Calcul infinitésimal Exemples

$\sum_{n = 1}^{6} {(\frac{1}{4})}^{n - 1}$

Étape 1

La somme d’une série géométrique finie peut être déterminée en utilisant la formule $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ où $a$ est le premier terme et $r$ est le rapport entre des termes successifs.

Étape 2

Déterminez le rapport de termes successifs en insérant dans la formule $r = \frac{a_{n + 1}}{a_{n}}$ et en simplifiant.

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Étape 2.1

Remplacez $a_{n}$ et $a_{n + 1}$ dans la formule pour $r$ .

$r = \frac{{(\frac{1}{4})}^{n + 1 - 1}}{{(\frac{1}{4})}^{n - 1}}$

Étape 2.2

Simplifiez

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Étape 2.2.1

Annulez le facteur commun à ${(\frac{1}{4})}^{n + 1 - 1}$ et ${(\frac{1}{4})}^{n - 1}$ .

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Étape 2.2.1.1

Factorisez ${(\frac{1}{4})}^{n - 1}$ à partir de ${(\frac{1}{4})}^{n + 1 - 1}$ .

$r = \frac{{(\frac{1}{4})}^{n - 1} {(\frac{1}{4})}^{n + 0 - (n - 1)}}{{(\frac{1}{4})}^{n - 1}}$

Étape 2.2.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.2.1.2.1

Multipliez par $1$ .

$r = \frac{{(\frac{1}{4})}^{n - 1} {(\frac{1}{4})}^{n + 0 - (n - 1)}}{{(\frac{1}{4})}^{n - 1} \cdot 1}$

Étape 2.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$r = \frac{{(\frac{1}{4})}^{n - 1} {(\frac{1}{4})}^{n + 0 - (n - 1)}}{{(\frac{1}{4})}^{n - 1} \cdot 1}$

Étape 2.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$r = \frac{{(\frac{1}{4})}^{n + 0 - (n - 1)}}{1}$

Étape 2.2.1.2.4

Divisez ${(\frac{1}{4})}^{n + 0 - (n - 1)}$ par $1$ .

$r = {(\frac{1}{4})}^{n + 0 - (n - 1)}$

Étape 2.2.2

Additionnez $n$ et $0$ .

$r = {(\frac{1}{4})}^{n - (n - 1)}$

Étape 2.2.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$r = {(\frac{1}{4})}^{n - n - - 1}$

Étape 2.2.3.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$r = {(\frac{1}{4})}^{n - n + 1}$

Étape 2.2.4

Soustrayez $n$ de $n$ .

$r = {(\frac{1}{4})}^{0 + 1}$

Étape 2.2.5

Additionnez $0$ et $1$ .

$r = {(\frac{1}{4})}^{1}$

Étape 2.2.6

Simplifiez

$r = \frac{1}{4}$

Étape 3

Déterminez les premiers termes de la série en remplaçant dans la borne inférieure et en simplifiant.

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Étape 3.1

Remplacez $n$ par $1$ dans ${(\frac{1}{4})}^{n - 1}$ .

$a = {(\frac{1}{4})}^{1 - 1}$

Étape 3.2

Simplifiez

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Étape 3.2.1

Soustrayez $1$ de $1$ .

$a = {(\frac{1}{4})}^{0}$

Étape 3.2.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{4}$ .

$a = \frac{1^{0}}{4^{0}}$

Étape 3.2.3

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$a = \frac{1}{4^{0}}$

Étape 3.2.4

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$a = \frac{1}{1}$

Étape 3.2.5

Divisez $1$ par $1$ .

$a = 1$

Étape 4

Remplacez les valeurs du rapport, du premier terme et du nombre de termes dans la formule de l’addition.

$1 \frac{1 - {(\frac{1}{4})}^{6}}{1 - \frac{1}{4}}$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Multipliez $\frac{1 - {(\frac{1}{4})}^{6}}{1 - \frac{1}{4}}$ par $1$ .

$\frac{1 - {(\frac{1}{4})}^{6}}{1 - \frac{1}{4}}$

Étape 5.2

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $4$ .

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Étape 5.2.1

Multipliez $\frac{1 - {(\frac{1}{4})}^{6}}{1 - \frac{1}{4}}$ par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{4}{4} \cdot \frac{1 - {(\frac{1}{4})}^{6}}{1 - \frac{1}{4}}$

Étape 5.2.2

Associez.

$\frac{4 (1 - {(\frac{1}{4})}^{6})}{4 (1 - \frac{1}{4})}$

Étape 5.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 \cdot 1 + 4 (- {(\frac{1}{4})}^{6})}{4 \cdot 1 + 4 (- \frac{1}{4})}$

Étape 5.4

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 5.4.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{4}$ dans le numérateur.

$\frac{4 \cdot 1 + 4 (- {(\frac{1}{4})}^{6})}{4 \cdot 1 + 4 (\frac{- 1}{4})}$

Étape 5.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 \cdot 1 + 4 (- {(\frac{1}{4})}^{6})}{4 \cdot 1 + 4 (\frac{- 1}{4})}$

Étape 5.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{4 \cdot 1 + 4 (- {(\frac{1}{4})}^{6})}{4 \cdot 1 - 1}$

Étape 5.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.5.1

Multipliez $4$ par $1$ .

$\frac{4 + 4 (- {(\frac{1}{4})}^{6})}{4 \cdot 1 - 1}$

Étape 5.5.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{4}$ .

$\frac{4 + 4 (- \frac{1^{6}}{4^{6}})}{4 \cdot 1 - 1}$

Étape 5.5.3

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 5.5.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1^{6}}{4^{6}}$ dans le numérateur.

$\frac{4 + 4 \frac{- 1^{6}}{4^{6}}}{4 \cdot 1 - 1}$

Étape 5.5.3.2

Factorisez $4$ à partir de $4^{6}$ .

$\frac{4 + 4 \frac{- 1^{6}}{4 \cdot 4^{5}}}{4 \cdot 1 - 1}$

Étape 5.5.3.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 + 4 \frac{- 1^{6}}{4 \cdot 4^{5}}}{4 \cdot 1 - 1}$

Étape 5.5.3.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{4 + \frac{- 1^{6}}{4^{5}}}{4 \cdot 1 - 1}$

Étape 5.5.4

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{4 + \frac{- 1 \cdot 1}{4^{5}}}{4 \cdot 1 - 1}$

Étape 5.5.5

Élevez $4$ à la puissance $5$ .

$\frac{4 + \frac{- 1 \cdot 1}{1024}}{4 \cdot 1 - 1}$

Étape 5.5.6

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{4 + \frac{- 1}{1024}}{4 \cdot 1 - 1}$

Étape 5.5.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{4 - \frac{1}{1024}}{4 \cdot 1 - 1}$

Étape 5.5.8

Pour écrire $4$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{1024}{1024}$ .

$\frac{4 \cdot \frac{1024}{1024} - \frac{1}{1024}}{4 \cdot 1 - 1}$

Étape 5.5.9

Associez $4$ et $\frac{1024}{1024}$ .

$\frac{\frac{4 \cdot 1024}{1024} - \frac{1}{1024}}{4 \cdot 1 - 1}$

Étape 5.5.10

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{4 \cdot 1024 - 1}{1024}}{4 \cdot 1 - 1}$

Étape 5.5.11

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.5.11.1

Multipliez $4$ par $1024$ .

$\frac{\frac{4096 - 1}{1024}}{4 \cdot 1 - 1}$

Étape 5.5.11.2

Soustrayez $1$ de $4096$ .

$\frac{\frac{4095}{1024}}{4 \cdot 1 - 1}$

Étape 5.6

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.6.1

Multipliez $4$ par $1$ .

$\frac{\frac{4095}{1024}}{4 - 1}$

Étape 5.6.2

Soustrayez $1$ de $4$ .

$\frac{\frac{4095}{1024}}{3}$

Étape 5.7

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{4095}{1024} \cdot \frac{1}{3}$

Étape 5.8

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.8.1

Factorisez $3$ à partir de $4095$ .

$\frac{3 (1365)}{1024} \cdot \frac{1}{3}$

Étape 5.8.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 \cdot 1365}{1024} \cdot \frac{1}{3}$

Étape 5.8.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1365}{1024}$

Étape 6

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{1365}{1024}$

Forme décimale :

$1.33300781 \dots$

Forme de nombre mixte :

$1 \frac{341}{1024}$