Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \sqrt[3]{x^{4}} - \sqrt[3]{x^{2}}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\sqrt[3]{x^{4}} - \sqrt[3]{x^{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{x^{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{x^{2}}]$

Étape 1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x^{4}}]$ .

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Étape 1.1.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{x^{4}}$ comme $x^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{3}}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{x^{2}}]$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{4}{3}$ .

$\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} - 1} + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{x^{2}}]$

Étape 1.1.2.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{x^{2}}]$

Étape 1.1.2.4

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{x^{2}}]$

Étape 1.1.2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{4}{3} x^{\frac{4 - 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{x^{2}}]$

Étape 1.1.2.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.2.6.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{4}{3} x^{\frac{4 - 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{x^{2}}]$

Étape 1.1.2.6.2

Soustrayez $3$ de $4$ .

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{x^{2}}]$

Étape 1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \sqrt[3]{x^{2}}]$ .

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Étape 1.1.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{x^{2}}$ comme $x^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{2}{3}}]$

Étape 1.1.3.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{\frac{2}{3}}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$ .

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} - \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

Étape 1.1.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{2}{3}$ .

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} - (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})$

Étape 1.1.3.4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} - (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Étape 1.1.3.5

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} - (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Étape 1.1.3.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} - (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}})$

Étape 1.1.3.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.3.7.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} - (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}})$

Étape 1.1.3.7.2

Soustrayez $3$ de $2$ .

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} - (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}})$

Étape 1.1.3.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} - (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}})$

Étape 1.1.3.9

Associez $\frac{2}{3}$ et $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} - \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Étape 1.1.3.10

Placez $x^{- \frac{1}{3}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Étape 1.1.4

Associez $\frac{4}{3}$ et $x^{\frac{1}{3}}$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} = 0$

Étape 2.2

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 2.2.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$3, 3 x^{\frac{1}{3}}, 1$

Étape 2.2.2

Comme $3, 3 x^{\frac{1}{3}}, 1$ contient des nombres et des variables, deux étapes sont nécessaires pour déterminer le plus petit multiple commun. Déterminez le plus petit multiple commun pour la partie numérique $3, 3, 1$ puis déterminez le plus petit multiple commun pour la partie variable $x^{\frac{1}{3}}$ .

Étape 2.2.3

Le plus petit multiple commun est le plus petit nombre positif dans lequel tous les nombres peuvent être divisés parfaitement.

1. Indiquez les facteurs premiers de chaque nombre.

2. Multipliez chaque facteur le plus grand nombre de fois qu’il apparaît dans un nombre.

Étape 2.2.4

$3$ n’a pas de facteur hormis $1$ et $3$ .

$3$ est un nombre premier

Étape 2.2.5

Le nombre $1$ n’est pas un nombre premier car il ne comporte qu’un facteur positif, qui est lui-même.

Pas premier

Étape 2.2.6

Le plus petit multiple commun de $3, 3, 1$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs premiers le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un nombre ou l’autre.

$3$

Étape 2.2.7

Le plus petit multiple commun de $x^{\frac{1}{3}}$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs premiers le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un terme ou l’autre.

$x^{\frac{1}{3}}$

Étape 2.2.8

Le plus petit multiple commun pour $3, 3 x^{\frac{1}{3}}, 1$ est la partie numérique $3$ multipliée par la partie variable.

$3 x^{\frac{1}{3}}$

Étape 2.3

Multiplier chaque terme dans $\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} = 0$ par $3 x^{\frac{1}{3}}$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 2.3.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} = 0$ par $3 x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} (3 x^{\frac{1}{3}}) - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x^{\frac{1}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Étape 2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.2.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$3 \frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} x^{\frac{1}{3}} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x^{\frac{1}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Étape 2.3.2.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.3.2.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$3 \frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} x^{\frac{1}{3}} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x^{\frac{1}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Étape 2.3.2.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$4 x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x^{\frac{1}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Étape 2.3.2.1.3

Multipliez $x^{\frac{1}{3}}$ par $x^{\frac{1}{3}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.3.2.1.3.1

Déplacez $x^{\frac{1}{3}}$ .

$4 (x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}}) - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x^{\frac{1}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Étape 2.3.2.1.3.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$4 x^{\frac{1}{3} + \frac{1}{3}} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x^{\frac{1}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Étape 2.3.2.1.3.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$4 x^{\frac{1 + 1}{3}} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x^{\frac{1}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Étape 2.3.2.1.3.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$4 x^{\frac{2}{3}} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x^{\frac{1}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Étape 2.3.2.1.4

Annulez le facteur commun de $3 x^{\frac{1}{3}}$ .

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Étape 2.3.2.1.4.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ dans le numérateur.

$4 x^{\frac{2}{3}} + \frac{- 2}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x^{\frac{1}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Étape 2.3.2.1.4.2

Annulez le facteur commun.

$4 x^{\frac{2}{3}} + \frac{- 2}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x^{\frac{1}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Étape 2.3.2.1.4.3

Réécrivez l’expression.

$4 x^{\frac{2}{3}} - 2 = 0 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Étape 2.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.3.1

Multipliez $0 (3 x^{\frac{1}{3}})$ .

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Étape 2.3.3.1.1

Multipliez $3$ par $0$ .

$4 x^{\frac{2}{3}} - 2 = 0 x^{\frac{1}{3}}$

Étape 2.3.3.1.2

Multipliez $0$ par $x^{\frac{1}{3}}$ .

$4 x^{\frac{2}{3}} - 2 = 0$

Étape 2.4

Résolvez l’équation.

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Étape 2.4.1

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$4 x^{\frac{2}{3}} = 2$

Étape 2.4.2

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $\frac{3}{2}$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${(4 x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}} = \pm 2^{\frac{3}{2}}$

Étape 2.4.3

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.4.3.1

Simplifiez ${(4 x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ .

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Étape 2.4.3.1.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.4.3.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $4 x^{\frac{2}{3}}$ .

$4^{\frac{3}{2}} {(x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}} = \pm 2^{\frac{3}{2}}$

Étape 2.4.3.1.1.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

${(2^{2})}^{\frac{3}{2}} {(x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}} = \pm 2^{\frac{3}{2}}$

Étape 2.4.3.1.1.3

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2^{2 (\frac{3}{2})} {(x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}} = \pm 2^{\frac{3}{2}}$

Étape 2.4.3.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.4.3.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$2^{2 (\frac{3}{2})} {(x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}} = \pm 2^{\frac{3}{2}}$

Étape 2.4.3.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$2^{3} {(x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}} = \pm 2^{\frac{3}{2}}$

Étape 2.4.3.1.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.4.3.1.3.1

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$8 {(x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}} = \pm 2^{\frac{3}{2}}$

Étape 2.4.3.1.3.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ .

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Étape 2.4.3.1.3.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8 x^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \pm 2^{\frac{3}{2}}$

Étape 2.4.3.1.3.2.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.4.3.1.3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$8 x^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \pm 2^{\frac{3}{2}}$

Étape 2.4.3.1.3.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$8 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm 2^{\frac{3}{2}}$

Étape 2.4.3.1.3.2.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.4.3.1.3.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$8 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm 2^{\frac{3}{2}}$

Étape 2.4.3.1.3.2.3.2

Réécrivez l’expression.

$8 x^{1} = \pm 2^{\frac{3}{2}}$

Étape 2.4.3.1.4

Simplifiez

$8 x = \pm 2^{\frac{3}{2}}$

Étape 2.4.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 2.4.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$8 x = 2^{\frac{3}{2}}$

Étape 2.4.4.2

Divisez chaque terme dans $8 x = 2^{\frac{3}{2}}$ par $8$ et simplifiez.

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Étape 2.4.4.2.1

Divisez chaque terme dans $8 x = 2^{\frac{3}{2}}$ par $8$ .

$\frac{8 x}{8} = \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}$

Étape 2.4.4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.4.4.2.2.1

Annulez le facteur commun de $8$ .

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Étape 2.4.4.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{8 x}{8} = \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}$

Étape 2.4.4.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}$

Étape 2.4.4.3

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$8 x = - 2^{\frac{3}{2}}$

Étape 2.4.4.4

Divisez chaque terme dans $8 x = - 2^{\frac{3}{2}}$ par $8$ et simplifiez.

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Étape 2.4.4.4.1

Divisez chaque terme dans $8 x = - 2^{\frac{3}{2}}$ par $8$ .

$\frac{8 x}{8} = \frac{- 2^{\frac{3}{2}}}{8}$

Étape 2.4.4.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.4.4.4.2.1

Annulez le facteur commun de $8$ .

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Étape 2.4.4.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{8 x}{8} = \frac{- 2^{\frac{3}{2}}}{8}$

Étape 2.4.4.4.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 2^{\frac{3}{2}}}{8}$

Étape 2.4.4.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.4.4.4.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}$

Étape 2.4.4.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}, - \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 3.1

Convertissez des expressions avec exposants fractionnaires en radicaux.

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Étape 3.1.1

Appliquez la règle $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ pour réécrire l’élévation à la puissance comme un radical.

$\frac{4 \sqrt[3]{x^{1}}}{3} - \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Étape 3.1.2

Appliquez la règle $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ pour réécrire l’élévation à la puissance comme un radical.

$\frac{4 \sqrt[3]{x^{1}}}{3} - \frac{2}{3 \sqrt[3]{x^{1}}}$

Étape 3.1.3

Toute valeur élevée à $1$ est la base elle-même.

$\frac{4 \sqrt[3]{x}}{3} - \frac{2}{3 \sqrt[3]{x^{1}}}$

Étape 3.1.4

Toute valeur élevée à $1$ est la base elle-même.

$\frac{4 \sqrt[3]{x}}{3} - \frac{2}{3 \sqrt[3]{x}}$

Étape 3.2

Définissez le dénominateur dans $\frac{2}{3 \sqrt[3]{x}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$3 \sqrt[3]{x} = 0$

Étape 3.3

Résolvez $x$ .

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Étape 3.3.1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au cube les deux côtés de l’équation.

${(3 \sqrt[3]{x})}^{3} = 0^{3}$

Étape 3.3.2

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 3.3.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{x}$ comme $x^{\frac{1}{3}}$ .

${(3 x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Étape 3.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.2.2.1

Simplifiez ${(3 x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Étape 3.3.2.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $3 x^{\frac{1}{3}}$ .

$3^{3} {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Étape 3.3.2.2.1.2

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$27 {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Étape 3.3.2.2.1.3

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Étape 3.3.2.2.1.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Étape 3.3.2.2.1.3.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.3.2.2.1.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$27 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Étape 3.3.2.2.1.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$27 x^{1} = 0^{3}$

Étape 3.3.2.2.1.4

Simplifiez

$27 x = 0^{3}$

Étape 3.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.2.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$27 x = 0$

Étape 3.3.3

Divisez chaque terme dans $27 x = 0$ par $27$ et simplifiez.

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Étape 3.3.3.1

Divisez chaque terme dans $27 x = 0$ par $27$ .

$\frac{27 x}{27} = \frac{0}{27}$

Étape 3.3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.3.2.1

Annulez le facteur commun de $27$ .

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Étape 3.3.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{27 x}{27} = \frac{0}{27}$

Étape 3.3.3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{0}{27}$

Étape 3.3.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.3.3.1

Divisez $0$ par $27$ .

$x = 0$

Étape 4

Évaluez $\sqrt[3]{x^{4}} - \sqrt[3]{x^{2}}$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 4.1

Évaluez sur $x = \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}$ .

$\sqrt[3]{{(\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{4}} - \sqrt[3]{{(\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{2}}$

Étape 4.1.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}$ .

$\sqrt[3]{\frac{{(2^{\frac{3}{2}})}^{4}}{8^{4}}} - \sqrt[3]{{(\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{2}}$

Étape 4.1.2.1.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.2.1.2.1

Multipliez les exposants dans ${(2^{\frac{3}{2}})}^{4}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.1.2.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt[3]{\frac{2^{\frac{3}{2} \cdot 4}}{8^{4}}} - \sqrt[3]{{(\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{2}}$

Étape 4.1.2.1.2.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.1.2.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\sqrt[3]{\frac{2^{\frac{3}{2} \cdot (2 (2))}}{8^{4}}} - \sqrt[3]{{(\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{2}}$

Étape 4.1.2.1.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\sqrt[3]{\frac{2^{\frac{3}{2} \cdot (2 \cdot 2)}}{8^{4}}} - \sqrt[3]{{(\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{2}}$

Étape 4.1.2.1.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\sqrt[3]{\frac{2^{3 \cdot 2}}{8^{4}}} - \sqrt[3]{{(\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{2}}$

Étape 4.1.2.1.2.1.3

Multipliez $3$ par $2$ .

$\sqrt[3]{\frac{2^{6}}{8^{4}}} - \sqrt[3]{{(\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{2}}$

Étape 4.1.2.1.2.2

Élevez $2$ à la puissance $6$ .

$\sqrt[3]{\frac{64}{8^{4}}} - \sqrt[3]{{(\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{2}}$

Étape 4.1.2.1.3

Élevez $8$ à la puissance $4$ .

$\sqrt[3]{\frac{64}{4096}} - \sqrt[3]{{(\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{2}}$

Étape 4.1.2.1.4

Annulez le facteur commun à $64$ et $4096$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.1.4.1

Factorisez $64$ à partir de $64$ .

$\sqrt[3]{\frac{64 (1)}{4096}} - \sqrt[3]{{(\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{2}}$

Étape 4.1.2.1.4.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.1.4.2.1

Factorisez $64$ à partir de $4096$ .

$\sqrt[3]{\frac{64 \cdot 1}{64 \cdot 64}} - \sqrt[3]{{(\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{2}}$

Étape 4.1.2.1.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\sqrt[3]{\frac{64 \cdot 1}{64 \cdot 64}} - \sqrt[3]{{(\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{2}}$

Étape 4.1.2.1.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\sqrt[3]{\frac{1}{64}} - \sqrt[3]{{(\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{2}}$

Étape 4.1.2.1.5

Réécrivez $\sqrt[3]{\frac{1}{64}}$ comme $\frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{64}}$ .

$\frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{64}} - \sqrt[3]{{(\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{2}}$

Étape 4.1.2.1.6

Toute racine de $1$ est $1$ .

$\frac{1}{\sqrt[3]{64}} - \sqrt[3]{{(\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{2}}$

Étape 4.1.2.1.7

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.1.7.1

Réécrivez $64$ comme $4^{3}$ .

$\frac{1}{\sqrt[3]{4^{3}}} - \sqrt[3]{{(\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{2}}$

Étape 4.1.2.1.7.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$\frac{1}{4} - \sqrt[3]{{(\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{2}}$

Étape 4.1.2.1.8

Appliquez la règle de produit à $\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}$ .

$\frac{1}{4} - \sqrt[3]{\frac{{(2^{\frac{3}{2}})}^{2}}{8^{2}}}$

Étape 4.1.2.1.9

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.1.9.1

Multipliez les exposants dans ${(2^{\frac{3}{2}})}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.1.9.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} - \sqrt[3]{\frac{2^{\frac{3}{2} \cdot 2}}{8^{2}}}$

Étape 4.1.2.1.9.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.1.9.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{4} - \sqrt[3]{\frac{2^{\frac{3}{2} \cdot 2}}{8^{2}}}$

Étape 4.1.2.1.9.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{4} - \sqrt[3]{\frac{2^{3}}{8^{2}}}$

Étape 4.1.2.1.9.2

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$\frac{1}{4} - \sqrt[3]{\frac{8}{8^{2}}}$

Étape 4.1.2.1.10

Élevez $8$ à la puissance $2$ .

$\frac{1}{4} - \sqrt[3]{\frac{8}{64}}$

Étape 4.1.2.1.11

Annulez le facteur commun à $8$ et $64$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.1.11.1

Factorisez $8$ à partir de $8$ .

$\frac{1}{4} - \sqrt[3]{\frac{8 (1)}{64}}$

Étape 4.1.2.1.11.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.1.11.2.1

Factorisez $8$ à partir de $64$ .

$\frac{1}{4} - \sqrt[3]{\frac{8 \cdot 1}{8 \cdot 8}}$

Étape 4.1.2.1.11.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{4} - \sqrt[3]{\frac{8 \cdot 1}{8 \cdot 8}}$

Étape 4.1.2.1.11.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{4} - \sqrt[3]{\frac{1}{8}}$

Étape 4.1.2.1.12

Réécrivez $\sqrt[3]{\frac{1}{8}}$ comme $\frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{8}}$ .

$\frac{1}{4} - \frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{8}}$

Étape 4.1.2.1.13

Toute racine de $1$ est $1$ .

$\frac{1}{4} - \frac{1}{\sqrt[3]{8}}$

Étape 4.1.2.1.14

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.1.14.1

Réécrivez $8$ comme $2^{3}$ .

$\frac{1}{4} - \frac{1}{\sqrt[3]{2^{3}}}$

Étape 4.1.2.1.14.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$\frac{1}{4} - \frac{1}{2}$

Étape 4.1.2.2

Pour écrire $- \frac{1}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{4} - \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2}$

Étape 4.1.2.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $4$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.3.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{4} - \frac{2}{2 \cdot 2}$

Étape 4.1.2.3.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{1}{4} - \frac{2}{4}$

Étape 4.1.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1 - 2}{4}$

Étape 4.1.2.5

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{- 1}{4}$

Étape 4.1.2.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{4}$

Étape 4.2

Évaluez sur $x = - \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Remplacez $x$ par $- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}$ .

$\sqrt[3]{{(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{4}} - \sqrt[3]{{(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{2}}$

Étape 4.2.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}$ .

$\sqrt[3]{{(- 1)}^{4} {(\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{4}} - \sqrt[3]{{(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{2}}$

Étape 4.2.2.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $4$ .

$\sqrt[3]{1 {(\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{4}} - \sqrt[3]{{(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{2}}$

Étape 4.2.2.1.3

Appliquez la règle de produit à $\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}$ .

$\sqrt[3]{1 \frac{{(2^{\frac{3}{2}})}^{4}}{8^{4}}} - \sqrt[3]{{(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{2}}$

Étape 4.2.2.1.4

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.1.4.1

Multipliez les exposants dans ${(2^{\frac{3}{2}})}^{4}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.1.4.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt[3]{1 \frac{2^{\frac{3}{2} \cdot 4}}{8^{4}}} - \sqrt[3]{{(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{2}}$

Étape 4.2.2.1.4.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.1.4.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\sqrt[3]{1 \frac{2^{\frac{3}{2} \cdot (2 (2))}}{8^{4}}} - \sqrt[3]{{(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{2}}$

Étape 4.2.2.1.4.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\sqrt[3]{1 \frac{2^{\frac{3}{2} \cdot (2 \cdot 2)}}{8^{4}}} - \sqrt[3]{{(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{2}}$

Étape 4.2.2.1.4.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\sqrt[3]{1 \frac{2^{3 \cdot 2}}{8^{4}}} - \sqrt[3]{{(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{2}}$

Étape 4.2.2.1.4.1.3

Multipliez $3$ par $2$ .

$\sqrt[3]{1 \frac{2^{6}}{8^{4}}} - \sqrt[3]{{(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{2}}$

Étape 4.2.2.1.4.2

Élevez $2$ à la puissance $6$ .

$\sqrt[3]{1 \frac{64}{8^{4}}} - \sqrt[3]{{(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{2}}$

Étape 4.2.2.1.5

Élevez $8$ à la puissance $4$ .

$\sqrt[3]{1 (\frac{64}{4096})} - \sqrt[3]{{(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{2}}$

Étape 4.2.2.1.6

Annulez le facteur commun à $64$ et $4096$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.1.6.1

Factorisez $64$ à partir de $64$ .

$\sqrt[3]{1 \frac{64 (1)}{4096}} - \sqrt[3]{{(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{2}}$

Étape 4.2.2.1.6.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.1.6.2.1

Factorisez $64$ à partir de $4096$ .

$\sqrt[3]{1 \frac{64 \cdot 1}{64 \cdot 64}} - \sqrt[3]{{(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{2}}$

Étape 4.2.2.1.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$\sqrt[3]{1 \frac{64 \cdot 1}{64 \cdot 64}} - \sqrt[3]{{(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{2}}$

Étape 4.2.2.1.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$\sqrt[3]{1 (\frac{1}{64})} - \sqrt[3]{{(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{2}}$

Étape 4.2.2.1.7

Multipliez $\frac{1}{64}$ par $1$ .

$\sqrt[3]{\frac{1}{64}} - \sqrt[3]{{(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{2}}$

Étape 4.2.2.1.8

Réécrivez $\sqrt[3]{\frac{1}{64}}$ comme $\frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{64}}$ .

$\frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{64}} - \sqrt[3]{{(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{2}}$

Étape 4.2.2.1.9

Toute racine de $1$ est $1$ .

$\frac{1}{\sqrt[3]{64}} - \sqrt[3]{{(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{2}}$

Étape 4.2.2.1.10

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.1.10.1

Réécrivez $64$ comme $4^{3}$ .

$\frac{1}{\sqrt[3]{4^{3}}} - \sqrt[3]{{(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{2}}$

Étape 4.2.2.1.10.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$\frac{1}{4} - \sqrt[3]{{(- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{2}}$

Étape 4.2.2.1.11

Appliquez la règle de produit à $- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}$ .

$\frac{1}{4} - \sqrt[3]{{(- 1)}^{2} {(\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{2}}$

Étape 4.2.2.1.12

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$\frac{1}{4} - \sqrt[3]{1 {(\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8})}^{2}}$

Étape 4.2.2.1.13

Appliquez la règle de produit à $\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}$ .

$\frac{1}{4} - \sqrt[3]{1 \frac{{(2^{\frac{3}{2}})}^{2}}{8^{2}}}$

Étape 4.2.2.1.14

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.1.14.1

Multipliez les exposants dans ${(2^{\frac{3}{2}})}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.1.14.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} - \sqrt[3]{1 \frac{2^{\frac{3}{2} \cdot 2}}{8^{2}}}$

Étape 4.2.2.1.14.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.1.14.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{4} - \sqrt[3]{1 \frac{2^{\frac{3}{2} \cdot 2}}{8^{2}}}$

Étape 4.2.2.1.14.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{4} - \sqrt[3]{1 \frac{2^{3}}{8^{2}}}$

Étape 4.2.2.1.14.2

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$\frac{1}{4} - \sqrt[3]{1 \frac{8}{8^{2}}}$

Étape 4.2.2.1.15

Élevez $8$ à la puissance $2$ .

$\frac{1}{4} - \sqrt[3]{1 (\frac{8}{64})}$

Étape 4.2.2.1.16

Annulez le facteur commun à $8$ et $64$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.1.16.1

Factorisez $8$ à partir de $8$ .

$\frac{1}{4} - \sqrt[3]{1 \frac{8 (1)}{64}}$

Étape 4.2.2.1.16.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.1.16.2.1

Factorisez $8$ à partir de $64$ .

$\frac{1}{4} - \sqrt[3]{1 \frac{8 \cdot 1}{8 \cdot 8}}$

Étape 4.2.2.1.16.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{4} - \sqrt[3]{1 \frac{8 \cdot 1}{8 \cdot 8}}$

Étape 4.2.2.1.16.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{4} - \sqrt[3]{1 (\frac{1}{8})}$

Étape 4.2.2.1.17

Multipliez $\frac{1}{8}$ par $1$ .

$\frac{1}{4} - \sqrt[3]{\frac{1}{8}}$

Étape 4.2.2.1.18

Réécrivez $\sqrt[3]{\frac{1}{8}}$ comme $\frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{8}}$ .

$\frac{1}{4} - \frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{8}}$

Étape 4.2.2.1.19

Toute racine de $1$ est $1$ .

$\frac{1}{4} - \frac{1}{\sqrt[3]{8}}$

Étape 4.2.2.1.20

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.1.20.1

Réécrivez $8$ comme $2^{3}$ .

$\frac{1}{4} - \frac{1}{\sqrt[3]{2^{3}}}$

Étape 4.2.2.1.20.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$\frac{1}{4} - \frac{1}{2}$

Étape 4.2.2.2

Pour écrire $- \frac{1}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{4} - \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2}$

Étape 4.2.2.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $4$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.3.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{4} - \frac{2}{2 \cdot 2}$

Étape 4.2.2.3.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{1}{4} - \frac{2}{4}$

Étape 4.2.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1 - 2}{4}$

Étape 4.2.2.5

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{- 1}{4}$

Étape 4.2.2.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{4}$

Étape 4.3

Évaluez sur $x = 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1

Remplacez $x$ par $0$ .

$\sqrt[3]{{(0)}^{4}} - \sqrt[3]{{(0)}^{2}}$

Étape 4.3.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\sqrt[3]{0} - \sqrt[3]{{(0)}^{2}}$

Étape 4.3.2.1.2

Réécrivez $0$ comme $0^{3}$ .

$\sqrt[3]{0^{3}} - \sqrt[3]{{(0)}^{2}}$

Étape 4.3.2.1.3

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$0 - \sqrt[3]{{(0)}^{2}}$

Étape 4.3.2.1.4

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0 - \sqrt[3]{0}$

Étape 4.3.2.1.5

Réécrivez $0$ comme $0^{3}$ .

$0 - \sqrt[3]{0^{3}}$

Étape 4.3.2.1.6

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$0 - 0$

Étape 4.3.2.1.7

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$0 + 0$

Étape 4.3.2.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$0$

Étape 4.4

Indiquez tous les points.

$(\frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}, - \frac{1}{4}), (- \frac{2^{\frac{3}{2}}}{8}, - \frac{1}{4}), (0, 0)$

Étape 5