Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{x - 3}{x^{2}}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x - 3$ et $g (x) = x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} (x - 3) - (x - 3) \frac{d}{d x} x^{2}}{{(x^{2})}^{2}}$

Étape 1.1.2

Différenciez.

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Étape 1.1.2.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{2}$ .

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Étape 1.1.2.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} (x - 3) - (x - 3) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{2 \cdot 2}}$

Étape 1.1.2.1.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} (x - 3) - (x - 3) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Étape 1.1.2.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 3)) - (x - 3) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Étape 1.1.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} (1 + \frac{d}{d x} (- 3)) - (x - 3) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Étape 1.1.2.4

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} (1 + 0) - (x - 3) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Étape 1.1.2.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.2.5.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} \cdot 1 - (x - 3) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Étape 1.1.2.5.2

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - (x - 3) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Étape 1.1.2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - (x - 3) (2 x)}{x^{4}}$

Étape 1.1.2.7

Simplifiez en factorisant.

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Étape 1.1.2.7.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 2 (x - 3) x}{x^{4}}$

Étape 1.1.2.7.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{2} - 2 (x - 3) x$ .

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Étape 1.1.2.7.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{x \cdot x - 2 (x - 3) x}{x^{4}}$

Étape 1.1.2.7.2.2

Factorisez $x$ à partir de $- 2 (x - 3) x$ .

$f' (x) = \frac{x \cdot x + x (- 2 (x - 3))}{x^{4}}$

Étape 1.1.2.7.2.3

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x + x (- 2 (x - 3))$ .

$f' (x) = \frac{x (x - 2 (x - 3))}{x^{4}}$

Étape 1.1.3

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.1.3.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{4}$ .

$f' (x) = \frac{x (x - 2 (x - 3))}{x \cdot x^{3}}$

Étape 1.1.3.2

Annulez le facteur commun.

$f' (x) = \frac{x (x - 2 (x - 3))}{x \cdot x^{3}}$

Étape 1.1.3.3

Réécrivez l’expression.

$f' (x) = \frac{x - 2 (x - 3)}{x^{3}}$

Étape 1.1.4

Simplifiez

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Étape 1.1.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$f' (x) = \frac{x - 2 x - 2 \cdot - 3}{x^{3}}$

Étape 1.1.4.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.4.2.1

Multipliez $- 2$ par $- 3$ .

$f' (x) = \frac{x - 2 x + 6}{x^{3}}$

Étape 1.1.4.2.2

Soustrayez $2 x$ de $x$ .

$f' (x) = \frac{- x + 6}{x^{3}}$

Étape 1.1.4.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$f' (x) = \frac{- (x) + 6}{x^{3}}$

Étape 1.1.4.4

Réécrivez $6$ comme $- 1 (- 6)$ .

$f' (x) = \frac{- (x) - 1 \cdot - 6}{x^{3}}$

Étape 1.1.4.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x) - 1 (- 6)$ .

$f' (x) = \frac{- (x - 6)}{x^{3}}$

Étape 1.1.4.6

Réécrivez $- (x - 6)$ comme $- 1 (x - 6)$ .

$f' (x) = \frac{- 1 (x - 6)}{x^{3}}$

Étape 1.1.4.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (x) = - \frac{x - 6}{x^{3}}$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{x - 6}{x^{3}}$ .

$- \frac{x - 6}{x^{3}}$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- \frac{x - 6}{x^{3}} = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- \frac{x - 6}{x^{3}} = 0$

Étape 2.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$x - 6 = 0$

Étape 2.3

Ajoutez $6$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 6$

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 3.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{x - 6}{x^{3}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x^{3} = 0$

Étape 3.2

Résolvez $x$ .

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Étape 3.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[3]{0}$

Étape 3.2.2

Simplifiez $\sqrt[3]{0}$ .

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Étape 3.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Étape 3.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$x = 0$

Étape 4

Évaluez $\frac{x - 3}{x^{2}}$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 4.1

Évaluez sur $x = 6$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $6$ .

$\frac{(6) - 3}{{(6)}^{2}}$

Étape 4.1.2

Simplifiez

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Étape 4.1.2.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.1.2.1.1

Soustrayez $3$ de $6$ .

$\frac{3}{6^{2}}$

Étape 4.1.2.1.2

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$\frac{3}{36}$

Étape 4.1.2.2

Annulez le facteur commun à $3$ et $36$ .

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Étape 4.1.2.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\frac{3 (1)}{36}$

Étape 4.1.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.1.2.2.2.1

Factorisez $3$ à partir de $36$ .

$\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 12}$

Étape 4.1.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 12}$

Étape 4.1.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{12}$

Étape 4.2

Évaluez sur $x = 0$ .

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Étape 4.2.1

Remplacez $x$ par $0$ .

$\frac{(0) - 3}{{(0)}^{2}}$

Étape 4.2.2

Simplifiez

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Étape 4.2.2.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{(0) - 3}{0}$

Étape 4.2.2.2

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

Étape 4.3

Indiquez tous les points.

$(6, \frac{1}{12})$

Étape 5