Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = {(x - 1)}^{2} (x - 3)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Réécrivez ${(x - 1)}^{2}$ comme $(x - 1) (x - 1)$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} ((x - 1) (x - 1) (x - 3))$

Étape 1.1.2

Développez $(x - 1) (x - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = \frac{d}{d x} ((x (x - 1) - 1 (x - 1)) (x - 3))$

Étape 1.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = \frac{d}{d x} ((x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)) (x - 3))$

Étape 1.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = \frac{d}{d x} ((x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) (x - 3))$

Étape 1.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} ((x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) (x - 3))$

Étape 1.1.3.1.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $x$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} ((x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1) (x - 3))$

Étape 1.1.3.1.3

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} ((x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1) (x - 3))$

Étape 1.1.3.1.4

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} ((x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1) (x - 3))$

Étape 1.1.3.1.5

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} ((x^{2} - x - x + 1) (x - 3))$

Étape 1.1.3.2

Soustrayez $x$ de $- x$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} ((x^{2} - 2 x + 1) (x - 3))$

Étape 1.1.4

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2} - 2 x + 1$ et $g (x) = x - 3$ .

$f' (x) = (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} (x - 3) + (x - 3) \frac{d}{d x} (x^{2} - 2 x + 1)$

Étape 1.1.5

Différenciez.

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Étape 1.1.5.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$f' (x) = (x^{2} - 2 x + 1) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 3)) + (x - 3) \frac{d}{d x} (x^{2} - 2 x + 1)$

Étape 1.1.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = (x^{2} - 2 x + 1) (1 + \frac{d}{d x} (- 3)) + (x - 3) \frac{d}{d x} (x^{2} - 2 x + 1)$

Étape 1.1.5.3

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = (x^{2} - 2 x + 1) (1 + 0) + (x - 3) \frac{d}{d x} (x^{2} - 2 x + 1)$

Étape 1.1.5.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.5.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$f' (x) = (x^{2} - 2 x + 1) \cdot 1 + (x - 3) \frac{d}{d x} (x^{2} - 2 x + 1)$

Étape 1.1.5.4.2

Multipliez $x^{2} - 2 x + 1$ par $1$ .

$f' (x) = x^{2} - 2 x + 1 + (x - 3) \frac{d}{d x} (x^{2} - 2 x + 1)$

Étape 1.1.5.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 2 x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f' (x) = x^{2} - 2 x + 1 + (x - 3) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (1))$

Étape 1.1.5.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = x^{2} - 2 x + 1 + (x - 3) (2 x + \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (1))$

Étape 1.1.5.7

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = x^{2} - 2 x + 1 + (x - 3) (2 x - 2 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (1))$

Étape 1.1.5.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = x^{2} - 2 x + 1 + (x - 3) (2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (1))$

Étape 1.1.5.9

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$f' (x) = x^{2} - 2 x + 1 + (x - 3) (2 x - 2 + \frac{d}{d x} (1))$

Étape 1.1.5.10

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = x^{2} - 2 x + 1 + (x - 3) (2 x - 2 + 0)$

Étape 1.1.5.11

Additionnez $2 x - 2$ et $0$ .

$f' (x) = x^{2} - 2 x + 1 + (x - 3) (2 x - 2)$

Étape 1.1.6

Simplifiez

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Étape 1.1.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = x^{2} - 2 x + 1 + (x - 3) (2 x) + (x - 3) \cdot - 2$

Étape 1.1.6.2

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = x^{2} - 2 x + 1 + x (2 x) - 3 (2 x) + (x - 3) \cdot - 2$

Étape 1.1.6.3

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = x^{2} - 2 x + 1 + x (2 x) - 3 (2 x) + x \cdot - 2 - 3 \cdot - 2$

Étape 1.1.6.4

Associez des termes.

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Étape 1.1.6.4.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f' (x) = x^{2} - 2 x + 1 + 2 (x \cdot x) - 3 (2 x) + x \cdot - 2 - 3 \cdot - 2$

Étape 1.1.6.4.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f' (x) = x^{2} - 2 x + 1 + 2 (x \cdot x) - 3 (2 x) + x \cdot - 2 - 3 \cdot - 2$

Étape 1.1.6.4.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f' (x) = x^{2} - 2 x + 1 + 2 x^{1 + 1} - 3 (2 x) + x \cdot - 2 - 3 \cdot - 2$

Étape 1.1.6.4.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$f' (x) = x^{2} - 2 x + 1 + 2 x^{2} - 3 (2 x) + x \cdot - 2 - 3 \cdot - 2$

Étape 1.1.6.4.5

Multipliez $2$ par $- 3$ .

$f' (x) = x^{2} - 2 x + 1 + 2 x^{2} - 6 x + x \cdot - 2 - 3 \cdot - 2$

Étape 1.1.6.4.6

Déplacez $- 2$ à gauche de $x$ .

$f' (x) = x^{2} - 2 x + 1 + 2 x^{2} - 6 x - 2 \cdot x - 3 \cdot - 2$

Étape 1.1.6.4.7

Multipliez $- 3$ par $- 2$ .

$f' (x) = x^{2} - 2 x + 1 + 2 x^{2} - 6 x - 2 x + 6$

Étape 1.1.6.4.8

Soustrayez $2 x$ de $- 6 x$ .

$f' (x) = x^{2} - 2 x + 1 + 2 x^{2} - 8 x + 6$

Étape 1.1.6.4.9

Additionnez $x^{2}$ et $2 x^{2}$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 2 x + 1 - 8 x + 6$

Étape 1.1.6.4.10

Soustrayez $8 x$ de $- 2 x$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 10 x + 1 + 6$

Étape 1.1.6.4.11

Additionnez $1$ et $6$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 10 x + 7$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $3 x^{2} - 10 x + 7$ .

$3 x^{2} - 10 x + 7$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $3 x^{2} - 10 x + 7 = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$3 x^{2} - 10 x + 7 = 0$

Étape 2.2

Factorisez par regroupement.

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Étape 2.2.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 3 \cdot 7 = 21$ et dont la somme est $b = - 10$ .

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Étape 2.2.1.1

Factorisez $- 10$ à partir de $- 10 x$ .

$3 x^{2} - 10 x + 7 = 0$

Étape 2.2.1.2

Réécrivez $- 10$ comme $- 3$ plus $- 7$

$3 x^{2} + (- 3 - 7) x + 7 = 0$

Étape 2.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$3 x^{2} - 3 x - 7 x + 7 = 0$

Étape 2.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 2.2.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(3 x^{2} - 3 x) - 7 x + 7 = 0$

Étape 2.2.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$3 x (x - 1) - 7 (x - 1) = 0$

Étape 2.2.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $x - 1$ .

$(x - 1) (3 x - 7) = 0$

Étape 2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 1 = 0$

$3 x - 7 = 0$

Étape 2.4

Définissez $x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.4.1

Définissez $x - 1$ égal à $0$ .

$x - 1 = 0$

Étape 2.4.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 2.5

Définissez $3 x - 7$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.5.1

Définissez $3 x - 7$ égal à $0$ .

$3 x - 7 = 0$

Étape 2.5.2

Résolvez $3 x - 7 = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.5.2.1

Ajoutez $7$ aux deux côtés de l’équation.

$3 x = 7$

Étape 2.5.2.2

Divisez chaque terme dans $3 x = 7$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 2.5.2.2.1

Divisez chaque terme dans $3 x = 7$ par $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{7}{3}$

Étape 2.5.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.5.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.5.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3} = \frac{7}{3}$

Étape 2.5.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{7}{3}$

Étape 2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - 1) (3 x - 7) = 0$ vraie.

$x = 1, \frac{7}{3}$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 4

Évaluez ${(x - 1)}^{2} (x - 3)$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 4.1

Évaluez sur $x = 1$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $1$ .

${((1) - 1)}^{2} ((1) - 3)$

Étape 4.1.2

Simplifiez

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Étape 4.1.2.1

Soustrayez $1$ de $1$ .

$0^{2} ((1) - 3)$

Étape 4.1.2.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0 ((1) - 3)$

Étape 4.1.2.3

Soustrayez $3$ de $1$ .

$0 \cdot - 2$

Étape 4.1.2.4

Multipliez $0$ par $- 2$ .

$0$

Étape 4.2

Évaluez sur $x = \frac{7}{3}$ .

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Étape 4.2.1

Remplacez $x$ par $\frac{7}{3}$ .

${((\frac{7}{3}) - 1)}^{2} ((\frac{7}{3}) - 3)$

Étape 4.2.2

Simplifiez

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Étape 4.2.2.1

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

${(\frac{7}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3})}^{2} ((\frac{7}{3}) - 3)$

Étape 4.2.2.2

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

${(\frac{7}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3})}^{2} ((\frac{7}{3}) - 3)$

Étape 4.2.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

${(\frac{7 - 1 \cdot 3}{3})}^{2} ((\frac{7}{3}) - 3)$

Étape 4.2.2.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.2.4.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

${(\frac{7 - 3}{3})}^{2} ((\frac{7}{3}) - 3)$

Étape 4.2.2.4.2

Soustrayez $3$ de $7$ .

${(\frac{4}{3})}^{2} ((\frac{7}{3}) - 3)$

Étape 4.2.2.5

Appliquez la règle de produit à $\frac{4}{3}$ .

$\frac{4^{2}}{3^{2}} ((\frac{7}{3}) - 3)$

Étape 4.2.2.6

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$\frac{16}{3^{2}} ((\frac{7}{3}) - 3)$

Étape 4.2.2.7

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\frac{16}{9} ((\frac{7}{3}) - 3)$

Étape 4.2.2.8

Pour écrire $- 3$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{16}{9} (\frac{7}{3} - 3 \cdot \frac{3}{3})$

Étape 4.2.2.9

Associez $- 3$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{16}{9} (\frac{7}{3} + \frac{- 3 \cdot 3}{3})$

Étape 4.2.2.10

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{16}{9} \cdot \frac{7 - 3 \cdot 3}{3}$

Étape 4.2.2.11

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.2.11.1

Multipliez $- 3$ par $3$ .

$\frac{16}{9} \cdot \frac{7 - 9}{3}$

Étape 4.2.2.11.2

Soustrayez $9$ de $7$ .

$\frac{16}{9} \cdot \frac{- 2}{3}$

Étape 4.2.2.12

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{16}{9} (- \frac{2}{3})$

Étape 4.2.2.13

Multipliez $\frac{16}{9} (- \frac{2}{3})$ .

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Étape 4.2.2.13.1

Multipliez $\frac{16}{9}$ par $\frac{2}{3}$ .

$- \frac{16 \cdot 2}{9 \cdot 3}$

Étape 4.2.2.13.2

Multipliez $16$ par $2$ .

$- \frac{32}{9 \cdot 3}$

Étape 4.2.2.13.3

Multipliez $9$ par $3$ .

$- \frac{32}{27}$

Étape 4.3

Indiquez tous les points.

$(1, 0), (\frac{7}{3}, - \frac{32}{27})$

Étape 5