Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = {(x + 3)}^{4}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{4}$ et $g (x) = x + 3$ .

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Étape 1.1.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x + 3$ .

$\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [x + 3]$

Étape 1.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$4 u^{3} \frac{d}{d x} [x + 3]$

Étape 1.1.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x + 3$ .

$4 {(x + 3)}^{3} \frac{d}{d x} [x + 3]$

Étape 1.1.2

Différenciez.

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Étape 1.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$4 {(x + 3)}^{3} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 {(x + 3)}^{3} (1 + \frac{d}{d x} [3])$

Étape 1.1.2.3

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$4 {(x + 3)}^{3} (1 + 0)$

Étape 1.1.2.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.2.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$4 {(x + 3)}^{3} \cdot 1$

Étape 1.1.2.4.2

Multipliez $4$ par $1$ .

$f' (x) = 4 {(x + 3)}^{3}$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $4 {(x + 3)}^{3}$ .

$4 {(x + 3)}^{3}$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $4 {(x + 3)}^{3} = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$4 {(x + 3)}^{3} = 0$

Étape 2.2

Divisez chaque terme dans $4 {(x + 3)}^{3} = 0$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 2.2.1

Divisez chaque terme dans $4 {(x + 3)}^{3} = 0$ par $4$ .

$\frac{4 {(x + 3)}^{3}}{4} = \frac{0}{4}$

Étape 2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 {(x + 3)}^{3}}{4} = \frac{0}{4}$

Étape 2.2.2.1.2

Divisez ${(x + 3)}^{3}$ par $1$ .

${(x + 3)}^{3} = \frac{0}{4}$

Étape 2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.2.3.1

Divisez $0$ par $4$ .

${(x + 3)}^{3} = 0$

Étape 2.3

Définissez le $x + 3$ égal à $0$ .

$x + 3 = 0$

Étape 2.4

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 3$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 4

Évaluez ${(x + 3)}^{4}$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 4.1

Évaluez sur $x = - 3$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $- 3$ .

${((- 3) + 3)}^{4}$

Étape 4.1.2

Simplifiez

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Étape 4.1.2.1

Additionnez $- 3$ et $3$ .

$0^{4}$

Étape 4.1.2.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0$

Étape 4.2

Indiquez tous les points.

$(- 3, 0)$

Étape 5