10

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 0)$

Étape 1.1.11

Simplifiez les termes.

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Étape 1.1.11.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x)$

Étape 1.1.11.2

Associez $2$ et $\frac{1}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} x$

Étape 1.1.11.3

Associez $\frac{2}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ et $x$ .

$\frac{2 x}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.1.11.4

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.1.11.5

Réécrivez l’expression.

$f' (x) = \frac{x}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{x}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{x}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$\frac{x}{{(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Étape 2.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$x = 0$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 3.1

Convertissez des expressions avec exposants fractionnaires en radicaux.

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Étape 3.1.1

Appliquez la règle $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ pour réécrire l’élévation à la puissance comme un radical.

$\frac{x}{\sqrt{{(x^{2} - 1)}^{1}}}$

Étape 3.1.2

Toute valeur élevée à $1$ est la base elle-même.

$\frac{x}{\sqrt{x^{2} - 1}}$

Étape 3.2

Définissez le dénominateur dans $\frac{x}{\sqrt{x^{2} - 1}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$\sqrt{x^{2} - 1} = 0$

Étape 3.3

Résolvez $x$ .

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Étape 3.3.1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{x^{2} - 1}}^{2} = 0^{2}$

Étape 3.3.2

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 3.3.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x^{2} - 1}$ comme ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Étape 3.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.2.2.1

Simplifiez ${({(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.3.2.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.3.2.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Étape 3.3.2.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.3.2.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Étape 3.3.2.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(x^{2} - 1)}^{1} = 0^{2}$

Étape 3.3.2.2.1.2

Simplifiez

$x^{2} - 1 = 0^{2}$

Étape 3.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.2.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$x^{2} - 1 = 0$

Étape 3.3.3

Résolvez $x$ .

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Étape 3.3.3.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{2} = 1$

Étape 3.3.3.2

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{1}$

Étape 3.3.3.3

Toute racine de $1$ est $1$ .

$x = \pm 1$

Étape 3.3.3.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 3.3.3.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 1$

Étape 3.3.3.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 1$

Étape 3.3.3.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 1, - 1$

Étape 3.4

Définissez le radicande dans $\sqrt{x^{2} - 1}$ inférieur à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x^{2} - 1 < 0$

Étape 3.5

Résolvez $x$ .

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Étape 3.5.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’inégalité.

$x^{2} < 1$

Étape 3.5.2

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’inégalité pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$\sqrt{x^{2}} < \sqrt{1}$

Étape 3.5.3

Simplifiez l’équation.

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Étape 3.5.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.5.3.1.1

Extrayez les termes de sous le radical.

$| x | < \sqrt{1}$

Étape 3.5.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.5.3.2.1

Toute racine de $1$ est $1$ .

$| x | < 1$

Étape 3.5.4

Écrivez $| x | < 1$ comme fonction définie par morceaux.

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Étape 3.5.4.1

Pour déterminer l’intervalle pour la première partie, déterminez où l’intérieur de la valeur absolue est non négatif.

$x \geq 0$

Étape 3.5.4.2

Dans la partie où $x$ est non négatif, retirez la valeur absolue.

$x < 1$

Étape 3.5.4.3

Pour déterminer l’intervalle pour la deuxième partie, déterminez où l’intérieur de la valeur absolue est négatif.

$x < 0$

Étape 3.5.4.4

Dans la partie où $x$ est négatif, retirez la valeur absolue et multipliez par $- 1$ .

$- x < 1$

Étape 3.5.4.5

Écrivez comme fonction définie par morceaux.

${\begin{cases} x < 1 & x \geq 0 \\ - x < 1 & x < 0 \end{cases}$

Étape 3.5.5

Déterminez l’intersection de $x < 1$ et $x \geq 0$ .

$0 \leq x < 1$

Étape 3.5.6

Résolvez $- x < 1$ quand $x < 0$ .

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Étape 3.5.6.1

Divisez chaque terme dans $- x < 1$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 3.5.6.1.1

Divisez chaque terme dans $- x < 1$ par $- 1$ . Lorsque vous multipliez ou divisez les deux côtés d’une inégalité par une valeur négative, inversez le sens du signe d’inégalité.

$\frac{- x}{- 1} > \frac{1}{- 1}$

Étape 3.5.6.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.5.6.1.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} > \frac{1}{- 1}$

Étape 3.5.6.1.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x > \frac{1}{- 1}$

Étape 3.5.6.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.5.6.1.3.1

Divisez $1$ par $- 1$ .

$x > - 1$

Étape 3.5.6.2

Déterminez l’intersection de $x > - 1$ et $x < 0$ .

$- 1 < x < 0$

Étape 3.5.7

Déterminez l’union des solutions.

$- 1 < x < 1$

Étape 3.6

L’équation est indéfinie là où le dénominateur est égal à $0$ , l’argument d’une racine carrée est inférieur à $0$ ou l’argument d’un logarithme est inférieur ou égal à $0$ .

$- 1 \leq x \leq 1$

$[- 1, 1]$

$- 1 \leq x \leq 1$

$[- 1, 1]$

Étape 4

Évaluez $\sqrt{x^{2} - 1}$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 4.1

Évaluez sur $x = 0$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $0$ .

$\sqrt{{(0)}^{2} - 1}$

Étape 4.1.2

Simplifiez

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Étape 4.1.2.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\sqrt{0 - 1}$

Étape 4.1.2.2

Soustrayez $1$ de $0$ .

$\sqrt{- 1}$

Étape 4.1.2.3

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$i$

Étape 4.2

Évaluez sur $x = - 1$ .

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Étape 4.2.1

Remplacez $x$ par $- 1$ .

$\sqrt{{(- 1)}^{2} - 1}$

Étape 4.2.2

Simplifiez

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Étape 4.2.2.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{1 - 1}$

Étape 4.2.2.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\sqrt{0}$

Étape 4.2.2.3

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$\sqrt{0^{2}}$

Étape 4.2.2.4

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$0$

Étape 4.3

Évaluez sur $x = 1$ .

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Étape 4.3.1

Remplacez $x$ par $1$ .

$\sqrt{{(1)}^{2} - 1}$

Étape 4.3.2

Simplifiez

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Étape 4.3.2.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\sqrt{1 - 1}$

Étape 4.3.2.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\sqrt{0}$

Étape 4.3.2.3

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$\sqrt{0^{2}}$

Étape 4.3.2.4

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$0$

Étape 4.4

Indiquez tous les points.

$(- 1, 0), (1, 0)$

Étape 5