Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = {(x - 8)}^{2} (x + 9)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Réécrivez ${(x - 8)}^{2}$ comme $(x - 8) (x - 8)$ .

$\frac{d}{d x} [(x - 8) (x - 8) (x + 9)]$

Étape 1.1.2

Développez $(x - 8) (x - 8)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [(x (x - 8) - 8 (x - 8)) (x + 9)]$

Étape 1.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [(x \cdot x + x \cdot - 8 - 8 (x - 8)) (x + 9)]$

Étape 1.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [(x \cdot x + x \cdot - 8 - 8 x - 8 \cdot - 8) (x + 9)]$

Étape 1.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{d}{d x} [(x^{2} + x \cdot - 8 - 8 x - 8 \cdot - 8) (x + 9)]$

Étape 1.1.3.1.2

Déplacez $- 8$ à gauche de $x$ .

$\frac{d}{d x} [(x^{2} - 8 \cdot x - 8 x - 8 \cdot - 8) (x + 9)]$

Étape 1.1.3.1.3

Multipliez $- 8$ par $- 8$ .

$\frac{d}{d x} [(x^{2} - 8 x - 8 x + 64) (x + 9)]$

Étape 1.1.3.2

Soustrayez $8 x$ de $- 8 x$ .

$\frac{d}{d x} [(x^{2} - 16 x + 64) (x + 9)]$

Étape 1.1.4

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2} - 16 x + 64$ et $g (x) = x + 9$ .

$(x^{2} - 16 x + 64) \frac{d}{d x} [x + 9] + (x + 9) \frac{d}{d x} [x^{2} - 16 x + 64]$

Étape 1.1.5

Différenciez.

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Étape 1.1.5.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 9$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$(x^{2} - 16 x + 64) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]) + (x + 9) \frac{d}{d x} [x^{2} - 16 x + 64]$

Étape 1.1.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$(x^{2} - 16 x + 64) (1 + \frac{d}{d x} [9]) + (x + 9) \frac{d}{d x} [x^{2} - 16 x + 64]$

Étape 1.1.5.3

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9$ par rapport à $x$ est $0$ .

$(x^{2} - 16 x + 64) (1 + 0) + (x + 9) \frac{d}{d x} [x^{2} - 16 x + 64]$

Étape 1.1.5.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.5.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$(x^{2} - 16 x + 64) \cdot 1 + (x + 9) \frac{d}{d x} [x^{2} - 16 x + 64]$

Étape 1.1.5.4.2

Multipliez $x^{2} - 16 x + 64$ par $1$ .

$x^{2} - 16 x + 64 + (x + 9) \frac{d}{d x} [x^{2} - 16 x + 64]$

Étape 1.1.5.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 16 x + 64$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16 x] + \frac{d}{d x} [64]$ .

$x^{2} - 16 x + 64 + (x + 9) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16 x] + \frac{d}{d x} [64])$

Étape 1.1.5.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$x^{2} - 16 x + 64 + (x + 9) (2 x + \frac{d}{d x} [- 16 x] + \frac{d}{d x} [64])$

Étape 1.1.5.7

Comme $- 16$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 16 x$ par rapport à $x$ est $- 16 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{2} - 16 x + 64 + (x + 9) (2 x - 16 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [64])$

Étape 1.1.5.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x^{2} - 16 x + 64 + (x + 9) (2 x - 16 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [64])$

Étape 1.1.5.9

Multipliez $- 16$ par $1$ .

$x^{2} - 16 x + 64 + (x + 9) (2 x - 16 + \frac{d}{d x} [64])$

Étape 1.1.5.10

Comme $64$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $64$ par rapport à $x$ est $0$ .

$x^{2} - 16 x + 64 + (x + 9) (2 x - 16 + 0)$

Étape 1.1.5.11

Additionnez $2 x - 16$ et $0$ .

$x^{2} - 16 x + 64 + (x + 9) (2 x - 16)$

Étape 1.1.6

Simplifiez

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Étape 1.1.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} - 16 x + 64 + (x + 9) (2 x) + (x + 9) \cdot - 16$

Étape 1.1.6.2

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} - 16 x + 64 + x (2 x) + 9 (2 x) + (x + 9) \cdot - 16$

Étape 1.1.6.3

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} - 16 x + 64 + x (2 x) + 9 (2 x) + x \cdot - 16 + 9 \cdot - 16$

Étape 1.1.6.4

Associez des termes.

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Étape 1.1.6.4.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x^{2} - 16 x + 64 + 2 (x^{1} x) + 9 (2 x) + x \cdot - 16 + 9 \cdot - 16$

Étape 1.1.6.4.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x^{2} - 16 x + 64 + 2 (x^{1} x^{1}) + 9 (2 x) + x \cdot - 16 + 9 \cdot - 16$

Étape 1.1.6.4.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{2} - 16 x + 64 + 2 x^{1 + 1} + 9 (2 x) + x \cdot - 16 + 9 \cdot - 16$

Étape 1.1.6.4.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$x^{2} - 16 x + 64 + 2 x^{2} + 9 (2 x) + x \cdot - 16 + 9 \cdot - 16$

Étape 1.1.6.4.5

Multipliez $2$ par $9$ .

$x^{2} - 16 x + 64 + 2 x^{2} + 18 x + x \cdot - 16 + 9 \cdot - 16$

Étape 1.1.6.4.6

Déplacez $- 16$ à gauche de $x$ .

$x^{2} - 16 x + 64 + 2 x^{2} + 18 x - 16 \cdot x + 9 \cdot - 16$

Étape 1.1.6.4.7

Multipliez $9$ par $- 16$ .

$x^{2} - 16 x + 64 + 2 x^{2} + 18 x - 16 x - 144$

Étape 1.1.6.4.8

Soustrayez $16 x$ de $18 x$ .

$x^{2} - 16 x + 64 + 2 x^{2} + 2 x - 144$

Étape 1.1.6.4.9

Additionnez $x^{2}$ et $2 x^{2}$ .

$3 x^{2} - 16 x + 64 + 2 x - 144$

Étape 1.1.6.4.10

Additionnez $- 16 x$ et $2 x$ .

$3 x^{2} - 14 x + 64 - 144$

Étape 1.1.6.4.11

Soustrayez $144$ de $64$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 14 x - 80$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $3 x^{2} - 14 x - 80$ .

$3 x^{2} - 14 x - 80$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $3 x^{2} - 14 x - 80 = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$3 x^{2} - 14 x - 80 = 0$

Étape 2.2

Factorisez par regroupement.

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Étape 2.2.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 3 \cdot - 80 = - 240$ et dont la somme est $b = - 14$ .

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Étape 2.2.1.1

Factorisez $- 14$ à partir de $- 14 x$ .

$3 x^{2} - 14 x - 80 = 0$

Étape 2.2.1.2

Réécrivez $- 14$ comme $10$ plus $- 24$

$3 x^{2} + (10 - 24) x - 80 = 0$

Étape 2.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$3 x^{2} + 10 x - 24 x - 80 = 0$

Étape 2.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 2.2.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(3 x^{2} + 10 x) - 24 x - 80 = 0$

Étape 2.2.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$x (3 x + 10) - 8 (3 x + 10) = 0$

Étape 2.2.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $3 x + 10$ .

$(3 x + 10) (x - 8) = 0$

Étape 2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$3 x + 10 = 0$

$x - 8 = 0$

Étape 2.4

Définissez $3 x + 10$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.4.1

Définissez $3 x + 10$ égal à $0$ .

$3 x + 10 = 0$

Étape 2.4.2

Résolvez $3 x + 10 = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.4.2.1

Soustrayez $10$ des deux côtés de l’équation.

$3 x = - 10$

Étape 2.4.2.2

Divisez chaque terme dans $3 x = - 10$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 2.4.2.2.1

Divisez chaque terme dans $3 x = - 10$ par $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 10}{3}$

Étape 2.4.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.4.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.4.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 10}{3}$

Étape 2.4.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 10}{3}$

Étape 2.4.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.4.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{10}{3}$

Étape 2.5

Définissez $x - 8$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.5.1

Définissez $x - 8$ égal à $0$ .

$x - 8 = 0$

Étape 2.5.2

Ajoutez $8$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 8$

Étape 2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(3 x + 10) (x - 8) = 0$ vraie.

$x = - \frac{10}{3}, 8$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 4

Évaluez ${(x - 8)}^{2} (x + 9)$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 4.1

Évaluez sur $x = - \frac{10}{3}$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $- \frac{10}{3}$ .

${((- \frac{10}{3}) - 8)}^{2} ((- \frac{10}{3}) + 9)$

Étape 4.1.2

Simplifiez

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Étape 4.1.2.1

Pour écrire $- 8$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

${(- \frac{10}{3} - 8 \cdot \frac{3}{3})}^{2} ((- \frac{10}{3}) + 9)$

Étape 4.1.2.2

Associez $- 8$ et $\frac{3}{3}$ .

${(- \frac{10}{3} + \frac{- 8 \cdot 3}{3})}^{2} ((- \frac{10}{3}) + 9)$

Étape 4.1.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

${(\frac{- 10 - 8 \cdot 3}{3})}^{2} ((- \frac{10}{3}) + 9)$

Étape 4.1.2.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.2.4.1

Multipliez $- 8$ par $3$ .

${(\frac{- 10 - 24}{3})}^{2} ((- \frac{10}{3}) + 9)$

Étape 4.1.2.4.2

Soustrayez $24$ de $- 10$ .

${(\frac{- 34}{3})}^{2} ((- \frac{10}{3}) + 9)$

Étape 4.1.2.5

Placez le signe moins devant la fraction.

${(- \frac{34}{3})}^{2} ((- \frac{10}{3}) + 9)$

Étape 4.1.2.6

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 4.1.2.6.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{34}{3}$ .

${(- 1)}^{2} {(\frac{34}{3})}^{2} ((- \frac{10}{3}) + 9)$

Étape 4.1.2.6.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{34}{3}$ .

${(- 1)}^{2} \frac{34^{2}}{3^{2}} ((- \frac{10}{3}) + 9)$

Étape 4.1.2.7

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$1 \frac{34^{2}}{3^{2}} ((- \frac{10}{3}) + 9)$

Étape 4.1.2.8

Multipliez $\frac{34^{2}}{3^{2}}$ par $1$ .

$\frac{34^{2}}{3^{2}} ((- \frac{10}{3}) + 9)$

Étape 4.1.2.9

Élevez $34$ à la puissance $2$ .

$\frac{1156}{3^{2}} ((- \frac{10}{3}) + 9)$

Étape 4.1.2.10

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\frac{1156}{9} ((- \frac{10}{3}) + 9)$

Étape 4.1.2.11

Pour écrire $9$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1156}{9} (- \frac{10}{3} + 9 \cdot \frac{3}{3})$

Étape 4.1.2.12

Associez $9$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1156}{9} (- \frac{10}{3} + \frac{9 \cdot 3}{3})$

Étape 4.1.2.13

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1156}{9} \cdot \frac{- 10 + 9 \cdot 3}{3}$

Étape 4.1.2.14

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.2.14.1

Multipliez $9$ par $3$ .

$\frac{1156}{9} \cdot \frac{- 10 + 27}{3}$

Étape 4.1.2.14.2

Additionnez $- 10$ et $27$ .

$\frac{1156}{9} \cdot \frac{17}{3}$

Étape 4.1.2.15

Multipliez $\frac{1156}{9} \cdot \frac{17}{3}$ .

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Étape 4.1.2.15.1

Multipliez $\frac{1156}{9}$ par $\frac{17}{3}$ .

$\frac{1156 \cdot 17}{9 \cdot 3}$

Étape 4.1.2.15.2

Multipliez $1156$ par $17$ .

$\frac{19652}{9 \cdot 3}$

Étape 4.1.2.15.3

Multipliez $9$ par $3$ .

$\frac{19652}{27}$

Étape 4.2

Évaluez sur $x = 8$ .

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Étape 4.2.1

Remplacez $x$ par $8$ .

${((8) - 8)}^{2} ((8) + 9)$

Étape 4.2.2

Simplifiez

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Étape 4.2.2.1

Soustrayez $8$ de $8$ .

$0^{2} ((8) + 9)$

Étape 4.2.2.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0 ((8) + 9)$

Étape 4.2.2.3

Additionnez $8$ et $9$ .

$0 \cdot 17$

Étape 4.2.2.4

Multipliez $0$ par $17$ .

$0$

Étape 4.3

Indiquez tous les points.

$(- \frac{10}{3}, \frac{19652}{27}), (8, 0)$

Étape 5