Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = {(4 x - 5)}^{\frac{2}{3}}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ et $g (x) = 4 x - 5$ .

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Étape 1.1.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $4 x - 5$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{2}{3}}] \frac{d}{d x} [4 x - 5]$

Étape 1.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [4 x - 5]$

Étape 1.1.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $4 x - 5$ .

$\frac{2}{3} {(4 x - 5)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [4 x - 5]$

Étape 1.1.2

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} {(4 x - 5)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [4 x - 5]$

Étape 1.1.3

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} {(4 x - 5)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [4 x - 5]$

Étape 1.1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2}{3} {(4 x - 5)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [4 x - 5]$

Étape 1.1.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.5.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{2}{3} {(4 x - 5)}^{\frac{2 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [4 x - 5]$

Étape 1.1.5.2

Soustrayez $3$ de $2$ .

$\frac{2}{3} {(4 x - 5)}^{\frac{- 1}{3}} \frac{d}{d x} [4 x - 5]$

Étape 1.1.6

Associez les fractions.

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Étape 1.1.6.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{2}{3} {(4 x - 5)}^{- \frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [4 x - 5]$

Étape 1.1.6.2

Associez $\frac{2}{3}$ et ${(4 x - 5)}^{- \frac{1}{3}}$ .

$\frac{2 {(4 x - 5)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [4 x - 5]$

Étape 1.1.6.3

Placez ${(4 x - 5)}^{- \frac{1}{3}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{3 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [4 x - 5]$

Étape 1.1.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x - 5$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{2}{3 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{3}}} (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 5])$

Étape 1.1.8

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2}{3 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{3}}} (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5])$

Étape 1.1.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{2}{3 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{3}}} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5])$

Étape 1.1.10

Multipliez $4$ par $1$ .

$\frac{2}{3 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{3}}} (4 + \frac{d}{d x} [- 5])$

Étape 1.1.11

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{2}{3 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{3}}} (4 + 0)$

Étape 1.1.12

Associez les fractions.

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Étape 1.1.12.1

Additionnez $4$ et $0$ .

$\frac{2}{3 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{3}}} \cdot 4$

Étape 1.1.12.2

Associez $\frac{2}{3 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{3}}}$ et $4$ .

$\frac{2 \cdot 4}{3 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 1.1.12.3

Multipliez $2$ par $4$ .

$f' (x) = \frac{8}{3 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{8}{3 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{8}{3 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{3}}}$

Étape 2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{8}{3 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{3}}} = 0$ .

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Étape 2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$\frac{8}{3 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{3}}} = 0$

Étape 2.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$8 = 0$

Étape 2.3

Comme $8 \neq 0$ , il n’y a aucune solution.

Aucune solution

Étape 3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 3.1

Convertissez des expressions avec exposants fractionnaires en radicaux.

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Étape 3.1.1

Appliquez la règle $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ pour réécrire l’élévation à la puissance comme un radical.

$\frac{8}{3 \sqrt[3]{{(4 x - 5)}^{1}}}$

Étape 3.1.2

Toute valeur élevée à $1$ est la base elle-même.

$\frac{8}{3 \sqrt[3]{4 x - 5}}$

Étape 3.2

Définissez le dénominateur dans $\frac{8}{3 \sqrt[3]{4 x - 5}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$3 \sqrt[3]{4 x - 5} = 0$

Étape 3.3

Résolvez $x$ .

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Étape 3.3.1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au cube les deux côtés de l’équation.

${(3 \sqrt[3]{4 x - 5})}^{3} = 0^{3}$

Étape 3.3.2

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 3.3.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{4 x - 5}$ comme ${(4 x - 5)}^{\frac{1}{3}}$ .

${(3 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Étape 3.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.2.2.1

Simplifiez ${(3 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Étape 3.3.2.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $3 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{3}}$ .

$3^{3} {({(4 x - 5)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Étape 3.3.2.2.1.2

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$27 {({(4 x - 5)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Étape 3.3.2.2.1.3

Multipliez les exposants dans ${({(4 x - 5)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Étape 3.3.2.2.1.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Étape 3.3.2.2.1.3.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.3.2.2.1.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$27 {(4 x - 5)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Étape 3.3.2.2.1.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$27 {(4 x - 5)}^{1} = 0^{3}$

Étape 3.3.2.2.1.4

Simplifiez

$27 (4 x - 5) = 0^{3}$

Étape 3.3.2.2.1.5

Appliquez la propriété distributive.

$27 (4 x) + 27 \cdot - 5 = 0^{3}$

Étape 3.3.2.2.1.6

Multipliez.

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Étape 3.3.2.2.1.6.1

Multipliez $4$ par $27$ .

$108 x + 27 \cdot - 5 = 0^{3}$

Étape 3.3.2.2.1.6.2

Multipliez $27$ par $- 5$ .

$108 x - 135 = 0^{3}$

Étape 3.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.2.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$108 x - 135 = 0$

Étape 3.3.3

Résolvez $x$ .

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Étape 3.3.3.1

Ajoutez $135$ aux deux côtés de l’équation.

$108 x = 135$

Étape 3.3.3.2

Divisez chaque terme dans $108 x = 135$ par $108$ et simplifiez.

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Étape 3.3.3.2.1

Divisez chaque terme dans $108 x = 135$ par $108$ .

$\frac{108 x}{108} = \frac{135}{108}$

Étape 3.3.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.3.2.2.1

Annulez le facteur commun de $108$ .

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Étape 3.3.3.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{108 x}{108} = \frac{135}{108}$

Étape 3.3.3.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{135}{108}$

Étape 3.3.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.3.2.3.1

Annulez le facteur commun à $135$ et $108$ .

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Étape 3.3.3.2.3.1.1

Factorisez $27$ à partir de $135$ .

$x = \frac{27 (5)}{108}$

Étape 3.3.3.2.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.3.3.2.3.1.2.1

Factorisez $27$ à partir de $108$ .

$x = \frac{27 \cdot 5}{27 \cdot 4}$

Étape 3.3.3.2.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{27 \cdot 5}{27 \cdot 4}$

Étape 3.3.3.2.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{5}{4}$

Étape 4

Évaluez ${(4 x - 5)}^{\frac{2}{3}}$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 4.1

Évaluez sur $x = \frac{5}{4}$ .

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Étape 4.1.1

Remplacez $x$ par $\frac{5}{4}$ .

${(4 (\frac{5}{4}) - 5)}^{\frac{2}{3}}$

Étape 4.1.2

Simplifiez

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Étape 4.1.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 4.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

${(4 (\frac{5}{4}) - 5)}^{\frac{2}{3}}$

Étape 4.1.2.1.2

Réécrivez l’expression.

${(5 - 5)}^{\frac{2}{3}}$

Étape 4.1.2.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.1.2.2.1

Soustrayez $5$ de $5$ .

$0^{\frac{2}{3}}$

Étape 4.1.2.2.2

Réécrivez $0$ comme $0^{3}$ .

${(0^{3})}^{\frac{2}{3}}$

Étape 4.1.2.2.3

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0^{3 (\frac{2}{3})}$

Étape 4.1.2.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 4.1.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$0^{3 (\frac{2}{3})}$

Étape 4.1.2.3.2

Réécrivez l’expression.

$0^{2}$

Étape 4.1.2.4

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0$

Étape 4.2

Indiquez tous les points.

$(\frac{5}{4}, 0)$

Étape 5