Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = {(x - 3)}^{\frac{1}{3}}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ et $g (x) = x - 3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x - 3$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [x - 3]$

Étape 1.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 3]$

Étape 1.1.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x - 3$ .

$\frac{1}{3} {(x - 3)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 3]$

Étape 1.1.2

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(x - 3)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 3]$

Étape 1.1.3

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(x - 3)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 3]$

Étape 1.1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{3} {(x - 3)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 3]$

Étape 1.1.5

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.5.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{1}{3} {(x - 3)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 3]$

Étape 1.1.5.2

Soustrayez $3$ de $1$ .

$\frac{1}{3} {(x - 3)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 3]$

Étape 1.1.6

Associez les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.6.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{3} {(x - 3)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 3]$

Étape 1.1.6.2

Associez $\frac{1}{3}$ et ${(x - 3)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{{(x - 3)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x - 3]$

Étape 1.1.6.3

Placez ${(x - 3)}^{- \frac{2}{3}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3 {(x - 3)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [x - 3]$

Étape 1.1.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{1}{3 {(x - 3)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

Étape 1.1.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{3 {(x - 3)}^{\frac{2}{3}}} (1 + \frac{d}{d x} [- 3])$

Étape 1.1.9

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{3 {(x - 3)}^{\frac{2}{3}}} (1 + 0)$

Étape 1.1.10

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.10.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{1}{3 {(x - 3)}^{\frac{2}{3}}} \cdot 1$

Étape 1.1.10.2

Multipliez $\frac{1}{3 {(x - 3)}^{\frac{2}{3}}}$ par $1$ .

$f' (x) = \frac{1}{3 {(x - 3)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3 {(x - 3)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{1}{3 {(x - 3)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{1}{3 {(x - 3)}^{\frac{2}{3}}} = 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$\frac{1}{3 {(x - 3)}^{\frac{2}{3}}} = 0$

Étape 2.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$1 = 0$

Étape 2.3

Comme $1 \neq 0$ , il n’y a aucune solution.

Aucune solution

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Appliquez la règle $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ pour réécrire l’élévation à la puissance comme un radical.

$\frac{1}{3 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}}}$

Étape 3.2

Définissez le dénominateur dans $\frac{1}{3 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$3 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}} = 0$

Étape 3.3

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au cube les deux côtés de l’équation.

${(3 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}})}^{3} = 0^{3}$

Étape 3.3.2

Simplifiez chaque côté de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{{(x - 3)}^{2}}$ comme ${(x - 3)}^{\frac{2}{3}}$ .

${(3 {(x - 3)}^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Étape 3.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.2.1

Simplifiez ${(3 {(x - 3)}^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $3 {(x - 3)}^{\frac{2}{3}}$ .

$3^{3} {({(x - 3)}^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Étape 3.3.2.2.1.2

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$27 {({(x - 3)}^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Étape 3.3.2.2.1.3

Multipliez les exposants dans ${({(x - 3)}^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.2.1.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 {(x - 3)}^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Étape 3.3.2.2.1.3.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.2.1.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$27 {(x - 3)}^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Étape 3.3.2.2.1.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$27 {(x - 3)}^{2} = 0^{3}$

Étape 3.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$27 {(x - 3)}^{2} = 0$

Étape 3.3.3

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.3.1

Divisez chaque terme dans $27 {(x - 3)}^{2} = 0$ par $27$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.3.1.1

Divisez chaque terme dans $27 {(x - 3)}^{2} = 0$ par $27$ .

$\frac{27 {(x - 3)}^{2}}{27} = \frac{0}{27}$

Étape 3.3.3.1.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.3.1.2.1

Annulez le facteur commun de $27$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.3.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{27 {(x - 3)}^{2}}{27} = \frac{0}{27}$

Étape 3.3.3.1.2.1.2

Divisez ${(x - 3)}^{2}$ par $1$ .

${(x - 3)}^{2} = \frac{0}{27}$

Étape 3.3.3.1.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.3.1.3.1

Divisez $0$ par $27$ .

${(x - 3)}^{2} = 0$

Étape 3.3.3.2

Définissez le $x - 3$ égal à $0$ .

$x - 3 = 0$

Étape 3.3.3.3

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 3$

Étape 4

Évaluez ${(x - 3)}^{\frac{1}{3}}$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Évaluez sur $x = 3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $3$ .

${((3) - 3)}^{\frac{1}{3}}$

Étape 4.1.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.1

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.1.1

Soustrayez $3$ de $3$ .

$0^{\frac{1}{3}}$

Étape 4.1.2.1.2

Réécrivez $0$ comme $0^{3}$ .

${(0^{3})}^{\frac{1}{3}}$

Étape 4.1.2.1.3

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0^{3 (\frac{1}{3})}$

Étape 4.1.2.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$0^{3 (\frac{1}{3})}$

Étape 4.1.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$0^{1}$

Étape 4.1.2.3

Évaluez l’exposant.

$0$

Étape 4.2

Indiquez tous les points.

$(3, 0)$

Étape 5