Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{{(x - 1)}^{2}}{x - 3}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = {(x - 1)}^{2}$ et $g (x) = x - 3$ .

$f' (x) = \frac{(x - 3) \frac{d}{d x} ({(x - 1)}^{2}) - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x - 3)}{{(x - 3)}^{2}}$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = x - 1$ .

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Étape 1.1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x - 1$ .

$f' (x) = \frac{(x - 3) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x - 1)) - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x - 3)}{{(x - 3)}^{2}}$

Étape 1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{(x - 3) (2 u \frac{d}{d x} (x - 1)) - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x - 3)}{{(x - 3)}^{2}}$

Étape 1.1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x - 1$ .

$f' (x) = \frac{(x - 3) (2 (x - 1) \frac{d}{d x} (x - 1)) - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x - 3)}{{(x - 3)}^{2}}$

Étape 1.1.3

Différenciez.

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Étape 1.1.3.1

Déplacez $2$ à gauche de $x - 3$ .

$f' (x) = \frac{2 \cdot ((x - 3) (x - 1)) \frac{d}{d x} (x - 1) - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x - 3)}{{(x - 3)}^{2}}$

Étape 1.1.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f' (x) = \frac{2 (x - 3) (x - 1) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1)) - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x - 3)}{{(x - 3)}^{2}}$

Étape 1.1.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x - 3) (x - 1) (1 + \frac{d}{d x} (- 1)) - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x - 3)}{{(x - 3)}^{2}}$

Étape 1.1.3.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = \frac{2 (x - 3) (x - 1) (1 + 0) - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x - 3)}{{(x - 3)}^{2}}$

Étape 1.1.3.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.3.5.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$f' (x) = \frac{2 (x - 3) (x - 1) \cdot 1 - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x - 3)}{{(x - 3)}^{2}}$

Étape 1.1.3.5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x - 3) (x - 1) - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x - 3)}{{(x - 3)}^{2}}$

Étape 1.1.3.6

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$f' (x) = \frac{2 (x - 3) (x - 1) - {(x - 1)}^{2} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 3))}{{(x - 3)}^{2}}$

Étape 1.1.3.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x - 3) (x - 1) - {(x - 1)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} (- 3))}{{(x - 3)}^{2}}$

Étape 1.1.3.8

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = \frac{2 (x - 3) (x - 1) - {(x - 1)}^{2} (1 + 0)}{{(x - 3)}^{2}}$

Étape 1.1.3.9

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.3.9.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$f' (x) = \frac{2 (x - 3) (x - 1) - {(x - 1)}^{2} \cdot 1}{{(x - 3)}^{2}}$

Étape 1.1.3.9.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x - 3) (x - 1) - {(x - 1)}^{2}}{{(x - 3)}^{2}}$

Étape 1.1.4

Simplifiez

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Étape 1.1.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = \frac{(2 x + 2 \cdot - 3) (x - 1) - {(x - 1)}^{2}}{{(x - 3)}^{2}}$

Étape 1.1.4.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.4.2.1.1

Multipliez $2$ par $- 3$ .

$f' (x) = \frac{(2 x - 6) (x - 1) - {(x - 1)}^{2}}{{(x - 3)}^{2}}$

Étape 1.1.4.2.1.2

Développez $(2 x - 6) (x - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.1.4.2.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = \frac{2 x (x - 1) - 6 (x - 1) - {(x - 1)}^{2}}{{(x - 3)}^{2}}$

Étape 1.1.4.2.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = \frac{2 x \cdot x + 2 x \cdot - 1 - 6 (x - 1) - {(x - 1)}^{2}}{{(x - 3)}^{2}}$

Étape 1.1.4.2.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = \frac{2 x \cdot x + 2 x \cdot - 1 - 6 x - 6 \cdot - 1 - {(x - 1)}^{2}}{{(x - 3)}^{2}}$

Étape 1.1.4.2.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.1.4.2.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.4.2.1.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.1.4.2.1.3.1.1.1

Déplacez $x$ .

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 1 - 6 x - 6 \cdot - 1 - {(x - 1)}^{2}}{{(x - 3)}^{2}}$

Étape 1.1.4.2.1.3.1.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} + 2 x \cdot - 1 - 6 x - 6 \cdot - 1 - {(x - 1)}^{2}}{{(x - 3)}^{2}}$

Étape 1.1.4.2.1.3.1.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 2 x - 6 x - 6 \cdot - 1 - {(x - 1)}^{2}}{{(x - 3)}^{2}}$

Étape 1.1.4.2.1.3.1.3

Multipliez $- 6$ par $- 1$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 2 x - 6 x + 6 - {(x - 1)}^{2}}{{(x - 3)}^{2}}$

Étape 1.1.4.2.1.3.2

Soustrayez $6 x$ de $- 2 x$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 8 x + 6 - {(x - 1)}^{2}}{{(x - 3)}^{2}}$

Étape 1.1.4.2.1.4

Réécrivez ${(x - 1)}^{2}$ comme $(x - 1) (x - 1)$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 8 x + 6 - ((x - 1) (x - 1))}{{(x - 3)}^{2}}$

Étape 1.1.4.2.1.5

Développez $(x - 1) (x - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.1.4.2.1.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 8 x + 6 - (x (x - 1) - 1 (x - 1))}{{(x - 3)}^{2}}$

Étape 1.1.4.2.1.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 8 x + 6 - (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1))}{{(x - 3)}^{2}}$

Étape 1.1.4.2.1.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 8 x + 6 - (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1)}{{(x - 3)}^{2}}$

Étape 1.1.4.2.1.6

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.1.4.2.1.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.4.2.1.6.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 8 x + 6 - (x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1)}{{(x - 3)}^{2}}$

Étape 1.1.4.2.1.6.1.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $x$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 8 x + 6 - (x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1)}{{(x - 3)}^{2}}$

Étape 1.1.4.2.1.6.1.3

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 8 x + 6 - (x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1)}{{(x - 3)}^{2}}$

Étape 1.1.4.2.1.6.1.4

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 8 x + 6 - (x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1)}{{(x - 3)}^{2}}$

Étape 1.1.4.2.1.6.1.5

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 8 x + 6 - (x^{2} - x - x + 1)}{{(x - 3)}^{2}}$

Étape 1.1.4.2.1.6.2

Soustrayez $x$ de $- x$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 8 x + 6 - (x^{2} - 2 x + 1)}{{(x - 3)}^{2}}$

Étape 1.1.4.2.1.7

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 8 x + 6 - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1}{{(x - 3)}^{2}}$

Étape 1.1.4.2.1.8

Simplifiez

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Étape 1.1.4.2.1.8.1

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 8 x + 6 - x^{2} + 2 x - 1 \cdot 1}{{(x - 3)}^{2}}$

Étape 1.1.4.2.1.8.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 8 x + 6 - x^{2} + 2 x - 1}{{(x - 3)}^{2}}$

Étape 1.1.4.2.2

Soustrayez $x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 8 x + 6 + 2 x - 1}{{(x - 3)}^{2}}$

Étape 1.1.4.2.3

Additionnez $- 8 x$ et $2 x$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 6 x + 6 - 1}{{(x - 3)}^{2}}$

Étape 1.1.4.2.4

Soustrayez $1$ de $6$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 6 x + 5}{{(x - 3)}^{2}}$

Étape 1.1.4.3

Factorisez $x^{2} - 6 x + 5$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.1.4.3.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $5$ et dont la somme est $- 6$ .

$- 5, - 1$

Étape 1.1.4.3.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$f' (x) = \frac{(x - 5) (x - 1)}{{(x - 3)}^{2}}$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{(x - 5) (x - 1)}{{(x - 3)}^{2}}$ .

$\frac{(x - 5) (x - 1)}{{(x - 3)}^{2}}$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{(x - 5) (x - 1)}{{(x - 3)}^{2}} = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$\frac{(x - 5) (x - 1)}{{(x - 3)}^{2}} = 0$

Étape 2.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$(x - 5) (x - 1) = 0$

Étape 2.3

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 2.3.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 5 = 0$

$x - 1 = 0$

Étape 2.3.2

Définissez $x - 5$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.3.2.1

Définissez $x - 5$ égal à $0$ .

$x - 5 = 0$

Étape 2.3.2.2

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 5$

Étape 2.3.3

Définissez $x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.3.3.1

Définissez $x - 1$ égal à $0$ .

$x - 1 = 0$

Étape 2.3.3.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 2.3.4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - 5) (x - 1) = 0$ vraie.

$x = 5, 1$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 3.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{(x - 5) (x - 1)}{{(x - 3)}^{2}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

${(x - 3)}^{2} = 0$

Étape 3.2

Résolvez $x$ .

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Étape 3.2.1

Définissez le $x - 3$ égal à $0$ .

$x - 3 = 0$

Étape 3.2.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 3$

Étape 4

Évaluez $\frac{{(x - 1)}^{2}}{x - 3}$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 4.1

Évaluez sur $x = 5$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $5$ .

$\frac{{((5) - 1)}^{2}}{(5) - 3}$

Étape 4.1.2

Simplifiez

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Étape 4.1.2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.2.1.1

Soustrayez $1$ de $5$ .

$\frac{4^{2}}{5 - 3}$

Étape 4.1.2.1.2

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$\frac{16}{5 - 3}$

Étape 4.1.2.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.1.2.2.1

Soustrayez $3$ de $5$ .

$\frac{16}{2}$

Étape 4.1.2.2.2

Divisez $16$ par $2$ .

$8$

Étape 4.2

Évaluez sur $x = 1$ .

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Étape 4.2.1

Remplacez $x$ par $1$ .

$\frac{{((1) - 1)}^{2}}{(1) - 3}$

Étape 4.2.2

Simplifiez

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Étape 4.2.2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.2.1.1

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{0^{2}}{1 - 3}$

Étape 4.2.2.1.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{0}{1 - 3}$

Étape 4.2.2.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.2.2.2.1

Soustrayez $3$ de $1$ .

$\frac{0}{- 2}$

Étape 4.2.2.2.2

Divisez $0$ par $- 2$ .

$0$

Étape 4.3

Évaluez sur $x = 3$ .

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Étape 4.3.1

Remplacez $x$ par $3$ .

$\frac{{((3) - 1)}^{2}}{(3) - 3}$

Étape 4.3.2

Simplifiez

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Étape 4.3.2.1

Soustrayez $3$ de $3$ .

$\frac{{((3) - 1)}^{2}}{0}$

Étape 4.3.2.2

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

Étape 4.4

Indiquez tous les points.

$(5, 8), (1, 0)$

Étape 5